測量誤差及數(shù)據(jù)處理課件

第2章

誤差的基本理論分析本章主要內(nèi)容1測量誤差的基本概念2表達誤差的幾種形式3誤差的性質(zhì)和分類4有效數(shù)字5系統(tǒng)誤差的矯正6隨機誤差的統(tǒng)計學原理7粗大誤差的剔除8誤差的合成9數(shù)據(jù)的一元線性回歸分析10測量結果的表達形式測量誤差的基本概念基本名詞標稱值

：計量和測量器具上標注的量值（通常給出準確度等級或誤差范圍）。示值：測量儀器上給出的量值，也稱測量值。測量結果與真值一致的程度。由于涉及到“不可知”的真值，只是定性的概念。定量描述：準確度等級、不確定度。在相同條件下，對同一被測量進行多次連續(xù)測量所得結果的一致性。準確度：

重復性：測量誤差：測量結果與被測量真值之差。測量誤差及其表示方法注意：在實際測試中真值無法準確獲得，因此常用約定真值或相對真值代替真值來確定測量誤差。誤差公理：

一切測量都有誤差，誤差自始至終存在于所有科學試驗的過程中。誤差絕對誤差相對誤差粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機誤差表示形式性質(zhì)特點引用誤差容許誤差測量誤差分類儀表誤差相對誤差（RelativeError）定義：絕對誤差與被測量真實值的比值。相對誤差真值相對誤差絕對誤差約定真值或相對真值測量值

在實際測量中，相對誤差主要用來評價測量結果的準確度，相對誤差越小準確度愈高。示值相對誤差引用誤差

相對誤差可以評價不同被測量的測量精度，卻不能用來評價不同儀表的質(zhì)量。因為相對誤差與被測量大小或儀表的具體示值x有關。為合理的評價儀表的測量質(zhì)量，引入引用誤差的概念。最大引用誤差最大引用誤差：在規(guī)定的工作條件下，當被測量平穩(wěn)地增加和減少時，在儀表全量程所取得的諸示值的引用誤差（絕對值）的最大者。該標稱范圍（或量程）上限引用誤差

儀器標稱范圍（或量程）內(nèi)的最大絕對誤差

最大引用誤差是儀表基本誤差的主要型式，故稱之為儀表的基本誤差。儀表的準確度等級我國電工測量儀表的準確度等級（AccuracyClass）就是按照最大引用誤差進行分級的。通常用最大引用誤差去掉正負號和百分號后的數(shù)字來表示精度等級，精度等級用符號G表示。國家標準GB776—76《電測量指示儀表通用技術條件》規(guī)定，測量指示儀表的精度等級G分為：

0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七個等級。對應的引用誤差分別為：

0.1％、0.2%、0.5%、1.0%、1.5%、2.5%、5.0%

檢測儀器的精度等級由生產(chǎn)廠商根據(jù)其最大引用誤差的大小并以“選大不選小”的原則就近套用上述精度等級得到。一個電壓表，其滿量程為100V，若其最大誤差出現(xiàn)在50V處且為0.12V，則最大引用誤差：則可以確定儀表等級為0.2級?！纠俊纠?/p>

某1.0級電壓表，滿度值（標稱范圍上限）為300，求測量值分別為300，200和100時的絕對誤差和相對誤差。根據(jù)題意得

最大絕對誤差為

他們的相對誤差分別為：

可見，在同一標稱范圍內(nèi)，測量值越小，其相對誤差越大。

【解】儀表的準確度等級

注意2：由于對于同一等級的檢測儀器，其絕對誤差隨滿量程值的增大而增大，為提高測量的精確度，需要被測量與儀表的量程相適應，被測量一般應在滿量程的2/3以上（相對誤差小于1.5%）。

注意1：測量儀表產(chǎn)生的測量誤差不但與儀表準確度等級有關，而且還與量程有關。容許誤差容許誤差：測量儀器在規(guī)定的條件下，測量標準或規(guī)程允許產(chǎn)生的最大誤差工作誤差：額定工作范圍內(nèi)儀器誤差的極限值。（一般偏大）固有誤差：所有影響量處于基準條件下儀器所具有的誤差。影響誤差：某一影響量處于額定范圍，其它影響量處于基準條件下儀器所具有的誤差。（如溫度誤差）

