理論力學(xué)之剛體的平面運(yùn)動(dòng)

剛體的平面運(yùn)動(dòng)2.平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)3.平面圖形上各點(diǎn)的速度(1)速度合成法(2)速度投影定理(3)瞬心法1.剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程4.平面圖形上各點(diǎn)的加速度內(nèi)容提要1（一）.剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程(1)平面運(yùn)動(dòng)的定義在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,剛體上任一點(diǎn)與某一固定平面的距離始終保持不變.即剛體內(nèi)任一點(diǎn)始終在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng).OAB(圖11-1)O(圖11-2)圖11-1中的AB桿和圖11-2中的園盤O均作平面運(yùn)動(dòng).2設(shè)一剛體作平面運(yùn)動(dòng),MNSA1A2A體內(nèi)每一點(diǎn)都處在與固定平面M平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng).若作一平面N與平面M平行,并以此去截割剛體得一平面圖形S.可知該平面圖形S始終在平面N內(nèi)運(yùn)動(dòng).因而垂直于圖形S的任一條直線A1A2必然作平動(dòng).故A1A2的運(yùn)動(dòng)可用其與圖形S的交點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)來(lái)替代.因此剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形在其自身平面S內(nèi)的運(yùn)動(dòng).3(2)運(yùn)動(dòng)方程設(shè)平面圖形S在固定平面Oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng).SxyoAOxoyo圖形S的位置完全由其上任一線段OA的位置來(lái)確定.而OA的位置取決于點(diǎn)O的坐標(biāo)xo,

yo以及與x軸的夾角.O稱為基點(diǎn).xo=f1(t)yo=f2(t)=f3(t)剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程4（二）.平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)(1)剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程的討論:若等于常數(shù),則剛體作平動(dòng).若xo和yo分別等于常數(shù),則剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).由此可知:剛體的平面運(yùn)動(dòng)包含著平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)這兩種基本運(yùn)動(dòng).(2)剛體平面運(yùn)動(dòng)的分解建立靜系Oxy并在平面圖形S上選取基點(diǎn)O.以基點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平動(dòng)坐標(biāo)系Oxy(原點(diǎn)隨基點(diǎn)一起運(yùn)動(dòng)，兩坐標(biāo)軸與原位置平行).5剛體的平面運(yùn)動(dòng)

(絕對(duì)運(yùn)動(dòng))xyoSAxyOSAxyOA隨同基點(diǎn)的平動(dòng)(牽連運(yùn)動(dòng))繞著基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)(相對(duì)運(yùn)動(dòng)).6(3)有關(guān)基點(diǎn)選取的討論ABSⅠASⅡABB12則直線AB隨之運(yùn)動(dòng)到的AB位置.設(shè)在時(shí)間t內(nèi)平面圖形S從位置Ⅰ運(yùn)動(dòng)到位置Ⅱ.由幾何關(guān)系可知:1=2由此推得:1=21=2以A為基點(diǎn)以B為基點(diǎn)AA''=BB()7由幾何關(guān)系可知:1=2由此推得:1=2

1=2

結(jié)論:在同一瞬時(shí),圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度都是相同的.又因動(dòng)系作平動(dòng),故在動(dòng)系中觀察到圖形的角速度與角加速度就是圖形相對(duì)靜系的絕對(duì)角速度和絕對(duì)角加速度.平面運(yùn)動(dòng)隨同基點(diǎn)的平動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān),而繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān).AA''=BB()8例題.確定下面兩圖中作平面運(yùn)動(dòng)的物體并選取適當(dāng)?shù)幕c(diǎn).OABOABvB以A點(diǎn)為基點(diǎn)：牽運(yùn)：隨A點(diǎn)的圓曲平動(dòng)。相運(yùn)：繞A點(diǎn)的定轉(zhuǎn)。以B點(diǎn)為基點(diǎn)：牽運(yùn)：隨B點(diǎn)的水平平動(dòng)。相運(yùn)：繞B點(diǎn)的定轉(zhuǎn)。9（三）.平面圖形上各點(diǎn)的速度vMOvoxyoMxyOvovM1、速度合成法若已知圖形上某點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng),在某瞬時(shí)該點(diǎn)的速度為vo,圖形的角速度為,如圖所示.由va=ve

