氣體分子運動論

關(guān)于氣體分子運動論1第一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二2宏觀法與微觀法相輔相成。熱學(xué)（Heat）

熱學(xué)是研究與熱現(xiàn)象有關(guān)的規(guī)律的科學(xué)。

熱現(xiàn)象是物質(zhì)中大量分子無規(guī)則運動的集體表現(xiàn)。

大量分子的無規(guī)則運動稱為熱運動。1.熱學(xué)的研究方法：宏觀法最基本的實驗規(guī)律邏輯推理(運用數(shù)學(xué))

稱為熱力學(xué)。優(yōu)點：可靠、普遍。缺點：未揭示微觀本質(zhì)微觀法物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)

+

統(tǒng)計方法

稱為統(tǒng)計其初級理論稱為氣體分子運動論(氣體動理論)優(yōu)點：揭示了熱現(xiàn)象的微觀本質(zhì)。缺點：可靠性、普遍性差。第二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二32.兩種研究方法涉及的物理量：宏觀量

從整體上描述系統(tǒng)的狀態(tài)量，一般可以直接測量。如M、V、E

等可以累加，稱為廣延量。

P、T

等不可累加，稱為強度量。微觀量描述系統(tǒng)內(nèi)微觀粒子的物理量。如分子的質(zhì)量m、直徑

d、速度v、動量

p、能量等。宏觀量與微觀量有一定的內(nèi)在聯(lián)系例如，氣體的壓強是大量分子撞擊器壁的平均效果，它與大量分子對器壁的沖力的平均值有關(guān)。第三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二43分子熱運動和統(tǒng)計規(guī)律分子熱運動：大量分子做永不停息的無規(guī)則運動.基本特征：(1)無序性某個分子的運動，是雜亂無章的，無序的；各個分子之間的運動也不相同，即無序性；這正是熱運動與機械運動的本質(zhì)區(qū)別。(2)統(tǒng)計性

但從大量分子的整體的角度看，存在一定的統(tǒng)計規(guī)律，即統(tǒng)計性。分子熱運動具有無序性與統(tǒng)計性，與機械運動有本質(zhì)的區(qū)別，故不能簡單應(yīng)用力學(xué)定律來解決分子熱運動問題。必須兼顧兩種特征，應(yīng)用統(tǒng)計力學(xué)方法。第四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二5定義:某一事件i

發(fā)生的概率為

wi

Ni

事件

i發(fā)生的次數(shù)N

各種事件發(fā)生的總次數(shù)

統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:(1)只對大量偶然的事件才有意義.(2)它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變).表演實驗：伽耳頓板例.扔硬幣什么是統(tǒng)計規(guī)律性大量偶然事件從整體上反映出來的一種規(guī)律性。第五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二6在描寫大量分子狀態(tài)時往往使用統(tǒng)計平均值。

我們描述的是大量分子的運動。一摩爾氣體就有6.0221023個分子。一個個地說明其速度、位置等既無必要又無可能，因而實際上常用它們的平均值。怎樣求平均值呢？以求分子速率的平均值為例：設(shè)有一個系統(tǒng)有N個分子且：具有速率

v1分子數(shù)為

n1,出現(xiàn)

v1值的概率為

n1/N；具有速率

v2分子數(shù)為

n2,出現(xiàn)

v2值的概率為

n2/N；具有速率

vi分子數(shù)為

ni,出現(xiàn)

vi

值的概率為

ni/N；具有速率

vm分子數(shù)為

nm,出現(xiàn)

vm

值的概率為

nm/N。故平均值:第六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二7如果速率看作連續(xù)分布,設(shè)取v

值的概率為dw，則：事實上對任一隨機量

x的平均值可表示為dw為出現(xiàn)

x值的幾率這種利用幾率的辦法求得的平均值稱為統(tǒng)計平均值.第七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二8微觀模型與統(tǒng)計方法理想氣體分子的微觀假設(shè)§2理想氣體壓強和溫度的統(tǒng)計意義1.理想氣體微觀模型(1)氣體分子當作質(zhì)點，不占體積，體現(xiàn)氣態(tài)的特性。(2)氣體分子的運動遵從牛頓力學(xué)的規(guī)律；(3)分子之間除碰撞的瞬間外，無相互作用力，碰撞為彈性碰撞；一般情況下，忽略重力。氣體分子之間的距離引力可認為是零,看做理想氣體。范德瓦耳斯力無相互作用的彈性質(zhì)點！第八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二92.

