數(shù)學(xué)分析知識點總結(jié)709

一章實集與函數(shù)§1 §1 教學(xué)目的使學(xué)生掌握的基本性質(zhì)．教學(xué)重點：理解并熟練運用的有序性、稠密性和封閉性；牢記并熟練運用教學(xué)難點的概念及其應(yīng)用．教學(xué)方法講．(部分內(nèi)容自學(xué))教學(xué)程序：引言上中，我們大家共同探討了《學(xué)分析》這門程和開始．”開始．答《學(xué)分析》研究的基本對象是，但這里的“實”上的（XX《復(fù)變》研究的是定義在復(fù)上的）.為此，我們.1.“限小”（包括整）也“限小”.此作如規(guī)定：于正限小中記；于正整則記；于負(fù)（包括負(fù)整）則將限小現(xiàn)在所得小之前加負(fù)號.00=例:32.9999|1；-2.001》-2.009999|)I；-3》-2.9999111用上述規(guī)定任何都可用個確定限小來如何比較大小?2兩大小比較1）定義1給定兩個非負(fù).中非負(fù)整整．若、按上述規(guī)定有（）．規(guī)定：任何任何比較的價條件（通過有限來比較）．定義2（不足近似過剩近似）：有理的位不足近似的位過剩近似.其位不足近似注：的不足近似當(dāng)增時不減即有n時不增，即有．命題：兩個的價條件是：數(shù) n,使（其中的位不足近似的位過剩近似）．命題應(yīng)用例1設(shè)有理,滿足．證明：由知：n,.令r有理且即．3、常用性質(zhì)（II.）.封閉性（集）四運算是封閉的即任意兩個不0）仍是......2...“”取）二、絕值式1、絕值定義絕值定義為.2、幾意義從看絕值就是到原距離.表就是3、質(zhì)12；3,；45；6.、幾個重要1、2、均值：記算術(shù)平均值）幾平均值）調(diào)和平均值平均值：即：n1 1 11 - a a a1 2 號當(dāng)且僅當(dāng)時成立a2ann3、Bernoulli:（xx）有不等式當(dāng)且,且時,有嚴(yán)格不等式證：由且nn(1=n(1 —(114、利用二項xx得到的不等式：對由二項xxn(n-1)(1h)n =1nh2!有上式右端任何一項［練習(xí)］P4.5［課堂小結(jié)］:實數(shù)：.

h2 n(n—1)(n—2)h3 hn,3!［作業(yè)］P4.1.(1),2.(2)、(3),3§2 數(shù)集和確界原理授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)一一§2 數(shù)集和確界原理教學(xué)目的：使學(xué)生掌握確界原理，建立起實數(shù)確界的清晰概念教學(xué)要求:掌握鄰域的概念；理解實數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以.()....§1 實相.下面來下如何！1、證明任何(1)(2).()()2、證明.3、設(shè)證明若任何正則4、設(shè)證明存在滿足.[申]:①由1結(jié)呢？這樣思考是做科時經(jīng)常的思路之.而不做完就完！而多想想能否具體出般結(jié)般？②由述幾個小可體會出“”與不同③課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做以加深盡快掌握本本節(jié)主要內(nèi)容：1、先定義實數(shù)集R中的兩類主要的數(shù)集一一區(qū)間與鄰域；2界集與無界集；3界集的界引出確界定義及確界存在定(確界原)一、區(qū)間與鄰域1、區(qū)間(用來表示變量的變化范圍)設(shè)且.其中開區(qū):<x€ R|avx<b>=(a,b)限區(qū)間* 間：蘭4[b]半開半閉區(qū)間開開區(qū)間5b)J開閉區(qū)間:卜亡R|a<x^b}=(a,b]無限區(qū)間

xR|xa],xR|x(Y,a].x=R|xa[=xR|xa--,a).xR|-x2“居”.字面意思“近的區(qū)”.與近的“區(qū)”很多，到底哪一類是我們所要講的“”呢？就是“關(guān)于的對稱區(qū)間”如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？的設(shè)，滿足不等式的全體實數(shù)的集合稱為點的其中點的空心的右和點的空心右U(a;、)二[a,a、)LU(a)U),a+)LU={x

