三角函數(shù)及平面向量

.z第二局部三角函數(shù)與平面向量一、知識框圖：角的概念角的概念任意角的三角函數(shù)的定義同角三角函數(shù)的關(guān)系三角函數(shù)弧度制弧長公式、扇形面積公式三角函數(shù)線同角三角函數(shù)的關(guān)系誘導(dǎo)公式和角、差角公式二倍角公式公式的變形、逆用、“1〞的替換化簡、求值、證明〔恒等變形〕三角函數(shù)的圖象定義域奇偶性單調(diào)性周期性最值對稱軸〔正切函數(shù)除外〕經(jīng)過函數(shù)圖象的最高〔或低〕點且垂直*軸的直線，對稱中心是正余弦函數(shù)圖象的零點，正切函數(shù)的對稱中心為(eq\f(k,2)，0)〔k∈Z〕.正弦函數(shù)y＝sin*=余弦函數(shù)y＝cos*正切函數(shù)y＝tan*y＝Asin(*＋)＋B①圖象可由正弦曲線經(jīng)過平移、伸縮得到，但要注意先平移后伸縮與先伸縮后平移不同；②圖象也可以用五點作圖法；③用整體代換求單調(diào)區(qū)間〔注意的符號〕；④最小正周期T＝eq\f(2,||)；⑤對稱軸*＝eq\f((2k＋1)－2,2)，對稱中心為(eq\f(k－,)，b)〔k∈Z〕.平面向量概念線性運算根本定理加、減、數(shù)乘幾何意義坐標(biāo)表示數(shù)量積幾何意義模共線與垂直共線〔平行〕垂直值域圖象eq\o(a,\s\up4(→))∥eq\o(b,\s\up4(→))eq\o(b,\s\up4(→))＝eq\o(a,\s\up4(→))*1y2－*2y1=0eq\o(a,\s\up4(→))⊥eq\o(b,\s\up4(→))eq\o(b,\s\up4(→))·eq\o(a,\s\up4(→))＝0*1*2＋y1y2=0解三角形余弦定理面積正弦定理解的個數(shù)的討論實際應(yīng)用S△＝eq\f(1,2)ah＝eq\f(1,2)absinC＝eq\r(p(p－a)(p－b)(p－c))〔其中p＝eq\f(a＋b＋c,2)〕投影eq\o(b,\s\up4(→))在eq\o(a,\s\up4(→))方向上的投影為|eq\o(b,\s\up4(→))|cos＝eq\o(\s\up4(\o(a,\s\up5(→))·\o(b,\s\up5(→))),——,\s\do8(|\o(a,\s\up5(→))|))設(shè)eq\o(a,\s\up4(→))與eq\o(b,\s\up4(→))夾角，則cos＝eq\o(\s\up4(\o(a,\s\up5(→))·\o(b,\s\up5(→))),——,\s\do8(|\o(a,\s\up5(→))|·|\o(b,\s\up5(→))|))對稱性|eq\o(a,\s\up4(→))|＝eq\r((*2－*1)2＋(y2－y1)2)夾角公式二、根底知識要點剖析：1、與角終邊一樣的角的集合;十六條終邊所對應(yīng)的角能記住嗎.集合表示怎樣的終邊的角.區(qū)分銳角、小于的角、的角、鈍角、對頂角、區(qū)域角、區(qū)間角、象限角等。2、弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad)3、三角函數(shù)的定義〔三個量的比值〕：，，。=1\*GB4㈠任意角的三角函數(shù)值在各個象限的符號知道嗎.特別是特殊角的三角函數(shù)值記準(zhǔn)了嗎.=2\*GB4㈡正弦線、余弦線、正切線會畫嗎.利用它們求三角不等式很簡便哦！有印象嗎.=3\*GB4㈢常見三角不等式：〔1〕假設(shè)，則，(2)假設(shè)，則，(3).4、同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：①，②=，注意公式變形：.，〔2〕如,,之間互相轉(zhuǎn)換懂嗎.知一求二：(3)假設(shè)，則；；〔4〕假設(shè)，則；.5、誘導(dǎo)公式分兩大類：?？谠E：“奇變偶不變，符號看象限〞怎么理解這口訣.〔注意：誘導(dǎo)公式中始終視為銳角和原函數(shù)所在象限的符號〕。領(lǐng)會互為余角或互補的三角函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化：如。，〔2〕假設(shè)，則。6、三角函數(shù)〔正弦、余弦、正切〕圖象的草圖用五點法能迅速畫出嗎.它們的圖象與性質(zhì)熟悉嗎.〔比方定義域、值域、奇偶性，單調(diào)性、周期性、最值、對稱軸、對稱中心〕。能寫出它們的單調(diào)區(qū)間及其取最值時的*的值的集合嗎.同時別忘了k∈Z哦；會解簡單的三角不等式及三角方程嗎.函數(shù)值能比較大小呢.重點是如何求限定區(qū)間的單調(diào)區(qū)間，最值，要會區(qū)分哦.時的單調(diào)區(qū)間又怎樣求.7、會用五點法畫正弦型曲線函數(shù)〔〕的草圖嗎.