對大量分子組成的氣體系統(tǒng)的統(tǒng)計假設(shè)：分子的速度各不相同，而且通過碰撞不斷變化著；(2)分子沿任一方向的運動不比其它方向的運動占有優(yōu)勢,即分子速度在各方向上的分量的各種平均值相等．鑒于氣體在平衡狀態(tài)中，分子的空間分布到處均勻的事實，作如下假設(shè)：(1)容器中任一位置處單位體積內(nèi)的分子數(shù)不比其它位置占有優(yōu)勢．第九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二10

設(shè)在體積為V的容器中儲有N個質(zhì)量為m的分子組成的理想氣體。平衡態(tài)下，若忽略重力影響，則分子在容器中按位置的分布是均勻的。分子數(shù)密度為n=N/V.dI為大量分子在dt時間內(nèi)施加在器壁dA面上的平均沖量。3.壓強公式的簡單推導(dǎo)從微觀上看，氣體的壓強等于大量分子在單位時間內(nèi)施加在單位面積器壁上的平均沖量。有

為討論方便，將分子按速度分組，第i組分子的速度為vi（嚴格說在vi

附近）分子數(shù)為Ni,分子數(shù)密度為ni=Ni/V,并有n

=

n1+n2+……+ni+….=ni第十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二11xdAvixdt平衡態(tài)下，器壁各處壓強相等，取直角坐標系，在垂直于x軸的器壁上任取一小面積dA,計算其所受的壓強（如右圖）單個分子在對dA的一次碰撞中施于dA的沖量為2mvix.dt

時間內(nèi)，碰到dA面的第i組分子施于dA的沖量為

2mnivix2dtdA關(guān)鍵在于：在全部速度為vi的分子中，在dt時間內(nèi)，能與dA相碰的只是那些位于以dA為底，以vixdt

為高，以

vi為軸線的圓柱體內(nèi)的分子。分子數(shù)為

nivixdtdA

。第十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二12dt時間內(nèi)，與dA相碰撞的所有分子施與dA的沖量為注意：vix<0的分子不與dA碰撞。容器中氣體無整體運動，平均來講

vix>0

的分子數(shù)等于

vix<0

的分子數(shù)。xdAvixdt第十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二13平衡態(tài)下，分子速度按方向的分布是均勻的，有所以或者顯示宏觀量與微觀量的關(guān)系。是力學(xué)原理與統(tǒng)計方法相結(jié)合得出的統(tǒng)計規(guī)律。壓強的微觀意義：壓強是大量分子碰撞器壁的平均作用力(單位面積上)的統(tǒng)計平均值。

分子的平均平動動能第十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二14溫度的微觀意義比較P=nkT

和，有理想氣體狀態(tài)方程的分子形式由：PV=RT

若分子總數(shù)N，則有

PV=NRT/NA

定義玻爾茲曼常數(shù):k=R/NA=1.3810-23JK-1

則PV=NkT

或

P=nkT4理想氣體的溫度公式:分子的平均平動動能是分子無規(guī)則運動激烈程度的定量表示.溫度T標志著物體內(nèi)部分子無規(guī)則運動的激烈程度.第十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二15方均根速率在同一溫度下，質(zhì)量大的分子其方均根速率小。5.方均根速率

(氣體分子速率平方的平均值的平方根)平均平動動能只與溫度有關(guān)

溫度是統(tǒng)計概念，只能用于大量分子，溫度標志物體內(nèi)部分子無規(guī)則運動的劇烈程度。第十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二161.一定質(zhì)量的氣體,當溫度不變時,壓強隨體積減小而增大;當體積不變時,壓強隨溫度升高而增大，從宏觀上說,這兩種變化都使壓強增大;從微觀上說,它們是否有區(qū)別?2.兩種不同種類的理想氣體,壓強相同,溫度相同,體積不同,試問單位體積內(nèi)的分子數(shù)是否相同?3.兩瓶不同種類的氣體,分子平均平動動能相同,但氣體的分子數(shù)密度不同,試問他們的壓強是否相同?4.兩瓶不同種類的氣體,體積不同,但溫度和壓強相同,問氣體分子的平均平動動能是否相同?單位體積中的分子的總平均平動動能是否相同?問題：（答案：前者是由于分子碰撞次數(shù)增加導(dǎo)致,后者是由于運動加劇導(dǎo)致）（答案:相同）（答案:不同）

（答案:相同,相同）隨堂小議第十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二17

前面我們研究氣體動能時把分子看作無相互作用彈性質(zhì)點的集合，我們發(fā)現(xiàn)當用這一模型去研究單原子氣體的比熱時，理論與實際吻合得很好。但當我們用這一模型去研究多原子分子時，理論值與實驗值相差甚遠。

1857年克勞修斯提出：要修改模型。而不能將所有分子都看成質(zhì)點，對結(jié)構(gòu)復(fù)雜的分子，我們不但要考察其平動，而且還要考慮分子的轉(zhuǎn)動、振動等。理想氣體模型必須修改第十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二18

