空間向量的概念及運算演示文稿

空間向量的概念及運算演示文稿1當前1頁，總共41頁。2優(yōu)選空間向量的概念及運算當前2頁，總共41頁。1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中運算的結(jié)果為AC1的共有

個()①(+)+②(+)+③(+)+④(+)+DA.1B.2C.3D.4當前3頁，總共41頁。2.已知O、A、B、C為空間四點，又、、為空間的一個基底，則()DA.O、A、B、C四點共線B.O、A、B、C四點共面但不共線C.O、A、B、C四點中有三點共線D.O、A、B、C四點不共面當前4頁，總共41頁。3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,則()CA.x=1,y=1B.x=，y=-C.x=,y=-D.x=-，y=因為a∥b，所以==，所以x=，y=-.當前5頁，總共41頁。4.已知正四面體ABCD的棱長為1，點F、G分別是AD、DC的中點,則·=

.因為==(-),所以·=(-)·=(·-)=×(-1)=-.當前6頁，總共41頁。5.已知a、b是空間兩向量:若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,則cos〈a,b〉=

.由|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=22-2a·b+22=7.所以a·b=，所以cos〈a，b〉=a·b|a||b|==.當前7頁，總共41頁。一、空間向量及其加減與數(shù)乘運算1.空間向量:在空間,我們把具有①

和②

的量叫做向量,空間向量也用③

表示,并且④

的有向線段表示同一向量或相等的向量.

2.空間向量的加法，減法與數(shù)乘向量：如下圖，我們定義空間向量的加法，減法與數(shù)乘向量為：=⑤

,=⑥

，=⑦

(λ∈R).大小方向有向線段方向相同且長度相等a+bλa當前8頁，總共41頁。空間向量的加法與數(shù)乘向量運算滿足如下運算律：(1)加法交換律:⑧

；(2)加法結(jié)合律:⑨

；(3)數(shù)乘分配律:⑩

.二、共線向量與共面向量1.如果表示空間向量的有向線段所在的直線

，則這些向量叫做共線向量或平行向量.a平行于b,記作a∥b.a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)λ(a+b)=λa+λb11互相平行或重合當前9頁，總共41頁。

2.共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使

.3.共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在實數(shù)對x,y,使p=

.12a=λb14xa+yb當前10頁，總共41頁。推論:空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,y,使

=.

.三、空間向量基本定理空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任意向量p,存在一個惟一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使p=

.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使=

.15x+y16xa+yb+zcx+y+z17當前11頁，總共41頁。四、兩個向量的數(shù)量積

1.已知空間兩個向量a,b,則a,b的數(shù)量積為:a·b=

,其中〈a,b〉表示向量a，b的

,其范圍為

.

2.空間向量的數(shù)量積有如下性質(zhì)：(e為單位向量)

(1)a·e=

;(2)a⊥b

;(3)|a|2=

;18|a|·|b|cos〈a,b〉19夾角20［0，π］21|a|cos〈a,e〉22a·b=023a·a當前12頁，總共41頁。3.空間向量滿足如下運算律：(1)(λa)·b=

；(2)a·b=

;(3)a·(b+c)=

.24λ(a·b)25b·a26a·b+a·c當前13頁，總共41頁。題型一空間向量線性運算及應(yīng)用例1三棱錐O-ABC中，M、N分別是OA、BC的中點，G是△ABC的重心，用基向量,,表示和.當前14頁，總共41頁。要想用已知向量表示未知向量，只需結(jié)合圖形，力扣基底，充分運用空間向量加法和數(shù)乘向量的運算律即可.=+=+=+(-)=+[(+)-]=-++.=+=-++=++.當前15頁，總共41頁。用已知向量表示未知向量，一是要選好基底，二是要以圖形為指導(dǎo)，利用平面圖形的性質(zhì)，比如重心與中點的特殊量的關(guān)系等等.當前16頁，總共41頁。題型二空間向量數(shù)量積及應(yīng)用例2已知正方體ABCD-A1B1C1D1，CD1和DC1相交于點O,連接AO,求證:AO⊥CD1.當前17頁，總共41頁。因為=+=++=++(+)=+++=++.

=+=-+，所以·=(++)·(-+)=-·-·-·+·

+·+·=0.所以⊥，即AO⊥CD1.當前18頁，總共41頁。（1）利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉(zhuǎn)化成向量，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算去計算或證明，但要注意“和向量”的方向.

