三角函數(shù)及平面向量

.z第二局部三角函數(shù)與平面向量一、知識(shí)框圖：角的概念角的概念任意角的三角函數(shù)的定義同角三角函數(shù)的關(guān)系三角函數(shù)弧度制弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式三角函數(shù)線(xiàn)同角三角函數(shù)的關(guān)系誘導(dǎo)公式和角、差角公式二倍角公式公式的變形、逆用、“1〞的替換化簡(jiǎn)、求值、證明〔恒等變形〕三角函數(shù)的圖象定義域奇偶性單調(diào)性周期性最值對(duì)稱(chēng)軸〔正切函數(shù)除外〕經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象的最高〔或低〕點(diǎn)且垂直*軸的直線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心是正余弦函數(shù)圖象的零點(diǎn)，正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為(eq\f(k,2)，0)〔k∈Z〕.正弦函數(shù)y＝sin*=余弦函數(shù)y＝cos*正切函數(shù)y＝tan*y＝Asin(*＋)＋B①圖象可由正弦曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)平移、伸縮得到，但要注意先平移后伸縮與先伸縮后平移不同；②圖象也可以用五點(diǎn)作圖法；③用整體代換求單調(diào)區(qū)間〔注意的符號(hào)〕；④最小正周期T＝eq\f(2,||)；⑤對(duì)稱(chēng)軸*＝eq\f((2k＋1)－2,2)，對(duì)稱(chēng)中心為(eq\f(k－,)，b)〔k∈Z〕.平面向量概念線(xiàn)性運(yùn)算根本定理加、減、數(shù)乘幾何意義坐標(biāo)表示數(shù)量積幾何意義模共線(xiàn)與垂直共線(xiàn)〔平行〕垂直值域圖象eq\o(a,\s\up4(→))∥eq\o(b,\s\up4(→))eq\o(b,\s\up4(→))＝eq\o(a,\s\up4(→))*1y2－*2y1=0eq\o(a,\s\up4(→))⊥eq\o(b,\s\up4(→))eq\o(b,\s\up4(→))·eq\o(a,\s\up4(→))＝0*1*2＋y1y2=0解三角形余弦定理面積正弦定理解的個(gè)數(shù)的討論實(shí)際應(yīng)用S△＝eq\f(1,2)ah＝eq\f(1,2)absinC＝eq\r(p(p－a)(p－b)(p－c))〔其中p＝eq\f(a＋b＋c,2)〕投影eq\o(b,\s\up4(→))在eq\o(a,\s\up4(→))方向上的投影為|eq\o(b,\s\up4(→))|cos＝eq\o(\s\up4(\o(a,\s\up5(→))·\o(b,\s\up5(→))),——,\s\do8(|\o(a,\s\up5(→))|))設(shè)eq\o(a,\s\up4(→))與eq\o(b,\s\up4(→))夾角，則cos＝eq\o(\s\up4(\o(a,\s\up5(→))·\o(b,\s\up5(→))),——,\s\do8(|\o(a,\s\up5(→))|·|\o(b,\s\up5(→))|))對(duì)稱(chēng)性|eq\o(a,\s\up4(→))|＝eq\r((*2－*1)2＋(y2－y1)2)夾角公式二、根底知識(shí)要點(diǎn)剖析：1、與角終邊一樣的角的集合;十六條終邊所對(duì)應(yīng)的角能記住嗎.集合表示怎樣的終邊的角.區(qū)分銳角、小于的角、的角、鈍角、對(duì)頂角、區(qū)域角、區(qū)間角、象限角等。2、弧長(zhǎng)公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad)3、三角函數(shù)的定義〔三個(gè)量的比值〕：，，。=1\*GB4㈠任意角的三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)知道嗎.特別是特殊角的三角函數(shù)值記準(zhǔn)了嗎.=2\*GB4㈡正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)會(huì)畫(huà)嗎.利用它們求三角不等式很簡(jiǎn)便哦！有印象嗎.=3\*GB4㈢常見(jiàn)三角不等式：〔1〕假設(shè)，則，(2)假設(shè)，則，(3).4、同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：①，②=，注意公式變形：.，〔2〕如,,之間互相轉(zhuǎn)換懂嗎.知一求二：(3)假設(shè)，則；；〔4〕假設(shè)，則；.5、誘導(dǎo)公式分兩大類(lèi)：。口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限〞怎么理解這口訣.〔注意：誘導(dǎo)公式中始終視為銳角和原函數(shù)所在象限的符號(hào)〕。領(lǐng)會(huì)互為余角或互補(bǔ)的三角函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化：如。，〔2〕假設(shè)，則。6、三角函數(shù)〔正弦、余弦、正切〕圖象的草圖用五點(diǎn)法能迅速畫(huà)出嗎.它們的圖象與性質(zhì)熟悉嗎.〔比方定義域、值域、奇偶性，單調(diào)性、周期性、最值、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心〕。能寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間及其取最值時(shí)的*的值的集合嗎.同時(shí)別忘了k∈Z哦；會(huì)解簡(jiǎn)單的三角不等式及三角方程嗎.函數(shù)值能比較大小呢.重點(diǎn)是如何求限定區(qū)間的單調(diào)區(qū)間，最值，要會(huì)區(qū)分哦.時(shí)的單調(diào)區(qū)間又怎樣求.7、會(huì)用五點(diǎn)法畫(huà)正弦型曲線(xiàn)函數(shù)〔〕的草圖嗎.①五點(diǎn)法作圖，哪五點(diǎn).②振幅、相位、初相、周期T=、頻率呢?當(dāng)φ=kπ時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù);當(dāng)φ=kπ+時(shí)為偶函數(shù)理解嗎.③在對(duì)稱(chēng)軸處y取最值,在對(duì)稱(chēng)中心處y值為0；=4\*GB3④余弦型曲線(xiàn)、正切型曲線(xiàn)可類(lèi)比。=5\*GB3⑤根據(jù)函數(shù)的局部圖象求參數(shù)的值會(huì)嗎.即確定、A、B的值。：可由得到，在圖象中，相鄰的最大值和最小值間的距離為周期的；相鄰的最大值或最小值與零點(diǎn)間的距離為周期的。：可運(yùn)用得到，其中為最大值左側(cè)和原點(diǎn)最近的第一個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)。A、B、T：當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．特別是φ的值很容易求錯(cuò)，要小心哦！8、函數(shù)y=〔〕的圖象有三種變換(平移、伸縮和振幅).具體變換步驟還記得嗎.〔先平移后變換、先變換后平移〕φ正左移負(fù)右移；B正上移負(fù)下移;1、2、9、三角公式中的和、差、倍、升降次公式及其逆用、變用都掌握了嗎.注意角*圍的限定，充分挖掘三角式的隱含條件和條件*圍限制，求值時(shí)可排除值的多樣性。1、兩角和與差：；二倍角：萬(wàn)能公式；；.會(huì)推導(dǎo)嗎.設(shè)后表達(dá)式又怎樣.2、公式變換技巧：、降冪公式：，升冪公式：，〔2〕、變形公式：假設(shè),(3)、“1〞的妙用：，，，,，，，10、你對(duì)三角變換中的幾大變換弄清嗎.如角的變換〔和角、差角、倍角公式〕；函數(shù)名的變換〔切化弦、弦化切〕；次的變換(升、降次公式)；形的變換(統(tǒng)一函數(shù)形式)；冪的變換；常數(shù)代換；公式變形等等。在三角的恒等變形中，要特別注意角的各種變換：〔1〕角的變換：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。②；問(wèn)：；；③；；；等等〔2〕三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪〞四方面入手：根本規(guī)則是：切割化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無(wú)理化有理，和積互化，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化?！?〕條件求值：給角求值，給值求值，給值求角三大類(lèi)。11、三角函數(shù)的值求角，會(huì)嗎.注意：所得的解不一定唯一的，而是有無(wú)數(shù)多個(gè)．步驟：①確定角所在的象限；②如函數(shù)值為正，先求出對(duì)應(yīng)的銳角；如函數(shù)值為負(fù)，先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角；③根據(jù)角所在的象限，得出間的角——如果適合條件的角在第二限；則它是；如果在第三或第四象限，則它是或；④如果要求適合條件的所有角，再利用終邊一樣的角的表達(dá)式寫(xiě)出適合條件的所有角的集合。如_______.12、輔助角公式：(其中角的值由確定：可看著是橫坐標(biāo)，可看著是縱坐標(biāo),即看點(diǎn)屬于第幾象限角，加上利用三角函數(shù)的值求角的知識(shí)點(diǎn)就可求出)。本質(zhì)上就是熟練逆用兩角和、差公式，所以在求有關(guān)單調(diào)區(qū)間、周期、最值、化簡(jiǎn)類(lèi)型題目起著關(guān)鍵的作用〔假設(shè)角求錯(cuò)，那就全功盡去了；也反復(fù)強(qiáng)調(diào)一下、順序〕。如常用12種式子變形：，還有：________,______,________.,______,______,________,________._________。13、正弦定理、余弦定理的各種表達(dá)形式你記得嗎.會(huì)解斜三角形嗎.如何實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化.，其它變形呢.___________________________________，其它呢.___________________________________，其它呢.〔分別表示a、b、c邊上的高〕。，其中R，r分別的外接圓和內(nèi)切圓的半徑。在三角形中的有關(guān)問(wèn)題：；；結(jié)論：；,；射影定理：.14、向量的根本有關(guān)概念：有向線(xiàn)段、單位向量、相反向量、相等向量、平行向量〔共線(xiàn)向量〕、零向量，向量的模等概念理解嗎.熟悉向量的運(yùn)算〔代數(shù)：加、減、數(shù)乘與幾何運(yùn)算：平行四邊形、三角形法則〕及運(yùn)算律；注意向量沒(méi)有除法運(yùn)算哦；向量的幾何運(yùn)算利用圖形和設(shè)基底并向基底轉(zhuǎn)化以便方向明確，不然沒(méi)頭緒的，同時(shí)三角形的中點(diǎn)公式和重心公式的應(yīng)用。