將理想氣體模型稍作修改，即將氣體分為單原子分子氣體，雙原子分子氣體，多原子分子氣體。這樣，氣體分子除平動外，還有轉(zhuǎn)動和分子內(nèi)原子之間的振動。作為統(tǒng)計理論初步，可不考慮分子內(nèi)部的振動，而認為分子是剛性的。為用統(tǒng)計方法計算分子動能，首先介紹自由度的概念§3能量按自由度均分原理理想氣體內(nèi)能

1.自由度自由度：在力學(xué)中，自由度是指決定一個物體的空間位置所需要的獨立坐標數(shù).

t:

平動自由度,r:

轉(zhuǎn)動自由度第十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二19剛性雙原子分子t=3r=2（兩個被看作質(zhì)點的原子被一條幾何線連接）剛性多原子分子t=3r=3質(zhì)心：3x，y，zc方位：2，轉(zhuǎn)動：1單原子分子(自由運動質(zhì)點)t=3第十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二202.能量按自由度均分定理平方項的平均值平動自由度一個分子的平均平動動能為：可得平衡態(tài)下分子的每一個平動自由度的平均動能都等于推廣到轉(zhuǎn)動等其它運動形式，得能量均分定理。第二十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二21在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子每個自由度的平均動能都相等，都等于。是統(tǒng)計規(guī)律，只適用于大量分子組成的系統(tǒng)。是氣體分子無規(guī)則碰撞的結(jié)果。經(jīng)典統(tǒng)計物理可給出嚴格證明。非剛性雙原子分子除平動能、轉(zhuǎn)動能，還有振動能：每個振動自由度s

分配平均能量1個振動自由度還有第二十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二22此結(jié)論在與室溫相差不大的溫度范圍內(nèi)與實驗近似相符。i表示一個分子的總自由度N

表示氣體分子的總數(shù)

表示氣體總摩爾數(shù)分子的平均動能3.理想氣體的內(nèi)能內(nèi)能：熱力學(xué)系統(tǒng)的全部微觀粒子具有的總能量，

包括分子熱運動的動能、分子間的勢能、原子內(nèi)及核內(nèi)的能量。這里特指前兩種，用E

表示。

對于剛性分子，不計分子間勢能，內(nèi)能僅包括所有分子的平均動能之和。理想氣體的內(nèi)能只是溫度的函數(shù)而且與熱力學(xué)溫度成正比理想氣體的內(nèi)能第二十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二23例1：在標準狀態(tài)下，若氧氣和氦氣的體積比為1/2，求其內(nèi)能之比。解：氧氣i1=5和氦氣i2=3隨堂小議例2：設(shè)氦氣和氮氣的質(zhì)量相等，方均根速率相等。則氦氣和氮氣的內(nèi)能之比為多少？解：氦氣i1=3和氮氣i2=5第二十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二24§4麥克斯韋速率分布律

分子運動論從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，研究大量分子組成的系統(tǒng)的熱性質(zhì)。其中個別分子的運動（在動力學(xué)支配下）是無規(guī)則的，存在著極大的偶然性。但是，總體上卻存在著確定的規(guī)律性。

對具有統(tǒng)計性的系統(tǒng)來講，總存在著確定的分布函數(shù)，因此，寫出分布函數(shù)是研究一個系統(tǒng)的關(guān)鍵之處，具有普遍的意義。N個分子組成的理想氣體到達平衡態(tài)時，分子的速度分布是什么？這是一個非常有實際意義的問題，也是統(tǒng)計物理研究的主要問題之一。第二十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二25速率分布函數(shù)dNv

表示速率分布在某區(qū)間v

~v

+

dv內(nèi)的分子數(shù)，dNv

/N表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率（百分比）。

dNv/N還應(yīng)與區(qū)間大小成正比。因此有

或歸一化條件物理意義：速率在

v

附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。一定量的氣體分子總數(shù)為N

dNv/N

是v

的函數(shù)，在不同速率附近取相等的區(qū)間，此比率一般不相等。第二十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二26蘭媚爾實驗原理：速率篩每旋轉(zhuǎn)一周，分子通過篩，到達屏上，但不是所有速率的分子都能通過分子速率篩的。只有滿足關(guān)系：即只有速率為：的分子才能通過。改變，

等可讓不同速率的分子通過,（裝置置于真空之中）1.分子速率的實驗測定通過光度法測量沉積層的厚度,可得不同速率的分子數(shù)占總分子的百分比。第二十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二27下面列出了Hg分子在某溫度時不同速率的分子數(shù)占總分子的百分比。

v

(m/s)