穩(wěn)定性誤差：影響量保持不變情況下，規(guī)定時間內(nèi)儀器輸出的偏差。

容許誤差描述方式(4種）：

某四位半數(shù)字電壓表，量程為2V，工作誤差為=0.025%UX1個字，用該表測量時，讀數(shù)分別為0.0012V和1.9888V，試求兩種情況下的絕對誤差和相對誤差。解：四位半表分辨率為0.0001V1.9999【例】測量誤差的分類

1系統(tǒng)誤差(SystematicError)

2隨機誤差(randomerror)3粗大誤差(GlossError)根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為3類：系統(tǒng)誤差在同一測量條件下，多次重復測量同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。定義：來源：

在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差，簡稱系差。定量定義：基本誤差:測量設備不準確或準確度等級不高。

附加誤差:超過正常工作范圍帶來的誤差。

理論誤差（方法誤差）:測量方法、理論不完善所帶來的誤差。

人員誤差：試驗人員疏忽大意、測量素質(zhì)不高產(chǎn)生的人員誤差。測量值與在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量結果的平均值之差。定義定量定義：在相同測量條件下,多次測量同一量值時（等精度測量），絕對值大小和符號以不可預定方式變化的誤差，又稱為偶然誤差，簡稱隨差。來源：測量裝置本身因素；信號處理電路的隨機噪聲等實驗環(huán)境的偶然性微小變化：溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機起伏、地面振動，熱起伏、空氣擾動、大地微震等人為因素：人員測量人員感官等（對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素）隨機誤差例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。在測量中，隨機誤差是不可避免的。單次測量的隨差沒有規(guī)律，隨機誤差的大小、方向均隨機不定，不可預見，不可修正;多次測量，測量值和隨機誤差的總體服從概率統(tǒng)計規(guī)律;可用概率統(tǒng)計的方法處理測量數(shù)據(jù)，對隨機誤差的總體大小及分布做出估計，并采取適當措施減小隨機誤差對測量結果的影響。隨機誤差特征有效數(shù)字有效數(shù)字基本概念

定義1：考慮了誤差以后有意義的數(shù)字稱為有效數(shù)字。定義2：由數(shù)字組成的一個數(shù)，除最末一位數(shù)字是不確切或可疑值外，其它數(shù)字均為確切值，則該數(shù)的所有數(shù)字稱為有效數(shù)字測量結果保留有效位數(shù)的原則：最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字是可靠的。

數(shù)字舍入規(guī)則

計算和測量過程中，需要對多位的近似數(shù)進行取舍，應按照下述原則進行舍入處理：大于5進一：若舍去部分的數(shù)值大于保留部分末位的半個單位，則末位數(shù)加1。小于5舍去：若舍去部分的數(shù)值小于保留部分末位的半個單位，則末位數(shù)減1。等于5應用偶數(shù)法則：若舍去部分的數(shù)值等于保留部分末位的半個單位，當末位為偶數(shù)時則末位不變，當末位是奇數(shù)時則末位加1。

數(shù)據(jù)記錄、運算的準確性要和測量的準確性相適應！誤差一般只取一位有效數(shù)字（特殊情況下最多取兩位有效數(shù)字），測量結果的末位數(shù)應與誤差的末位數(shù)對齊

