初中數(shù)學(xué)拔高輔導(dǎo)(求最值的幾種常見(jiàn)方法)

初中數(shù)拔輔導(dǎo)（最值的種常見(jiàn)法）一、據(jù)對(duì)的何義最實(shí)數(shù)的絕對(duì)值具有非負(fù)性，，a的小值為0，但根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義求一些復(fù)雜問(wèn)題的最值就要采用分類討論法較麻煩根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求最值就能夠把一些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。例：已知

Mx

，則

M

的最小值是?！舅悸伏c(diǎn)撥用分類討論法求出

的最小值是此

x

如我們從絕對(duì)值的幾何意義來(lái)看此就是在數(shù)軸上求一點(diǎn)使它到點(diǎn)1和點(diǎn)

的距離之和為最短。顯然若

,距離之和為

[);若x

,距離之和為

1

;若

,距之和為

[1

。所以,當(dāng)

x

時(shí),距之和最短最值為。

M

的最小值為4。二利配法最完全平方式具有非負(fù)性

2一個(gè)代數(shù)式若能配方成(a)2

的形式，則這個(gè)代數(shù)式的最小值就為k。例2：設(shè)a,為數(shù)，求

a

2ab

b

的最小值?！舅悸伏c(diǎn)撥】一是將原式直接配方成與a的完全平方式有關(guān)的式子可以求出最小值。二是引入?yún)?shù)設(shè)

a

2ab

b

將等式整理成關(guān)于

的二次方程用方法利用判別式求最值。解：(方法一配方得：ab

2

2

b)b24

b3)2(b24當(dāng)

a

b2

b

即

ab

時(shí)，上式中不等號(hào)的等式成立，故所求的最小值為

。（方法二）令

a2ab2

，整理得

a2abb)

，由題可知此關(guān)于a的二次方程有實(shí)數(shù)解，

b2)

2

t33tb2421

t

34

(b2

當(dāng)時(shí)上式中不等號(hào)的等式成立，故t的小值為即式的最小值為例3：若

z2

，則

x

2

2

2

的最小值為（）A．3B.

5914

C.

92

D.6【思路點(diǎn)撥入數(shù)設(shè)

z23

則

x

2

2

2

就可用含的數(shù)式表示，再通過(guò)配方求最小值。解：令

z23

，則

x

，

2

2

2kk2559)1414

2當(dāng)

514

時(shí)，上式中不等號(hào)的等式成立。故

xy2

59的最小值為。14三利對(duì)圖求值根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可以求出兩條線段之和的最小值兩條線段在某條直線的同側(cè)時(shí)，可以利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將在某條直線同側(cè)的兩條線段轉(zhuǎn)化成在該直線異側(cè)的兩條線段，進(jìn)而求出最值。例4、下圖，已知邊長(zhǎng)為的方形ABCD，點(diǎn)E在上且2cm

。在對(duì)角線

BD

上求作一點(diǎn)

P

，使

AP

最短，并求出它的最小值?！舅悸伏c(diǎn)撥】此題是要在

BD

上找一點(diǎn)

P

，使

APEP

的和最小。根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短需

AP

和

EP

轉(zhuǎn)化到一條線段上，這就需要找到

E

點(diǎn)關(guān)于

BD

的對(duì)稱點(diǎn)。正方形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)角線所在的直線是它的對(duì)稱軸，而點(diǎn)E的稱點(diǎn)形邊BC上連結(jié)AEBD于P連結(jié)PE所PE

，

AE則點(diǎn)就所求作的點(diǎn)要想求AP最小值，只要求可。與該圖形類似的還有菱形、圓。解：如上圖，作出點(diǎn)

E

關(guān)于

BD

的對(duì)稱點(diǎn)

，在連接

AE

交

BD

于點(diǎn)

P

，則點(diǎn)

P

就是所求作的點(diǎn)。由圖可知

PE

即EP的小值為10。例5、如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知

,點(diǎn)

(6,3)

，分別在

軸、

y

軸上求作點(diǎn)C,D，四邊形ABCD的長(zhǎng)最短？并出周長(zhǎng)的最小值。2

【思路點(diǎn)撥】已知點(diǎn)

,B

為定點(diǎn)，所以

AB

的長(zhǎng)固定不變，這樣只要求出DCCB

的最小值即可。要想求出它的最小值，設(shè)法把這三條線段構(gòu)造在一條線段上，分別作出點(diǎn)A,B的對(duì)稱點(diǎn)

，連接

，與軸軸別交于點(diǎn)D，A

B

D

DC于點(diǎn)C,D就所求作的點(diǎn)。然后分別以ABA

B

為斜邊構(gòu)造

和

，易知點(diǎn)

E

坐標(biāo)為（6，4

坐標(biāo)為(，BE，以

17

，同理可得，

B113

，則四邊形

ABCD

的周長(zhǎng)的最小值是

17

＋

113

。四根垂段短最例、如圖，等腰梯形

ABCD

中，

//,AD

是

BC

的中點(diǎn)。（1求證：

MDC

是等邊三角形）

MDC

繞點(diǎn)

M

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)

MD

(即

)與

AB交于一點(diǎn)MC即MCAD交一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn),F和構(gòu)成AEF.探究AEF

的周長(zhǎng)是否存在最小值。如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出AEF周長(zhǎng)的最小值?！舅悸伏c(diǎn)撥】易證

AMF

.由此可推出

AEAB2,

同時(shí)可推出MEF

為等邊三角形得到

EFMF

,根線段最短”可得

MF

的最小值為點(diǎn)