xa蘭x<a+6};xavxca點的左和點的空心左U—(a;6)=(a—6,a][U_(a)={xa—6cx^a};U[(a;6)=(—U(a)={x—5xv.(M)；u(p)={xXAM},U(-°a)={xXV-M}、有界集與無界集11一個集.若存在S有上(下)界集.稱S若集S既有上界又有下界S有界集.閉區(qū)間、開區(qū)間有限)、等都是有界集,集合也是有界集.若SS無界集.等都是無界集，集合也是無界集.注：1)上(下)界若存在不唯一；2S關(guān)系如何？看下例1集有界性1；.M,M>0..2123.:S:.、確與確原理1、2確SR中滿足1切有即S2存在使得即S中最小稱S確記作從中得出:確就中112.:必要性用反法.2立與中最小矛盾.分析知識點總結(jié).2.3SR一個數(shù)集若數(shù)滿足：1對一切有S；2對任何存在S最大一個S記作.從可以出：就最大者.2要條件：1；2＞0v統(tǒng)稱為例31則1 ；0.2則1 ；0.注：非空有數(shù)集或唯一.命題3：數(shù)集有則這必唯一.明：且則妨設(shè)有對.例：分析知識點總結(jié).4.5.,,6,:,有或,,,,.,.. .3⑵做解釋.. 最值.1）最值必種臨點必（面）類似4.:Th1.1（）..必；必...1210n.1,n .2 ,n .9,1210121.:P91(1),(2); 2;4(2)(4);7§3:§3教學(xué)目.教學(xué)要求:(1 深刻理解的定義以及復(fù)合和初等,熟悉的各種表示法;(2 牢記基本初等的定義、性質(zhì)及其圖象.會求初等的存在域,會分析初等的復(fù)合關(guān)系.教學(xué)重點:的.教學(xué)難點:初等教學(xué)方法:堂講引言關(guān)于，在中學(xué)節(jié)將對此作進(jìn)步討論.、的定義1.定義1 設(shè)，如果存在對應(yīng)法則，使對，存在唯的個之對應(yīng)，則稱是定義在上的，記作:D>M...2“”表示按法則建立到關(guān)系表示這兩個元素之間關(guān)系也.習(xí)慣上自變量因變量.有三個要素、法則和.當(dāng)確后便自然確基本要素兩個：和以也常表示由此我們兩個相同是指它們有相同和1）（不相同法則相同不同）2）（相同只是法則表達(dá)形式不同）用公式法（解析法）表示時自變量通常存（自然）.此時可省略不寫而只用“”或“”.（4）“映射”觀來看本質(zhì)上是映射于映射下象.“單”若同可以多于則種多.本書討論單簡.表示方法主要方法：解析法公式法、列表法表格法和圖象法圖示法）可用“特殊方法”來表示.分段：在域不同部分用不同公式來表示 例如 符號借助于sgnx可表示即.用語言敘述.注意；以下不是分段例 1取整比如：[3.5]=3,[3]=3,3.5]=-4.常即.此關(guān)非負(fù)小圖形是條大鋸看.2xx雷Dirichlet_1x〔0,x無是病態(tài)很用處卻無法畫出圖形 .是周但卻沒最小周期事實上任理都是周期 .xxRiemmanI-,w+,二qq q,=1和1?、差、積如下:若XX值即令可商如下;注：1若貝y不能進(jìn)行2為敘述方便、差、積、商常分別寫為:、復(fù)合1 .引言有些實際問題中自變量因變量通過另外一些變量才建立起它們之間對應(yīng)關(guān)系例：質(zhì)量為m物體自由下落v,功率為抽去該問題實際意我們得到把代入即得“復(fù)合”，所“復(fù)合”［問題］任給兩個都可以復(fù)合嗎？考慮下例;就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合前提條件是“內(nèi)”值域與“外”定義域交集不空（從而引出下面定義）定義（復(fù)合）對應(yīng)內(nèi)唯一一個值，而又通對應(yīng)唯一一個值，，它以自變量，因變量，記作或.簡記.和復(fù)合，并外，內(nèi)，例子例求并求定義域.例⑴⑵則A.B.C.D.與能否進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合.說明1）復(fù)合可由多個相繼復(fù)合而成.每次復(fù)合，都要驗證能否進(jìn)行？在哪個集上進(jìn)行？復(fù)合最終定義域是什么？.2..①②五、反.引言中叫做自量叫做因指出是自量地位并是絕對而是相對量但對來講，是因習(xí)慣上說中是自量是因量是基于隨現(xiàn)時我們研究隨狀況研究隨我們引入反函2 概念R果由（則稱上是1-1.稱為滿.1-11-1.R1-11-1.1-1.,.f:X>YfJ:Y>X）.1-1.1-1"x, 0x cfx=丿3-x 1蘭xE2.:1-1.XX.、因互.RR.zy =z2-1z2zy _1=0）?.一是我們只1-1對應(yīng)就行了；二是.只是到1-1,由條件我們有2fx人 f區(qū)X21-1再..由再由條件唯一不動點也不動點.性設(shè)是不動點由唯一性,不動點.唯一性設(shè)=...D .3、aDb.f4(x),xf(D).已 ?圖形 坐標(biāo)系畫出時差別.六、初等基本初等（6類）數(shù)C；..2.+sup'ar