①五點法作圖，哪五點.②振幅、相位、初相、周期T=、頻率呢?當(dāng)φ=kπ時，函數(shù)為奇函數(shù);當(dāng)φ=kπ+時為偶函數(shù)理解嗎.③在對稱軸處y取最值,在對稱中心處y值為0；=4\*GB3④余弦型曲線、正切型曲線可類比。=5\*GB3⑤根據(jù)函數(shù)的局部圖象求參數(shù)的值會嗎.即確定、A、B的值。：可由得到，在圖象中，相鄰的最大值和最小值間的距離為周期的；相鄰的最大值或最小值與零點間的距離為周期的。：可運用得到，其中為最大值左側(cè)和原點最近的第一個零點的橫坐標(biāo)。A、B、T：當(dāng)時，取得最小值為；當(dāng)時，取得最大值為，則，，．特別是φ的值很容易求錯，要小心哦！8、函數(shù)y=〔〕的圖象有三種變換(平移、伸縮和振幅).具體變換步驟還記得嗎.〔先平移后變換、先變換后平移〕φ正左移負(fù)右移；B正上移負(fù)下移;1、2、9、三角公式中的和、差、倍、升降次公式及其逆用、變用都掌握了嗎.注意角*圍的限定，充分挖掘三角式的隱含條件和條件*圍限制，求值時可排除值的多樣性。1、兩角和與差：；二倍角：萬能公式；；.會推導(dǎo)嗎.設(shè)后表達(dá)式又怎樣.2、公式變換技巧：、降冪公式：，升冪公式：，〔2〕、變形公式：假設(shè),(3)、“1〞的妙用：，，，,，，，10、你對三角變換中的幾大變換弄清嗎.如角的變換〔和角、差角、倍角公式〕；函數(shù)名的變換〔切化弦、弦化切〕；次的變換(升、降次公式)；形的變換(統(tǒng)一函數(shù)形式)；冪的變換；常數(shù)代換；公式變形等等。在三角的恒等變形中，要特別注意角的各種變換：〔1〕角的變換：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。②；問：；；③；；；等等〔2〕三角函數(shù)式的化簡運算通常從：“角、名、形、冪〞四方面入手：根本規(guī)則是：切割化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，和積互化，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化?！?〕條件求值：給角求值，給值求值，給值求角三大類。11、三角函數(shù)的值求角，會嗎.注意：所得的解不一定唯一的，而是有無數(shù)多個．步驟：①確定角所在的象限；②如函數(shù)值為正，先求出對應(yīng)的銳角；如函數(shù)值為負(fù)，先求出與其絕對值對應(yīng)的銳角；③根據(jù)角所在的象限，得出間的角——如果適合條件的角在第二限；則它是；如果在第三或第四象限，則它是或；④如果要求適合條件的所有角，再利用終邊一樣的角的表達(dá)式寫出適合條件的所有角的集合。如_______.12、輔助角公式：(其中角的值由確定：可看著是橫坐標(biāo)，可看著是縱坐標(biāo),即看點屬于第幾象限角，加上利用三角函數(shù)的值求角的知識點就可求出)。本質(zhì)上就是熟練逆用兩角和、差公式，所以在求有關(guān)單調(diào)區(qū)間、周期、最值、化簡類型題目起著關(guān)鍵的作用〔假設(shè)角求錯，那就全功盡去了；也反復(fù)強調(diào)一下、順序〕。如常用12種式子變形：，還有：________,______,________.,______,______,________,________._________。13、正弦定理、余弦定理的各種表達(dá)形式你記得嗎.會解斜三角形嗎.如何實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化.，其它變形呢.___________________________________，其它呢.___________________________________，其它呢.〔分別表示a、b、c邊上的高〕。，其中R，r分別的外接圓和內(nèi)切圓的半徑。在三角形中的有關(guān)問題：；；結(jié)論：；,；射影定理：.14、向量的根本有關(guān)概念：有向線段、單位向量、相反向量、相等向量、平行向量〔共線向量〕、零向量，向量的模等概念理解嗎.熟悉向量的運算〔代數(shù)：加、減、數(shù)乘與幾何運算：平行四邊形、三角形法則〕及運算律；注意向量沒有除法運算哦；向量的幾何運算利用圖形和設(shè)基底并向基底轉(zhuǎn)化以便方向明確，不然沒頭緒的，同時三角形的中點公式和重心公式的應(yīng)用。16、共線向量定理：=1\*GB4㈠向量式；；在線段上或三點共線；=2\*GB4㈡坐標(biāo)式。=3\*GB4㈢推論式：平面上三點A、B、C共線的充要條件是存在實數(shù)對，使得，其中，O為平面內(nèi)的任一點。