+vr可得ve=vovr=vMO=OMvM=vo+vMO(1)

102、速度投影定定理把(1)式向OM方向投影得:(vM)OM=(vo)OM(2)平面圖形上任意意兩點(diǎn)的速度,在該兩點(diǎn)連線線上的投影彼此相等等.(2)式適用于于作任何運(yùn)動(dòng)的的剛體.平面圖形上任一一點(diǎn)的速度等于于基點(diǎn)的速度與與該點(diǎn)隨同圖形繞繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速速度的矢量和.11例題.半徑為r的車輪A在直線線軌道上作純滾滾動(dòng).寫出其輪輪心A點(diǎn)的速度度vA加速度aA與車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角角速度角加速度之之間的關(guān)系.A12AyxoxyBC解:取A為基點(diǎn)點(diǎn)建立靜系Oxy和隨基點(diǎn)A平平動(dòng)的動(dòng)系A(chǔ)xy.xA=xA(t)yA=r=(t)由xA=r得:（開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，，輪上B點(diǎn)與與地面面O點(diǎn)接觸。））13例題.橢圓圓規(guī)的構(gòu)造如圖圖所示.滑塊A和B分別可在相相互垂直的直槽槽中滑動(dòng),并用用長(zhǎng)l=20cm的連桿AB連接.設(shè)已已知vA=20cm/s,方向如圖示.求求=30時(shí)時(shí)滑塊B和連桿桿中點(diǎn)C的速度度.ABCvA14解:取A為基點(diǎn)點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn).vB=vA+vBA(1)把(1)式向AB方向投影得得:vBsin=vAcosvB=vActg=34.64cm/s把(1)式向vA方向投影得:0=vA-vBAsinvBA=40cm/s=20=2rad/s(順時(shí)針）ABCvAvAvBvBA15取A為基點(diǎn)C為為動(dòng)點(diǎn).vC=vA+vCA(2)ABCvAvAvBvBAvCAvCvAvCA=(CA)=20cm/s對(duì)(2)式應(yīng)用用余弦定理得:vA=20cm/s16求C點(diǎn)速度法二二:直接建立點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.OxyABCvA由vA=-20cm/s,=30得:=2rad/svB=lcos=34.64cm/svA=-lsinxA=lcosyB=lsin

xC=0.5lcosyC=0.5lsin得:vC=20cm/s17例題.在圖示結(jié)結(jié)構(gòu)中,已知曲曲柄O1A的角速度,求滑塊C的速度.圖中中O1A=r,O2B=BC=l.O1O2ABC18解:分析A,B和C點(diǎn)的運(yùn)運(yùn)動(dòng)并畫速度矢矢量圖.O1O2ABCvAvBvC由速度投影定理理得:vAcos=vBcos(+)vBcos(90-2)=vCcos聯(lián)立上述兩式得得:vA=r19例題.圖示為一一連桿滑塊機(jī)構(gòu)構(gòu).連桿長(zhǎng)AB=BC=3m,已知滑塊A以以等速vA=0.2m/s向右運(yùn)動(dòng).在在圖示瞬時(shí),連連桿AB的角角速度AB=0.4rad/s.求此瞬時(shí)滑塊C的速度和連連桿BC的角速速度BC.ABvAAB4343C4420解:取B為動(dòng)點(diǎn)點(diǎn),分別取A和和C為基點(diǎn)畫速速度矢量圖.vB=vA+vBA(1)vB=vC+vBC(2)vA+vBA=vC+vBC(3)聯(lián)立(1)和(2)式得:vAvBAvCvCvBCABvAAB4343C44tg=0.75tg=1vBA=1.2m/s21把(3)式向BC方向投影得得:vAvBAvCvCvBC