為有理｛，當(dāng) a *=?a far當(dāng)l時.rL_r<xX.[]“是存呢”初等3.由初等經(jīng)過限次四則運算統(tǒng)稱初等.Dirichlet、Riemann、取整都.注本課程研究此除對基本圖象與性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外還應(yīng)常握確定2.求下列定義域.(1) ；(2)幾個特例:設(shè)和都,則1)為2,,f(x)f(x)n）g(x)lnf(x):3;4:(2(3); 5:; 7:11§4§4....:..“”似先談?wù)勆虾?11DDD.1D2DM D.11111“”類比出“”DxxDxx既xxDxxxxDxx.22D.正M,,D上.1幾D圖象完全落和之間；2DxxDxx既xx子(3)D31,.0,,.2..3.D.1(2).4,有f(x)

5x~2~2x+3

5x5x5—2——--=2x+3 2/6|x..2422= l524f(x)55x2x23f(x)55x2x2353tgt3'2tg2t15sint16costsect2 326

sin2t—產(chǎn).2/6、單調(diào)函數(shù)3D，（1）SDD（2）DD例5．證明：在上是嚴(yán)格增函數(shù).證明：設(shè)，如，則如，則故即得證.例6．討論函數(shù)在上的單調(diào)性.，當(dāng)時，有，但此函數(shù)在上的不是嚴(yán)格增函數(shù).注：1）單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān).在定義域的某些部分，可能單調(diào)，也可能不單調(diào).所以要會求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2）嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義：其圖象無自交點或無平行于軸的部分.更準(zhǔn)確地講：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于軸的直線至多有一個交點.這一特征保證了它必有反函數(shù).總結(jié)得下面的結(jié)論：定理1．設(shè)為嚴(yán)格增（減）函數(shù)，則必有反函數(shù)，且在其定義域上也是嚴(yán)格增（減）函數(shù).證明：設(shè)在上嚴(yán)格增函數(shù).對.下面證明這樣的只有一個.事實上，對于內(nèi)任一由于在上嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，總之.即，從而例7討論函數(shù)在上反函數(shù)的存在性；如果在上不存在反函數(shù)，在的子區(qū)間上存在反函數(shù)否？結(jié)論：函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān)8證明：當(dāng)時在R 上嚴(yán)格增，當(dāng)時在上嚴(yán)格遞減.4.DD.D2D.12.1D.2..因“基本”法最小最小“基本”簡“”.任給既基本周1,2C 常任何正都它.第二章引言了掌握變量變化規(guī)律往往需它變化過程來判斷它變化趨勢.例這么變量它開始1,然后去雖然無盡止但它變化趨勢這趨勢就它變化過程越來越接近零.我們就這變量極限0.、、積、.xx...“”字.里臨著“”樣對矛.xx矛.地“”.小.XXln=2nRsin—n.斷?xx著xx.近.樣....明..國xxxx早第3世紀(jì)提稱“割術(shù)”.——割.其“”.除之外象梯計均源“”.必要對§1 ...xx....1“”但這“”任意而規(guī)律次性具體可如下；若函域全體整集合則稱.12.21234）1“尺之棰日取其半部分xx出如下單位尺1，2，3，第天截下,得到:

xxXX竭”.把每天截下難出通項隨著無增大而無地接近零般地若當(dāng)無增大時能無地接近某稱此收斂常稱它.具有種特性收斂或稱發(fā)散.0..“”法并不嚴(yán)格定義而僅是一種“描述性”法如何用學(xué)語言把析.為例觀察該具下特性：隨著無增大無地接近1無增大1減少隨著無增大無減少會任意小只女口：使只即使只即；任給無論多么小正會存在一項從該項之后， 即當(dāng)時.如何找N?（或存在嗎？）解學(xué)式子即得：取即可 這樣當(dāng)時.綜所述通項隨無增大無接近1,即總存在正整當(dāng)時有.即1精確定義記作或.定義1為實,若對任給正總存在正整則稱實稱為并記作或.（讀作:當(dāng)趨等或趨）取正整以在若沒有則稱不或稱為.？1.|0|<<.N=則當(dāng)n>N|-0|=<<2.（），3.124.5：n(n-1)(n-2)§33!n20:::

6n2

6n“

6n4 241 14n 27n(n-1)(n

27(n_1)(n_2)

27n

27n nBernoulli或0va—1=‘0va—1=‘a(chǎn)n-1-11=,a-1an、n-1?、2-1因此則當(dāng)即附此題請以下的錯誤做n=1、n)n 1n=nn1—=1_丄；1_；n n n趨零&由于有由于（ *）式是在的條件下成立的，故應(yīng)取，當(dāng)時就有 即總結(jié)用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等式，關(guān)鍵的追求有兩點，一是把隱性表達(dá)式變成顯性表達(dá)式，在重鎖迷霧中看清廬ft真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過份.4關(guān)于數(shù)列的極限的定義的幾點說明（1）關(guān)于：① 的任意性.定義 1中的正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通 項與常數(shù) 的接近程度，越小，表示接近得越好；而正數(shù)可以任意小， 說明與常數(shù)可以接 近到任何程度；②的暫時固定性.盡管有其任意性， 但一經(jīng)給出，就暫時地被確 定下來，以便依靠它來求出；③的性.是任意小的正數(shù)，等等，是任意小的正數(shù)，定義 1中的不等式中的可用等來.而“可用 “；正由于是 任意小正數(shù)，可以限定小于一確定的正數(shù) .（2） 關(guān)于：① 應(yīng)性，一地，的變小而變大，常把定 作，來 是依于的；一經(jīng)給定，就可以到一；②性 .的 應(yīng)性不意味是由一確定的，給定的，若時能使得當(dāng)時 ,有,則或更大的數(shù)時不等式自然成立 .所以不是一的 .事實上，在 許場合下，最重要的是的存在性，而不是它的有大 .基于， 在實際使用中的不必限于自然數(shù)，只要是正數(shù)即可；而且把“改 “無妨 .（3） 數(shù)列極限的幾何理解：在 定義 1xx,“當(dāng)時有“當(dāng)時有”“當(dāng)時有所有下標(biāo)大于的項都落在鄰域內(nèi)；而在之外，數(shù)列 xx的項至只有（有限） .反之，任給，若在之外數(shù)列 xx的項只有有 限設(shè)這有限項的最大下標(biāo)，則當(dāng)時有，即當(dāng)時有，由寫出 數(shù)列極限的一種等價定義（鄰域定義）： 定義 任給，若在之外數(shù)列中的項只有有限，則稱數(shù)列收斂于 極限.1）2），收斂性和極限都不會發(fā)生影響.1.2..3.證2..2.1.P273,4,5,7,8.§2 §2 .目熟悉；掌握求常用方法求（1）使生解并能唯局部界保號保不式;（2）掌握并會四運算迫,并會用這些求某些.點迫及四運算法及應(yīng)用.“”定義，并通過例題說明了驗證，這是較基本內(nèi)容，要求掌握.為了習(xí)技巧及其應(yīng)用極來解決問題.還需要對性質(zhì)作一步討論.一、收斂性質(zhì)性質(zhì)1（唯一性） 若收斂，則它唯-證一假設(shè)都是，則由a-（n&-a卜&&”2；由任意性，式僅當(dāng)時才成證二（反證）假設(shè)不唯一，即至少有兩個不相等值，設(shè)為，且故不妨設(shè)，取由定義，，當(dāng)時有又，當(dāng)時有2（有界性）如果收斂，則必為有界設(shè)即令①性只是收斂的必要條件而非充分條件如②在證明必須分清何用定何3.2定不能用任給否隨在變找到的也隨在變的意義就不明3（保序性）設(shè)1）若存在212⑴知必這與已知矛盾推論保號.特別地貝打與同號思考把上述定理中的換成能否把結(jié)論改成？例設(shè)保序定理可得S,,S,,aan4四運算法、都收斂貝S、、也都收斂且 別地為常數(shù)再也收斂且于故只須關(guān)于和積與倒數(shù)運算的結(jié)論即可設(shè)；.1）2）xx..5、、且證明；以與已即.anaaaa aaak0::: n! 1 2kk+1nk!n…是正S迫性1：在中令此此看和2.1:1..;3：解4：解例5：11=(lim3 lim—)(lim1 lim—)=31=3n nn例