〔以上證明三點共線的依據(jù)〕。特別地，如果17、兩個非零向量垂直的充要條件：向量式坐標(biāo)式〔類似兩根之積哦〕18、平面向量根本定理：假設(shè)向量和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一)；特別：＝則是三點P、A、B共線的充要條件。19、平面向量的數(shù)量積：〔1〕定義:假設(shè)是兩個非零向量，它們的夾角為，則稱數(shù)叫做的數(shù)量積〔或內(nèi)積〕，記作，即。數(shù)量積的幾何意義：等于的長度與在的方向上的投影的乘積；領(lǐng)會向量在方向上的投影為?！?〕性質(zhì)：設(shè)是兩個非零向量，是單位向量，于是有①，②當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，③規(guī)定：〔區(qū)分〕；，④夾角，=5\*GB3⑤。=6\*GB3⑥對嗎.=3\*GB2⑶結(jié)論：四邊形的形狀是什么.〔思考：其幾何含義〕呢。20、在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取的兩個單位自量作基底，則對任一向量有且只有一對實數(shù)，使，就把叫做向量的(直角)坐標(biāo)，記作；注意：①叫做在軸上的橫坐標(biāo)，叫做在軸上的縱坐標(biāo)。②；；；=1\*GB2⑴設(shè)。向量的模，兩點間的距離公式：設(shè)________.=2\*GB2⑵兩向量的夾角公式：＝，21、三角形的重心坐標(biāo)公式：△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是.22、三角形的四“心〞向量形式的充要條件⑴設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則①為的外心〔中垂線〕.②為的重心〔中線〕.③為的垂心〔高〕.④為的內(nèi)心〔角平分線〕.〔2〕、在中，為的重心，特別地為的重心；〔3〕、為的垂心；(4)、向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；的內(nèi)心。23.“按向量平移〞的幾個結(jié)論：〔1〕點按向量平移后得到點.(2)函數(shù)的圖象按向量平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.(3)圖象按向量平移后得到圖象,假設(shè)的解析式,則的函數(shù)解析式為.(4)曲線:按向量平移后得到圖象,則的方程為.(5)向量按向量平移后得到的向量仍然為.24、向量是數(shù)學(xué)中的一種重要運算的工具，它應(yīng)用廣泛，特別與三角函數(shù)〔〕、平面解析幾何〔)有著嚴(yán)密的聯(lián)系。三、典型例題分析：例1．，求〔1〕；〔2〕的值.解：〔1〕；〔齊次式〕(2)(“1〞的代換和齊次式〕.說明：利用的齊次式的構(gòu)造特點〔如果不具備，通過構(gòu)造的方法得到〕，分子、分母同時除于來進(jìn)展弦、切互化，就會使解題過程簡化。例2：(1)、〔2〕、，求的值。、又。說明：掌握,,，之間的關(guān)系以及互相轉(zhuǎn)換。例3.〔1〕、求函數(shù)的最大值和最小值.(2)、求函數(shù)，的最大值和最小值．(3)、求函數(shù)的值域?！?)、求函數(shù)的值域。〔5〕、求函數(shù)的最大值。(6)、求函數(shù)的最小值。解：〔1〕==，因為，所以，當(dāng)時，取最大值6；當(dāng)時，取最小值。〔2〕．又，，即，．(4)、設(shè)，則原函數(shù)可化為，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)的值域為。說明：三角函數(shù)最值問題主要有以下幾種類型：1、可將函數(shù)式子化為的形式。2、可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，3、可轉(zhuǎn)化為均值不等式求解的最值問題。4、單調(diào)性法。例4、把以下式子化為的形式：〔2〕〔4〕例5、函數(shù).〔Ⅰ〕假設(shè)點在角的終邊上，求的值；〔Ⅱ〕假設(shè)，求的值域.解：〔Ⅰ〕因為點在角的終邊上，所以，，………………2分所以……4分.………5分〔Ⅱ〕………6分，……………8分因為，所以，〔有學(xué)生易混〕………10分所以，……………11分所以的值域是.……………12分例6、向量。令，且的最小周期為?！?〕求的值；〔2〕當(dāng)，求的單調(diào)遞增區(qū)間?！?