有效數(shù)字:所有準確數(shù)字和一位欠準確數(shù)字數(shù)學：

物理測量：

01234(a)分度值1mm

L=3.23cm

三位01234(b)分度值1cm

L=3.2cm

二位有效數(shù)字位數(shù)越多，測量精度越高系統(tǒng)誤差的削弱和消除系統(tǒng)誤差的特征和分類

在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。1）消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因2）引入修正值進行校正(最適合測量儀表使用者)3）利用特殊的測量方法消除系統(tǒng)誤差的削弱或消除的方法最理想最基本的方法1)從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源上消除基本誤差：選擇準確度等級高的儀器設備；所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，檢定證書是否在有效期內(nèi)；附加誤差：使儀器設備工作在其規(guī)定的工作條件下，如溫度、振動、塵污、氣流等；使用前正確調(diào)零、預熱以消除儀器設備的附加誤差；方法誤差和理論誤差：所采用的測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差；選擇合理的測量方法，設計正確的測量步驟；人員誤差：提高測量人員的測量素質(zhì)，改善測量條件(選用智能化、數(shù)字化儀器儀表等)。注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等方法：預先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結果。修正值＝－誤差=－（測量值－真值）實際值（A）＝測量值（Ax）＋修正值（C）2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差注意：在某些自動測量系統(tǒng)中，預先將更正值儲存于計算機的內(nèi)存中，這樣可對測量結果中的系統(tǒng)誤差自動進行修正。修正值C由計量部門檢定時給出修正值的獲取方法1）儀表的檢定證書給出。2）通過理論推導求取。【例】電流表測電流不計電流表內(nèi)阻：計及電流表內(nèi)阻：則：修正值：ERab+–IARA被測等效電路修正值的獲取方法3）通過試驗求取。

通過實驗獲得修正表格、修正曲線、修正公式---按規(guī)律校正對不斷變化的系統(tǒng)誤差：對有規(guī)律的系統(tǒng)誤差：

現(xiàn)測現(xiàn)修（如零點誤差、增益誤差等）（如溫度、濕度、頻率修正等）

注意1：由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要殘留少量的系統(tǒng)誤差。

注意2：由于這些殘留的系統(tǒng)誤差相對隨機誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來處理。

消除系統(tǒng)誤差的幾種主要測量方法：替代法交換法差值法對稱測量法正負誤差補償法迭代自校法

3）采用特殊的測量方法替代法替代法主要用于消除定值系統(tǒng)誤差，操作方法：在測量條件不變的情況下，用一已知的標準量去替代未知的被測量，通過調(diào)整標準量而保持替代前后儀器的示值不變，結果標準量的值等于被測量值。

測量某未知電阻R，要求誤差小于0.1%。1）首先將它接入一個電橋中(如圖)，該電橋的誤差為1%。調(diào)整橋臂電阻R1、R2

使電橋平衡；2）取下Rx，換上標準電阻箱R5(電阻箱為0.1級)。3）保持R1

、R2

不動，調(diào)節(jié)R5的大小，使電橋再次平衡，此時被測電阻Rx=R5

。只要測量靈敏度足夠，根據(jù)這種方法測量Rx的準確度與標準電阻箱的準確度相當，而與檢流計G

和電阻R1、R2的恒值誤差無關，因此可以滿足測量要求【例】電橋法測電阻通過交換被測量和標準量的位置，從前后兩次換位測量結果的處理中，削弱或消除系統(tǒng)誤差。特別適用于平衡對稱結構的測量裝置中，并通過交換法可檢查其對稱性是否良好。第一次平衡 第二次平衡 上兩式相乘、開方得：交換法例：在電橋中采用交換法測電阻交換法

隨機誤差的處理

測量誤差的數(shù)學表達

根據(jù)誤差理論，任何一次測量中，一般都含有系統(tǒng)誤差ε和隨機誤差δ，即ΔA=ε+δ=Ax-A0在一般工程測量中，系統(tǒng)誤差遠大于隨機誤差，即ε>>δ，相對來講隨機誤差可以忽略不計，此時只需處理和估計系統(tǒng)誤差即可。在精密測量中，系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除或小得可以忽略不計時，即ε≈0。只需處理隨機誤差。無系差等精度測量：不考慮系統(tǒng)誤差，各種測量因素都相同的測量。隨機誤差統(tǒng)計特性

隨機誤差就個體而言并無規(guī)律可循，但其總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律，總的來說隨機誤差具有下列特性：有界性(2)單峰性(3)對稱性(4)抵償性0概率分布密度函數(shù)設隨機變量x的值位于-∞與x之間的概率是x的函數(shù)F(x)：則稱F(x)為x的概率分布函數(shù)；稱f(x)為x的概率分布密度函數(shù)；為x在[x1,x2]之間的概率。