(2)由本例可以看出利用空間向量證明垂直問題要用到空間向量的加法法則，向量的運算以及數(shù)量積和垂直條件，是通過向量的計算來完成位置關(guān)系的判定.當前19頁，總共41頁。如圖所示，已知ABCD，從平面AC外一點O引向量=k,=k,=k,=k,求證：

(1)四點E、F、G、H共面；(2)平面EFGH∥平面ABCD.欲證四點共面,只需證明,,共面,利用A、B、C、D四點共面可證,利用向量的平行可以來證明線線平行,從而證得面面平行.當前20頁，總共41頁。

(1)因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以=+,則EG=OG-OE

=k-k=k=k(+)=k(-+-)=-+-=+,所以E、F、G、H共面.當前21頁，總共41頁。(2)因為=-

=k(-)=k,又由(1)的證明知=k,于是EF∥AB,EG∥AC,所以EF∥平面ABCD,EG∥平面ABCD.又EF∩EG=E,所以平面ABCD∥平面EFGH.用向量共面來證明四點共線和用向量共線證明線線平行,從而證明面面平行，是立體幾何中常用的向量方法.當前22頁，總共41頁。題型三空間向量基本定理及應(yīng)用例3如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AA1=3,AB=AD=2.(1)求證：AA1⊥BD；(2)求||；(3)求cos〈，〉.當前23頁，總共41頁。條件較集中于點A處，故可取,,為解決問題的基向量,題中各問題中的有關(guān)向量,都用基向量來表示,再進行相應(yīng)運算.

(1)證明：因為·=·(-)=·-·=3×2×cos60°-3×2×cos60°=0,所以⊥，即AA1⊥BD.當前24頁，總共41頁。(2)||2==(++)2=+++2·+2·+2·=4+4+9+2×2×2cos60°+2×2×3×cos60°+2×2×3×cos60°=33，所以||=.當前25頁，總共41頁。(3)在△A1AB中，由余弦定理，得A1B2=9+4-2×2×3×cos60°=7，即A1B=7.又=-，所以·=·(-)=·-·=2×2×cos60°-2×3×cos60°=-1.所以cos〈,〉===.本題提供的是利用空間向量的基本運算來處理立體幾何中的證明的一般方法，在復(fù)習(xí)中，應(yīng)加強這方面的思考.當前26頁，總共41頁。如圖，直三棱柱ABC—A′B′C′中,BC′⊥AB′,BC′⊥A′C,求證：AB′=A′C.當前27頁，總共41頁。（證法一）向量基底法.

=+,=+，=+.因為BC′⊥AB′，所以·=0，即(+)·(+)=0,所以·+·=0.①同理，由BC′⊥A′C可得·+·=0.當前28頁，總共41頁。因為直三棱柱ABC—A′B′C′,所以=,故·+·=0.②①+②得(+)·=0.又=-，所以||2=||2.將=+兩邊平方得=+，將=+兩邊平方得=+,即=+,所以=,即AB′=A′C.當前29頁，總共41頁。(證法二)向量坐標法.以AB所在直線為x軸，在平面ABC上以過A且垂直于AB的直線為y軸，AA′所在直線為z軸，建立直角坐標系.設(shè)有關(guān)點的坐標為A(0,0,0),B(b,0,0),A′(0,0,a),C(x,y,0),則B′(b,0,a),C′(x,y,a).從而=(b,0,a),=(x,y,-a),=(x-b,y,a).當前30頁，總共41頁。因為⊥,所以(x-b,y,a)·(b,0,a)=0,所以a2=b2-bx.①同理,由⊥可得a2=x2-bx+y2，②=a2+b2=2b2-bx,=x2+y2+a2，代入①②得=2b2-bx,所以=，故||=||，即AB′=A′C.當前31頁，總共41頁。

1.適當選取三個不共面的向量作為基底，把已知條件轉(zhuǎn)化為各個向量間的關(guān)系，通過運算得到結(jié)果，這就是向量法解立體幾何題的重要策略之一：基底法.

2.建立適當?shù)淖鴺讼担O(shè)出相關(guān)點的坐標，表示出相關(guān)向量，把已知條件轉(zhuǎn)化為各向量間的關(guān)系，通過運算得到結(jié)論，這也是向量法求解立體幾何題的重要策略：坐標法.當前32頁，總共41頁。1.利用向量解幾何問題的基本方法是：把向量或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量運算去計算或證明.關(guān)鍵是基底或坐標系的選取和運算變形能力.2.注意一些常用結(jié)論(1)基本定理：給定空間向量的一個基底{a,b,c}，對于空間任一向量p存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使p=xa+yb+zc.當前33頁，總共41頁。(2)共線、垂直的充要條件:a∥ba=λb(b≠0),a⊥ba·b=0.(3)共面的充要條件:p,a,b共面p=xa+yb(a∥/b).(4)長度、夾角公式:|a|=

,cos〈a,b〉=.當前34頁，總共41頁。

a+b+c學(xué)例1(2007·安徽卷)在四面體O-ABC中，=a,=b,=c,D為BC的中點,E為AD的中點,則=

(用a,b,c表示).=(+)=［(+)+］=++=a+b+c.當前35頁，總共41頁。學(xué)例2(2009·海南/寧夏卷)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的2倍，P為側(cè)棱SD上的點.

(1)求證：AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小;

(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC

上是否存在一點E，使得

BE∥平面PAC?若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由.當前36頁，總共41頁。

（方法一）(1)證明：連接BD，設(shè)AC交BD于O，由題意知SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平