N/N%90以下6.29014010.3214019018.93190

24022.7024029018.3029034012.803403906.2390以上4.0粒子速率分布實驗曲線如下所示Ov相對粒子數(shù)光度法測量沉積層的厚度vv+dv第二十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二282.麥克斯韋速率分布律麥克斯韋的主要科學(xué)貢獻在電磁學(xué)方面，同時在天體物理學(xué)、氣體分子運動論、熱力學(xué)、統(tǒng)計物理學(xué)等方面，都作出了卓越的成績。（1858年從理論上推導(dǎo)）vv+dv第二十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二29麥克斯韋速率分布函數(shù)在平衡態(tài)下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在任一速率區(qū)間v

~

v

+

dv

的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為麥克斯韋速率分布律（一定條件下，速率分布函數(shù)的具體形式）第二十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二30曲線下面寬度為dv

的小窄條面積等于分布在此速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率dN/N

。麥克斯韋速率分布曲線vpvv+dvf(v)vf(vp)最概然速率－與

f(v)

極大值對應(yīng)的速率。物理意義：若把整個速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在vP

所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。歸一化條件當v=vp時第三十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二31溫度越高，速率大的分子數(shù)越多vp

隨

T

升高而增大，隨m增大而減小。可討論T和m對速率分布的影響。同一氣體不同溫度下速率分布比較第三十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二32三者和T、m(或

)的關(guān)系相同;三種速率使用于不同的場合。一般與速率有關(guān)物理量g(v)的平均值，可由下式?jīng)Q定第三十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二33試用氣體的分子熱運動說明為什么大氣中氫的含量極少？隨堂小議

在空氣中有O2，N2，Ar，H2，C02等分子，其中以H2的摩爾質(zhì)量最小。從上式可知，在同一溫度下H2的的平均速率較大，而在大氣中分子速度大于第二宇宙速度11.2公里/秒時，分子就有可能擺脫地球的引力作用離開大氣層。

H2摩爾質(zhì)量最小，其速度達到11.2公里/秒的分子數(shù)就比O2、Ar、C02達到這一速度的分子數(shù)多。H2逃逸地球引力作用的幾率最大，離開大氣層的氫氣最多．所以H2在大氣中的含量最少。第三十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二34＊速度空間的概念表示分子的速度以其分量vx、vy、vz為軸可構(gòu)成一直角坐標系，由此坐標系所確定的空間為速度空間。0v速率空間體積元速度空間體積元麥克斯韋速度分布律vzvyvx第三十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二35在平衡態(tài)下，當氣體分子之間的相互作用可忽略時，速度分量vx在區(qū)間vx~vx+dvx，vy

在區(qū)間vy~vy+dvy，vz在區(qū)間vz~vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為麥克斯韋速度分布函數(shù)麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速度分布律第三十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二36§5

玻爾茲曼分布律麥氏速度分布律為其指數(shù)僅包含分子運動動能設(shè)氣體分子處于某一保守力場中，分子勢能為p

，分子受力場的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場的性質(zhì)。用x,y,z和vx,vy,vz

為軸構(gòu)成的六維空間中的體積元dxdydzdvxdvydvz

代替速度空間的體積元dvxdvydvz

第三十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二37玻爾茲曼分布律（分子按能量分布定律）

當系統(tǒng)在力場中處于平衡態(tài)時，其中坐標介于區(qū)間x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz內(nèi)，同時速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)為n0為在p=0處，單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。將玻爾茲曼分布率對速度空間積分,有歸一化條件第三十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二38重力場中粒子按高度的分布（）等溫大氣壓強公式（高度計原理）假設(shè)：大氣為理想氣體，不同高度處溫度相等。利用：P=nkT可得:每升高10米，大氣壓強降低133Pa。近似符合實際，可粗略估計高度變化。第三十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二391.分子碰撞

分子間的無規(guī)則碰撞在氣體由非平衡態(tài)過渡到平衡態(tài)的過程中起著關(guān)鍵作用。在研究分子碰撞規(guī)律時，可把氣體分子看作無吸引力的有效直徑為d的剛球?！?分子平均碰撞次數(shù)平均自由程

分子碰撞也是“無規(guī)則”的,相隔多長時間碰撞一次,每次飛翔多遠才碰撞，也都有是隨機的、偶然的，因此也只能引出一些平均值來描寫。氣體分子自由程線度~10-8m第三十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二40一個分子連續(xù)兩次碰撞之間經(jīng)歷的平均路程叫平均自由程

。一個分子單位時間里受到平均碰撞次數(shù)叫平均碰撞頻率z

。單位時間內(nèi)分子經(jīng)歷的平均距離

v

，平均碰撞

z

次。氣體分子自由程線度~10-8m2.平均自由程平均碰撞頻率第四十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二41假設(shè)：其他分子靜止不動，只有分子A在它們之間以平均相對速率運動。

平均自由程和平均碰撞頻率的計算A分子A的運動軌跡為一折線以A的中心運動軌跡（圖中虛線