式中

σ和σ2——隨機誤差δ的標準差和方差

隨機誤差的正態(tài)分布實踐和理論證明，大量的隨機誤差服從正態(tài)分布規(guī)律，其概率密度函數(shù)為：測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？隨機誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布：均勻分布

t分布三角分布反正弦分布

特點：在某一區(qū)域內(nèi)，隨機誤差出現(xiàn)的概率處處相等，而在該區(qū)域外隨機誤差出現(xiàn)的概率為零。均勻分布的概率密度函數(shù)φ(δ)為：

式中a——隨機誤差δ的極限值。儀器度盤刻度差引起的誤差；儀器最小分辨率限制引起的誤差數(shù)字儀表的量化(±1)誤差數(shù)字計算中的舍入誤差對于一些只知道誤差出現(xiàn)的大致范圍，而不知其分布規(guī)律的誤差，在處理時經(jīng)常按均勻分布的誤差對待。

均勻分布

特點：主要用來處理小樣本(即測量數(shù)據(jù)比較少)的測量數(shù)據(jù)。(正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測量數(shù)據(jù))t分布的概率密度函數(shù)φ(t)為：

和標準正態(tài)分布的圖形類似；特點是分布與標準差的估計值無關，但與自由度(n-1)有關；當n較大(n>30)時，t分布和正態(tài)分布的差異就很小了，當n→∞時，兩者就完全相同了。t分布（學生分布）（自由度）隨機變量的數(shù)字特征測量次數(shù)隨機變量數(shù)學期望:測量數(shù)據(jù)的數(shù)學期望被測量的真值無數(shù)多次測量的平均值隨機誤差補償特性:由得被測量量值數(shù)學期望:體現(xiàn)隨機變量的分布中心，反映其平均特性。隨機變量的數(shù)字特征

方差是用來描述隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度。設隨機變量A的數(shù)學期望為M(A)，則A的方差定義為：

物理意義：

數(shù)據(jù)信號偏離期望值的程度，也是信號能量的一種表示。

隨機變量的數(shù)字特征

標準偏差定義為：

標準偏差同樣描述隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度，并且與隨機變量具有相同量綱。標準偏差意義標準偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。正態(tài)分布的統(tǒng)計特性參數(shù)

正態(tài)分布誤差的數(shù)學期望為：方差為：數(shù)學期望：標準差：方差：平均分布的統(tǒng)計特性參數(shù)

有限次測量的數(shù)學期望和標準偏差的估計值

求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？（1）有限次測量的數(shù)學期望的估計值？（2）有限次測量的標準偏差的估計值？

對某量進行一系列無系差等精度測量時，由于存在隨機誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，該測量列的最佳估計值是測量列的算術平均值，并作為最后的測量結果。算術平均值原理設A1，A2,…A3為n次測量所得的值，則算術平均值為:算術平均值特性

若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計知，算術平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量，即滿足無偏性、有效性、一致性和充分性。(1)無偏性：估計值圍繞被估計參數(shù)波動，且M()＝M（A）。(2)有效性：的波動幅度比單次測量小。(3)一致性：隨著測量次數(shù)增加，趨近于被測量參數(shù)M(A)。(4)充分性：包含了樣本的全部信息。有限次測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值標準偏差的估計值（實驗標準偏差）：貝塞爾公式注意：因為，所以n個剩余誤差不是獨立的，而只有n-1個獨立變量。

一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按定義求得隨機誤差，這時可用算術平均值代替被測量的真值進行計算。此時的隨機誤差稱為剩余誤差（殘余誤差）：方差的估計值：有限次測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值方差的實用算法：方差的遞推算法：算術平均值的標準偏差的估計值算術平均值的方差：算術平均值的標準差：測量列的方差估計測量列的標準差估計平均值的方差估計

在多次測量的測量列中，是以算術平均值作為測量結果，算術平均值也是隨機變量，因此必須研究算術平均值不可靠的評定標準。結論2：算術平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小倍。增加測量次數(shù)n，可減少標準偏差，提高測量準確度。證明*