)nn nn6：K式原1如7：8:.1、引言..！ 出“整”特征角度對進(jìn)行研究.那如果“整體無序”“部”否也無序如果“部”序可否“部”來推斷整體性質(zhì)簡而言， 否部”來把握“整體”“部”就要講“ XX”.2、子定義1為正整集無子集且則3f^丨112稱為XX1XX各項都來自且保持些項中中取無多項按照其中順序排成就XX（或XX中順次取無多項成）2中中項中k中k中項.特地.注3項后稱為;XXXX稱為XX.如都XX.由XX同為收 斂或發(fā).2.8XX給存正N,使得當(dāng)由于故當(dāng)從而也這就了（）．分考慮XX.按假它們.由于既XX，故由剛才（9）既樣可得（10）（9）式（10）式給出7由2.8可見若XX則所XX于一個.于若XX或XX而不等則一發(fā).例如其偶項組成XX1,而奇項組成XX于從而發(fā).再如它奇項組成XX為XX發(fā)故發(fā).由可見28判斷發(fā)力工具.§3 存教學(xué)內(nèi)容第二章—§3 存教學(xué)目使學(xué)生掌握判斷存常用工具.12CauchyCauchy.、Cauchy及其.難相關(guān).方法程序：引言研究比較復(fù)雜問題時通常分兩來決先該是否有存問題若再考慮如何計算值計算問題.這是兩基本問題.實際決了存問題之后即使值計算較為困難但由于當(dāng)充分大時能充分接近其故可作為本節(jié)將討存問題為了確個是否當(dāng)然可能將個實本法是接本來作.可若為但之即.如?但觀看來若又隨 n增大減少而增 .——單調(diào).、單調(diào)各項滿足不等式則遞增遞減統(tǒng)單調(diào)．例如：遞；遞增；不是單調(diào).二、單調(diào)定理〔問題〕1單調(diào)定嗎？；2定單調(diào)嗎？如果僅是單調(diào)不足以保證但若既單調(diào)又以面定理單調(diào)定理實系中且單調(diào)必2.12#1……，,……..而端除以得 ,得對等式邊取則有2因為正因此取22:為記則后遞減又為3.4；\,limXn?XX1——XX.2CauchyC auchy任存正整使當(dāng)時.“”存貝打當(dāng)時當(dāng)時有先性,特別地時XXn n =a—aa ?.—22n n N1 “’故()3Cauchy題 .CauchyCauchy:.“擠”起.c） Cauchy把a換成與.其好處數(shù)外a,只要根據(jù)身特征就鑒別其（）（發(fā)）散.例如（）且證.證令|an1-an