ABvAAB4343C44-vAsin+vBAcos(90-2)=-vCcos(90--)vC=-1.02m/s把(3)式向vA方向投影得:vA-vBAcos=vCcos+vBCcosvBC=-0.06m/s=BC3BC=-0.02rad/sBC223、瞬心法(1)問(wèn)題的提提出既然基點(diǎn)是任選選的,若選取速速度等于零的點(diǎn)點(diǎn)為基點(diǎn),問(wèn)題將大大大的簡(jiǎn)化.那那么,在某某一瞬時(shí),圖形形上速度等于零的的點(diǎn)如何確定?vM=vo+vMO(1)vMOvoxyoMxyOvovM(1)式是應(yīng)用用基點(diǎn)法求平面圖形上任一一點(diǎn)速度的合成公式.23設(shè)在某一瞬時(shí),已知圖形上A點(diǎn)的速度為vA圖形的角速度為為.若沿速度vA的方向取半直線AL,并將此半直線繞A點(diǎn)按的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過(guò)90到AL的位置,則在AL上由長(zhǎng)度AC=vA/所定出的一點(diǎn)C,就是此瞬時(shí)圖形上速度等于零的一點(diǎn).vc=vA-vCA=vA-(AC)=vA-(vA/)=0AvALLCvAvCA24一般情況下,在平面圖形形中,每一瞬瞬時(shí)都唯一一地存在著速速度等于零的的點(diǎn).該點(diǎn)稱稱為平面圖形形在此瞬時(shí)時(shí)的瞬時(shí)速度度中心.簡(jiǎn)稱稱速度瞬心.CNMvM=(CM)vMvNvN=(CN)圖形上任一點(diǎn)點(diǎn)的速度大小小與該點(diǎn)到速速度瞬心C的的距離成正比,其速度方位位垂直于該點(diǎn)點(diǎn)與速度瞬心心C的連線.C又又稱為平面圖圖形的瞬時(shí)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中心.CM和CN稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)半徑.25AvA速度瞬心可在在平面圖形內(nèi)內(nèi),也可在平平面圖形外.且

它的位位置不是固定定不變,而是是隨著時(shí)間變變化的.(2)速度瞬瞬心的確定C(a)當(dāng)平面面圖形沿某一一固定面作無(wú)無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)動(dòng)時(shí),圖形上與固定定面的接觸點(diǎn)點(diǎn)C即為該圖圖形的瞬心.vAAC26(b)已知在某瞬時(shí)時(shí)圖形上任意意兩點(diǎn)A和B速度的方位位且它們互不不平行.則通通過(guò)兩點(diǎn)A和和B分別作速速度vA和vB的垂線其交點(diǎn)點(diǎn)C即為瞬心心.OABC27(c)已知在某瞬時(shí)時(shí)圖形上A和和B兩點(diǎn)的速速度互相平行行,且垂直于于AB的連連線,但速速度大小不等等.則此時(shí)AB直線與兩兩速度矢量vA和vB的終端連線的的交點(diǎn)C即即為瞬心.ABvAvBCvBvAABC28(d)已知在某瞬時(shí)時(shí)圖形上A和和B兩點(diǎn)點(diǎn)的速度的方方位互相平行行,但不垂直直于AB的的連線.此時(shí)時(shí)瞬心在無(wú)窮窮遠(yuǎn)處.這種種情況稱為瞬瞬時(shí)平動(dòng).OBAAB=0AB029例題.在在圖示示結(jié)構(gòu)中,已已知曲柄O1A的角速度.確定平面面運(yùn)動(dòng)桿件的的瞬心.圖中O1A=r,O2B=BC=l.O1O2ABC30解:AB桿和和BC桿作平平面運(yùn)動(dòng).其其瞬心分別為為C1和C2O1O2ABCC1C231例題.圖示瞬瞬時(shí)滑塊A以以速度vA沿水平直槽向向左運(yùn)動(dòng),并并通過(guò)連桿AB帶動(dòng)輪B沿園弧軌道道作無(wú)滑動(dòng)的的滾動(dòng).已知知輪B的半徑徑為r,園弧弧軌道的半徑徑為R,滑塊塊A離園弧軌軌道中心O的的距離為l.求該瞬時(shí)連連桿AB的角角速度及輪B邊緣上M1,M2和M3各點(diǎn)的速度.rROBlAvAM1M2M332解:輪B和和桿AB作平平面運(yùn)動(dòng),C為輪B的瞬心.rROBlAvAM1M2M3CvB桿AB作瞬時(shí)平動(dòng).AB=0vA=vBBvM1vM2vM3vM1=2vB=2vAvM2=(CM2)B=