M到的離3,即EF的小值是。此可得到AEF周的最小值為2。解）

AEF

的周長(zhǎng)存在最小.理由如下：連接

AM

,由（）可得

是菱形，

MAB,MAD,

是等邊三角形，3

AME60EMFAMF60在

與

AMF

中，

BMAMEBMFAM60(ASABEMEAEAEBEEMF

,故

EMF

是等邊三角形，EFMF∵

MF

的最小值為點(diǎn)

M

到

AD

的距離

3

，即

的最小值是

3

。AEF周長(zhǎng)AEAFABAEF

的周長(zhǎng)的最小值為2+

3

.五利一函與次數(shù)性求值一次函數(shù)

y

的圖像是一條直線自變量x取切實(shí)數(shù)時(shí)數(shù)y不在值。但當(dāng)自變量x定在某一區(qū)間內(nèi)時(shí)，存著最值，函數(shù)也存著最值。二次函數(shù)

y

bx

的圖像是一條拋物線自量取切實(shí)數(shù)時(shí)物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)

y

的最值自變量

定義在某一區(qū)間的條件限制時(shí)數(shù)

y

的最值有以下兩種情況：(1)拋物線的頂點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)y的值）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)不在該區(qū)間內(nèi)時(shí)，函數(shù)的值在區(qū)間內(nèi)兩端處取得。例7：1206060

124

13

142【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可分別令生產(chǎn)空調(diào)器

臺(tái)，彩電

y

臺(tái)，冰箱

臺(tái)，總產(chǎn)值M(千元得總產(chǎn)值

M(千元冰

臺(tái)成一次函數(shù)關(guān)系。

M

存在最值。解：分別令生產(chǎn)空調(diào)器臺(tái)彩電臺(tái)冰箱

臺(tái)，總產(chǎn)值為M(千元由題可得：4

y360

yz4xzz60

整理得：

11Mzz，為kM2

隨z增大而減小以當(dāng)60時(shí)M有大值即M的大值為

12

10801050

(千元.當(dāng)

60

時(shí)

72022

.故：每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器30臺(tái)，電270，冰箱60臺(tái)才能使產(chǎn)值最高，最高產(chǎn)值為1050千。例8：

x,x1

是方程

2m

m

的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)為值時(shí)，x2

x

有最小值，并求這個(gè)最小值?！舅悸伏c(diǎn)撥】由韋達(dá)定理可知

x2x2

是關(guān)于

的二次函數(shù)，從判別式入手，根據(jù)

的取值范圍可分析出

x2

x

的最小值。解：由題可知

m)

2

m，解得：

23

令

yx2

，則x)2x1

2m)222

即

m

2

22(m)3

由數(shù)像可知，當(dāng)

m

23

時(shí)，有小值，最小值為222)233

故：當(dāng)

m

23

時(shí)，

x2x2

8有最小值，最小值為9例：某工廠在生產(chǎn)過(guò)程中要消耗大量電能，消耗每千度電產(chǎn)生利潤(rùn)與電價(jià)是一次函數(shù)關(guān)系經(jīng)測(cè)算工廠每千度電產(chǎn)生利潤(rùn)(元千度)與電價(jià)x元/度的函數(shù)象如圖當(dāng)電價(jià)為600元千度時(shí)廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤(rùn)是多少2了實(shí)現(xiàn)節(jié)能減排目標(biāo)，有關(guān)部門(mén)規(guī)定，該廠電價(jià)x(/度)與每天用電量千度的函數(shù)關(guān)系為=10m+500，且該工廠每天用電量不超過(guò)千，為了獲得最大利潤(rùn)，工廠每天應(yīng)安排使用多少千度電？工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤(rùn)最大是多少元？5

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖像易求出每千度電產(chǎn)生利潤(rùn)

y

（元/千）與電價(jià)

（元/千）的函數(shù)解析式為

15

300(x

。令工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤(rùn)為W

元，易得11Wmym(x300)m500)5根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出W的最大值。解：(1)略（）工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤(rùn)元，由題意得：11Wmym(x300)m500)5

22

m60)m60)

，化簡(jiǎn)配方，得：

Wm50)

5000(0m∴當(dāng)

時(shí)，

W最大

。即當(dāng)工廠每天消耗50千電，工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤(rùn)最大為5000元六利均定求值當(dāng)

a,

均為正實(shí)數(shù)，且

a

（定值）時(shí)，

a2

（定值）當(dāng)且僅當(dāng)

a時(shí)取等號(hào)，定理稱為均值定。運(yùn)用均值定理求最值要同時(shí)滿足“一正、二定、三相等”三個(gè)條件。多數(shù)運(yùn)用均值定理求最值的問(wèn)題的條件具有隱蔽性，需要適當(dāng)?shù)刈冃尾拍苡镁刀ɡ砬蠼?。?0：知正數(shù)xy滿

8，

的最小值?！舅悸伏c(diǎn)撥】把

xy

看作

()用知條件整體代換，再用均值定理可以求解。解：

8yy)y)(

1x16yy)1010yx題可知，當(dāng)且僅當(dāng)

16y1，且x

時(shí)等號(hào)成立，又

x,y

，解得x12,y

，

x

的最小值為18.例11：知

51,求數(shù)yx4x

的最大值?！舅悸伏c(diǎn)撥】由題可知

4x

，首先需調(diào)整符號(hào)；又

(4x

14x

不是定值，需對(duì)

進(jìn)行湊項(xiàng)才能求出定值。解：

111x))4x5x5

6

當(dāng)且僅當(dāng)

5x

15x