16、共線(xiàn)向量定理：=1\*GB4㈠向量式；；在線(xiàn)段上或三點(diǎn)共線(xiàn)；=2\*GB4㈡坐標(biāo)式。=3\*GB4㈢推論式：平面上三點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得，其中，O為平面內(nèi)的任一點(diǎn)。〔以上證明三點(diǎn)共線(xiàn)的依據(jù)〕。特別地，如果17、兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：向量式坐標(biāo)式〔類(lèi)似兩根之積哦〕18、平面向量根本定理：假設(shè)向量和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一)；特別：＝則是三點(diǎn)P、A、B共線(xiàn)的充要條件。19、平面向量的數(shù)量積：〔1〕定義:假設(shè)是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則稱(chēng)數(shù)叫做的數(shù)量積〔或內(nèi)積〕，記作，即。數(shù)量積的幾何意義：等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積；領(lǐng)會(huì)向量在方向上的投影為?！?〕性質(zhì)：設(shè)是兩個(gè)非零向量，是單位向量，于是有①，②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，③規(guī)定：〔區(qū)分〕；，④夾角，=5\*GB3⑤。=6\*GB3⑥對(duì)嗎.=3\*GB2⑶結(jié)論：四邊形的形狀是什么.〔思考：其幾何含義〕呢。20、在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取的兩個(gè)單位自量作基底，則對(duì)任一向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，就把叫做向量的(直角)坐標(biāo)，記作；注意：①叫做在軸上的橫坐標(biāo)，叫做在軸上的縱坐標(biāo)。②；；；=1\*GB2⑴設(shè)。向量的模，兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)________.=2\*GB2⑵兩向量的夾角公式：＝，21、三角形的重心坐標(biāo)公式：△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是.22、三角形的四“心〞向量形式的充要條件⑴設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則①為的外心〔中垂線(xiàn)〕.②為的重心〔中線(xiàn)〕.③為的垂心〔高〕.④為的內(nèi)心〔角平分線(xiàn)〕.〔2〕、在中，為的重心，特別地為的重心；〔3〕、為的垂心；(4)、向量所在直線(xiàn)過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn))；的內(nèi)心。23.“按向量平移〞的幾個(gè)結(jié)論：〔1〕點(diǎn)按向量平移后得到點(diǎn).(2)函數(shù)的圖象按向量平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.(3)圖象按向量平移后得到圖象,假設(shè)的解析式,則的函數(shù)解析式為.(4)曲線(xiàn):按向量平移后得到圖象,則的方程為.(5)向量按向量平移后得到的向量仍然為.24、向量是數(shù)學(xué)中的一種重要運(yùn)算的工具，它應(yīng)用廣泛，特別與三角函數(shù)〔〕、平面解析幾何〔)有著嚴(yán)密的聯(lián)系。三、典型例題分析：例1．，求〔1〕；〔2〕的值.解：〔1〕；〔齊次式〕(2)(“1〞的代換和齊次式〕.說(shuō)明：利用的齊次式的構(gòu)造特點(diǎn)〔如果不具備，通過(guò)構(gòu)造的方法得到〕，分子、分母同時(shí)除于來(lái)進(jìn)展弦、切互化，就會(huì)使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。例2：(1)、〔2〕、，求的值。、又。說(shuō)明：掌握,,，之間的關(guān)系以及互相轉(zhuǎn)換。例3.〔1〕、求函數(shù)的最大值和最小值.(2)、求函數(shù)，的最大值和最小值．(3)、求函數(shù)的值域?！?)、求函數(shù)的值域。〔5〕、求函數(shù)的最大值。(6)、求函數(shù)的最小值。解：〔1〕==，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，取最大值6；當(dāng)時(shí)，取最小值?！?〕．又，，即，．(4)、設(shè)，則原函數(shù)可化為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的值域?yàn)?。說(shuō)明：三角函數(shù)最值問(wèn)題主要有以下幾種類(lèi)型：1、可將函數(shù)式子化為的形式。2、可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，3、可轉(zhuǎn)化為均值不等式求解的最值問(wèn)題。4、單調(diào)性法。例4、把以下式子化為的形式：〔2〕〔4〕例5、函數(shù).