〕該函數(shù)的圖像可由的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到.解：〔1〕〔2〕。將函數(shù)依次進(jìn)展如下變換：〔i〕把函數(shù)的圖像向左平移，得到函數(shù)的圖像；〔ii〕把得到函數(shù)的圖像上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍〔縱坐標(biāo)不變〕，得到函數(shù)的圖像；〔iii〕把得到函數(shù)的圖像上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的倍〔橫坐標(biāo)不變〕，得到函數(shù)的圖像；〔iv〕把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像。綜上得到的圖像。例7．函數(shù)求函數(shù)的最小正周期。求函數(shù)在上的最大值及此時*的集合；〔3〕證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。解：(1)所以的最小正周期?！?〕，，所以，當(dāng)，即時，最大值為；、證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，只要證明對任意，有成立，因為，，所以成立，從而函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。例8、函數(shù)局部圖象如下列圖．〔Ⅰ〕求的最小正周期及解析式；〔Ⅱ〕設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．解：〔Ⅰ〕由圖可得，，所以．故．……2分當(dāng)時，，可得，因為，所以．……5分所以的解析式為．………6分〔Ⅱ〕．……10分因為，所以．當(dāng)，即時，有最大值，最大值為；當(dāng)，即時，有最小值，最小值為．……12分例9、，．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求函數(shù)的值域．解：〔Ⅰ〕因為，且，所以，．2分因為．所以．………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得．所以〔此構(gòu)造轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題〕，．因為，所以，當(dāng)時，取最大值；當(dāng)時，取最小值．所以函數(shù)的值域為．例10、△中，.〔Ⅰ〕求角的大??；〔Ⅱ〕設(shè)向量，，求當(dāng)取最小值時，值.解：〔Ⅰ〕因，(和差角公式逆用)所以.………2分因為，所以.所以.………4分，所以.…………6分〔Ⅱ〕因為，…7分所以.…9分所以當(dāng)時，取得最小值.此時.〔同角關(guān)系或三角函數(shù)定義〕所以.……………12分例11．在中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，(1)求的值；(2)假設(shè)，求的面積的最大值。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因為，，所以，因為，所以，又，所以。在中，由余弦定理可得〔當(dāng)且僅當(dāng)時取等號〕，所以的面積為，當(dāng)時，即，例12．向量，且，(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)假設(shè)，求的最大值與最小值。解：(1)，，，又，所以，所以，即；(2)由(1)可得，令導(dǎo)數(shù)，解得，列表如下：t－1(－1，1)1(1，3)導(dǎo)數(shù)0－0+極大值遞減極小值遞增而所以。例13．向量，(1)求的值；(2)假設(shè)的值。解：(1)因為所以又因為，所以，即；(2)，又因為，所以，，所以，所以例15：如圖*市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一局部為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinω*(A>0，ω>0)，*∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點為S(3,2eq\r(3))；賽道的后一局部為折線段MNP，為保證參賽運發(fā)動的平安，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P兩點間的距離；(2)應(yīng)如何設(shè)計，才能使折線段賽道MNP最長.解：法一(1)依題意，有A＝2eq\r(3)，eq\f(