vM3=(CM3)B=

33例題：半徑為為r的行星齒齒輪A由曲柄柄OA帶動(dòng)，，沿半徑徑為R的固固定齒輪O作作純滾動(dòng)。設(shè)設(shè)曲柄OA以以勻角速度度o轉(zhuǎn)動(dòng)。求輪O上M點(diǎn)的速速度。（AMOA）AOCMo解：齒輪A的的瞬心為C點(diǎn)點(diǎn)。VA=(r+R)o=rAA=(r+R)o/rAVMVM=CMA=2(R+r)o34例題.半徑為為R的車輪沿沿直線軌道作作無(wú)滑動(dòng)的滾滾動(dòng),如圖所所示.已知輪輪心A在圖圖示瞬時(shí)的速速度為vA.求該瞬時(shí)車車輪角速度.AvAaA35解:輪A作平平面運(yùn)動(dòng)C為其瞬心心.VA=RAvAC36作業(yè)9---5;9---1337例題.圖圖示曲柄肘式式壓床,已知知曲柄OA的的角速度=40rad/s,OA=15cm,AB=80cm,CB=BD=60cm.當(dāng)當(dāng)曲柄與水平平線成30角

時(shí)連桿AB處于水平平位置,而而肘桿CB與鉛垂線也也成

30角.求此機(jī)構(gòu)構(gòu)在圖示位置置時(shí)連桿AB和BD的的角速

度及及沖頭D的速速度.OABCD30303038OABCD303030C1C2C1為AB桿的瞬心.C2為BD桿的瞬瞬心.解:桿AB和和BD桿作平平面運(yùn)動(dòng).vA=(OA)=6m/s=8.66rad/sABvB=(C1B)AB=(C2B)BDvD=(C2D)BDBD=5.77rad/svD=3.46m/sBDvAvBvD39例題.圖圖示為一平面面連桿機(jī)構(gòu),等邊三三角形構(gòu)件ABC的邊長(zhǎng)長(zhǎng)為a三個(gè)頂點(diǎn)A,B和C分分別與套筒A,桿O1B和O2C鉸接,套筒筒又可沿著桿桿OD滑動(dòng)動(dòng).設(shè)桿O1B長(zhǎng)為a并以角速度轉(zhuǎn)動(dòng),求機(jī)構(gòu)構(gòu)處于圖示位位置時(shí)桿OD的角速度OD.OABCO1O260D40解:等邊三三角形構(gòu)件件ABC作平平面運(yùn)動(dòng)C1為其瞬心.OABCO1O260DC1vBvB=(O1B)=avAvAcos30=vBcos60vrveOD341例題：OA=O1B=r=30cm，，AB長(zhǎng)2r，OA以角速度度=4rad/s順順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)。求AB桿的角速速度和O1B桿的角速速度。BAO1Oo解：速度合合成法以A點(diǎn)為基基點(diǎn)VB=VA+VBAVAVBVAVBAVA=1.2VB=1.2×cot30

o1=9=2.078=o1×0.3VBA=1.2/sin30

AB=4=2.4=AB×0.6(均為逆時(shí)時(shí)針)42BAO1Oo或：速度投投影定理：：VAcos30=VBsin30VAVBVA=1.2VB=1.2×cot30

o1=9=2.078=o1×0.3VA=1.2=

AB=4AB×0.3AB桿瞬心心為O點(diǎn)：：43四、平面圖圖形上各點(diǎn)點(diǎn)的加速度度OMaOSaMaMOaOaM=ae+arar=aMO平面圖形上上任一點(diǎn)的的加速度等等于基點(diǎn)的的加速度與該點(diǎn)隨圖圖形繞基點(diǎn)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切切向加速度度和法向加加速度三者的的矢量和.44例題.半徑徑為R的車車輪沿直線線軌道作無(wú)無(wú)滑動(dòng)的滾滾動(dòng),如圖圖所示.已已知輪心A在圖示示瞬時(shí)的速速度為vA及加速度為為aA.求該瞬時(shí)時(shí)車輪邊緣緣上瞬心C的加速