〔Ⅰ〕假設(shè)點(diǎn)在角的終邊上，求的值；〔Ⅱ〕假設(shè)，求的值域.解：〔Ⅰ〕因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以，，………………2分所以……4分.………5分〔Ⅱ〕………6分，……………8分因?yàn)椋?，〔有學(xué)生易混〕………10分所以，……………11分所以的值域是.……………12分例6、向量。令，且的最小周期為?！?〕求的值；〔2〕當(dāng)，求的單調(diào)遞增區(qū)間?！?〕該函數(shù)的圖像可由的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到.解：〔1〕〔2〕。將函數(shù)依次進(jìn)展如下變換：〔i〕把函數(shù)的圖像向左平移，得到函數(shù)的圖像；〔ii〕把得到函數(shù)的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍〔縱坐標(biāo)不變〕，得到函數(shù)的圖像；〔iii〕把得到函數(shù)的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍〔橫坐標(biāo)不變〕，得到函數(shù)的圖像；〔iv〕把得到的圖像向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像。綜上得到的圖像。例7．函數(shù)求函數(shù)的最小正周期。求函數(shù)在上的最大值及此時(shí)*的集合；〔3〕證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。解：(1)所以的最小正周期?！?〕，，所以，當(dāng)，即時(shí)，最大值為；、證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，只要證明對(duì)任意，有成立，因?yàn)?，，所以成立，從而函?shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。例8、函數(shù)局部圖象如下列圖．〔Ⅰ〕求的最小正周期及解析式；〔Ⅱ〕設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．解：〔Ⅰ〕由圖可得，，所以．故．……2分當(dāng)時(shí)，，可得，因?yàn)椋裕?分所以的解析式為．………6分〔Ⅱ〕．……10分因?yàn)?，所以．?dāng)，即時(shí)，有最大值，最大值為；當(dāng)，即時(shí)，有最小值，最小值為．……12分例9、，．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求函數(shù)的值域．解：〔Ⅰ〕因?yàn)?，且，所以，?分因?yàn)椋裕?分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得．所以〔此構(gòu)造轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問(wèn)題〕，．因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值．所以函數(shù)的值域?yàn)椋?0、△中，.〔Ⅰ〕求角的大??；〔Ⅱ〕設(shè)向量，，求當(dāng)取最小值時(shí)，值.解：〔Ⅰ〕因，(和差角公式逆用)所以.………2分因?yàn)椋?所以.………4分，所以.…………6分〔Ⅱ〕因?yàn)?，?分所以.…9分所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.此時(shí).〔同角關(guān)系或三角函數(shù)定義〕所以.……………12分例11．在中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且，(1)求的值；(2)假設(shè)，求的面積的最大值。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，又，所以。在中，由余弦定理可得〔?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)〕，所以的面積為，當(dāng)時(shí)，即，例12．向量，且，(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)假設(shè)，求的最大值與最小值。解：(1)，，，又，所以，所以，即；(2)由(1)可得，令導(dǎo)數(shù)，解得，列表如下：t－1(－1，1)1(1，3)導(dǎo)數(shù)0－0+極大值遞減極小值遞增而所以。例13．向量，(1)求的值；(2)假設(shè)的值。解：(1)因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?，所以，即?2)，又因?yàn)椋?，，所以，所以?5：如圖*市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一局部為曲線(xiàn)段OSM，該曲線(xiàn)段為函數(shù)y＝Asinω*(A>0，ω>0)，*∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3,2eq\r(3))；賽道的后一局部為折線(xiàn)段MNP，為保證參賽運(yùn)發(fā)動(dòng)的平安，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線(xiàn)段賽道MNP最長(zhǎng).解：法一(1)依題意，有A＝2eq\r(3)，eq\f(