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」n1-q...^_衛(wèi)mm mm m且 .45.an-p_an

++…+^p_< +…+］10n+10^ 10n4p—10n4\10丿6.下節(jié)進(jìn)行.7：89：［作業(yè)］教材P38-391，3，5，6，10，11；教材P40-411 (1)(3)，3,4(1)-(3)(6)(8) ，5,10.(P3834)提示考慮用雙逼原理可求得)附單調(diào)有界法欣賞Cauchy1789—1857,Rieman(1826—1866)先Riemann,得x =1n 1n(n—1) 1n(nn n2! n2 3!

n(n-1) 321n!/?n0xn

11112 3!n! 12 23 (n-1)n..Bernoulli）Bernoulli,1」x 1」n1

n22n \nn2+2n+1丿Bernoulli,有/.\,(11n1(n 1、 1 1+丄 / 2 亠 ，n1n n

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ln+2n丿一n+2 n1 '、n一n+2 Bernoulli）\..<n—<n—11=：Xn,/,=,?由AW<1,二<nAnn《）/?.《1991.M 1”.

1980.M 4P22.xx-an1b —a

n 1bn.,）:TheAmericanMathematicalMonthly》1974.Vol81.M 9P10—11........xxxf(x)x7|0,x=0.，..、運算、證明方法上都.F面就依次討論些概念一一概念教學(xué)目：掌握分析能夠用分析證明和計算.教學(xué)求：掌握當(dāng)分析分析證明和計算簡單.教學(xué)建議：.1A ..0;..“”.[問題]給它精確?,精確2. 1實.若給存使得.3、（1）1xxxxxxn.”示在右方曲全部落在如果給得小一即更窄一那么一般往右移無論帶如窄總存在使得曲在右邊個更窄內(nèi).現(xiàn)在上函若函值能無地于常則稱別.種函精確1仿簡寫如下.推論設(shè)在上函則4.=A1.212、時函數(shù)1、引言上節(jié)討論函數(shù)當(dāng)時為在上在上，考慮時是否趨于某個本節(jié)假為在點某個空心鄰域內(nèi)函數(shù)，.現(xiàn)在討論當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值能否趨于某個A數(shù)列.先看下面幾個子：1.（是在上函數(shù)，當(dāng)時，）2.（是在上函數(shù)，當(dāng)時，）3.（是在上函數(shù)，當(dāng)時，）由上述子可見，對有些函數(shù)，當(dāng)時，對應(yīng)函數(shù)值能趨于某個A但對有些函數(shù)卻無此性質(zhì).所以有必要來研究當(dāng)時，我們稱上述第一類函數(shù)為當(dāng)時以為描述性說法一樣，這是一種描述性數(shù)學(xué).那么如何給出這類函數(shù)..22A .31.2..——；但一經(jīng)之后暫把看不.便通尋找成立.二——暫固.尋找常；另外正均正均扮演角色.也三——多；3它列N .它應(yīng).之應(yīng)所依賴而適選取之；般.但求.——多值.（4）在定義中只函在某空心鄰域內(nèi)有定義而般在處函值否存在或者取什么樣值.為對于函極限我們所研究當(dāng)趨于過程中函變化趨勢與函在該處函值無關(guān).所以以考慮在點a函值否存在或取何值而限定“”.（5）定義中式；.從而定義2當(dāng)時