《高考備考學案》廣東高考數學理一輪復習配套能力提升作業(yè)4.24利用導數研究函數單調性(含答案解析)

第24課利用導數研究函數的單一性1．設f(x)、g(x)是R上的可導函數，f(x)、g(x)分別為f(x)、g(x)的導函數，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，則當axb時，有（）A．f(x)g(b)f(b)g(x)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(x)f(b)g(b)D．f(x)g(x)f(a)g(a)【答案】C【分析】設F(x)f(x)g(x)，則F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，∴F(x)在R上是減函數，得F(a)F(x)F(b)，∴f(x)g(x)f(b)g(b)．2．函數f(x)的定義域為R，f(1)2，對隨意xR，f(x)2，則f(x)2x4的解集為（）A．(1,1)B．(1,)C．(,1)D．(,)【答案】B【分析】令g(x)f(x)2x4，則g(x)f(x)20，∴g(x)在R上為增函數，∵g(1)f(1)2(1)40，∴由g(x)0，得x1．3（2012東城二模）已知函數f(x)1x22xaex．2（1）若a1，求f(x)在x1處的切線方程；（2）若f(x)在R上是增函數，務實數a的取值范圍．【分析】（1）由a1，f(x)1x22xex，f(1)3e，22∴f(x)x2ex，∴f(1)1e，∴所求切線方程為y(3e)(1e)(x1)，2即2(1e)x2y10．（2）由已知f(x)1x22xaex，得f(x)x2aex．2∵函數f(x)在R上是增函數，∴f(x)0恒建立，即不等式x2aex0恒建立．整理得axx2．令g(x)xx2,g(x)xx3.eeex,g(x),g(x)的變化狀況以下表：x(,3)3(3,)g(x)0+g(x)極小值由此得ag(3)=e3，即a的取值范圍是,e3．4．（2012石景山一模）已知函數f(x)x22alnx．1）若函數f(x)的圖象在(2,f(2))處的切線斜率為1，務實數a的值；2）求函數f(x)的單一區(qū)間；（3）若函數g(x)

2x

f(x)在[1,2]上是減函數，務實數a的取值范圍．2a2x22a【分析】（1）f(x)2x由已知f(2)1，解得（2）函數f(x)的定義域為

x，1分xa3．3分(0,)．①當a0時,f(x)0，f(x)的單一遞加區(qū)間為(0,)；②當a0時f2(xa)(xa)(x)x．當x變化時，f(x),f(x)的變化狀況以下：x(0,a)a(a,)f(x)-0+f(x)極小值由上表可知，函數f(x)的單一遞減區(qū)間是(0,a)；單一遞加區(qū)間是(a,)．（3）由g(x)2x22alnx，得g(x)x由已知函數g(x)為[1,2]上的單一減函數，則g(x)0在[1,2]上恒建立，即22xx2即a1x2在[1,2]上恒建立．x

22x2ax2，x2a0在[1,2]上恒建立．x12[1,2]，∴h(x)12x(12x)0，令h(x)x，xx2x2x∴h(x)在[1,2]為減函數．h(x)minh(2)7,2∴a7．21a5．（2012東莞一模）已知函數f(x)lnxax1(aR)．x（1）當a1時，求曲線yf(x)在點(2,f(2))處的切線方程；（2）當a1時，議論f(x)的單一性．22－1,x【分析】（1）當a－1時，f(x)lnxx(0,)，11－22，f(2)ln2x∴f(x)2，f(2)1，xxyx－ln2．∴所求的切線方程為（2）∵f(x)lnxax1a1，x∴f(x)1a1ax2x1ax(0,)，xax2x2令(x)ax2x1,x(0,),ga當a0時，g(x)－x1,x(0,)∴x(0,1)時，g(x)0，此時f(x)0，函數f(x)單一遞減，x(1,)時，g(x)0，此時f(x)0，函數f(x)單一遞加，當a0時，由f(x)=0，解得x11,x211，a1①若a，函數f(x)在(0,+)上單一遞減，2②若0a1，在(0,1),(1－1，)單一遞減，在(1,1－1)上單一遞加．2aa③當a0時，因為110，ax(0,1)時，g(x)0，此時f(x)0，函數f(x)單一遞減；x(1,)時，g(x)0，此時函數f(x)0，函數f(x)單一遞加．綜上所述：當a0時，函數f(x)在(0,1)上單一遞減，在(1,)上單一遞加，當a1時，函數f(x)在(0,)上單一遞減；2當0a1f(x)在(0,1),1)上單一遞減；時，函數(－1，21－a函數f(x)在(1,上單一遞加．a1)6．（2012北京西城一模）已知函數f(x)eax(aa1)，此中a1．x11時，求曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線方程；（）當a（2）求f(x)的單一區(qū)間．【分析】（1）當a1時，f(x)ex(12)，f(x)ex(1212)．xxx因為f(1)3e，f(1)2e，∴曲線y2）f(x)aeax當a

f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是2exye0．(x1)[(a1)x1]0．x2，x1時，令f(x)0，解得x1．f(x)的單一遞減區(qū)間為(,1)；單一遞加區(qū)間為(1,0)，(0,)．當a1時，令f(x)0，解得x1，或x1．1a②當1a0時，f(x)的單一遞減