故：結論1：用平均值估計被測量比測量列任何一個數(shù)據(jù)估計可信。n>10時測量準確度增長緩慢：增加測量次數(shù)花費較大，效果較??；此外，由于增加測量次數(shù)難以保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差。實際測量中，測量次數(shù)一般取10~20次。若要進一步提高測量準確度，需從選擇更高準確度的測量儀器、更合理的測量方法、更好的控制測量條件等方面入手。測量精度與測量次數(shù)的關系【例】

用溫度計重復測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差估計值。解：計算平均值計算各測量值殘差：標準偏差估計：

平均值標準偏差估計：置信度的概念——表征測量數(shù)據(jù)或結果可信賴程度的一個參數(shù)。

置信區(qū)間

[M(A)-Kσ(A),M(A)+Kσ(A)］K——置信因子

置信概率在置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率P。置信概率可信度置信度的物理意義：1測量數(shù)據(jù)處于數(shù)學期望（真值）附近一個置信區(qū)間內(nèi)的概率。2測量數(shù)據(jù)在一個置信區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)數(shù)學期望（真值）的概率。

測量結果的置信度置信區(qū)間下的置信概率可由置信區(qū)間對概率密度函數(shù)定積分求得：置信限：

k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積測量結果的置信度分布和標準差一定，置信區(qū)間越寬，置信概率就越大。置信區(qū)間一定，標準差越小，置信概率越大。置信概率一定時，標準差越小，置信區(qū)間越窄。置信度問題（1）給定置信區(qū)間求置信概率。（2）給定置信概率求計算置信區(qū)間關鍵是確定置信因子分布和置信因子確定后，則置信概率為：正態(tài)分布的置信概率正態(tài)分布：置信概率P：令：正態(tài)分布的置信概率當k=3時置信因子k置信概率P/Ф(K)10.682720.954530.9973區(qū)間越寬，置信概率越大注意：誤差的絕對值大于3σ的概率只有0.0027，可以認為不可能發(fā)生的小概率隨機事件。因此常把標準差的3倍作為正態(tài)分布下測量數(shù)據(jù)的極限誤差。置信因子K和置信概率P/Ф(K)數(shù)值關系表格見表2－1。對某電阻作無系差等精度獨立測量，已知測量數(shù)據(jù)R服從正態(tài)分布，且標準差是0.2Ω

，試求被測電阻落在[Ri-0.5,Ri+0.5]Ω的概率。解：已知σ

＝0.2Ω,Kσ=0.5Ω所以：由表2－1得：【例1】對某電壓作無系差等精度獨立測量，測量值服從正態(tài)分布，已知被測量真值U0＝79.83V,且標準差σ(U)=0.02V

，試按99％的可能性估計測量數(shù)據(jù)可能出現(xiàn)的范圍。解：已知P＝99％＝0.99,σ（U）=0.02V，U0＝79.83V所求置信區(qū)間：由表2－1查得置信概率為0.99時對應的置信因子，為：【例2】由此可得測量值Ui的出現(xiàn)范圍：79.78<Ui<79.88t分布的置信概率t分布：代入置信概率定義公式：t分布與測量次數(shù)有關。當足夠大時，t分布趨于正態(tài)分布。給定置信概率和測量次數(shù)n，查表2－2得置信因子Kt。

t分布的置信區(qū)間【例】對某電容作8次無系差等精度獨立測量，測量值如下（單位uf），試求被測電容的估計值及其置信區(qū)間（P＝0.99）。Ci（75.01,75.04,75.07,75.03,75.09,75.06,75.02,75.08）解：根據(jù)平均值原理，被測電容的估計值：測量列方差估計值：測量列標準差估計值：平均值標準差估計值：當P＝0.99,k=7時，由表2－2查得Kt＝3.5,于是可得被測電容置信區(qū)間為：所以被測電容真值C0以0.99的概率處于75.01至75.09之間。（2）均勻分布的置信概率均勻分布：代入置信概率定義公式：標準差：均勻分布的測量誤差不可能超過a，a為極限誤差。通常取，此時誤差的置信概率為100％。（3）均勻分布的置信因子時結論：，P＝1

粗大誤差的剔除粗大誤差的剔除粗大誤差產(chǎn)生原因:①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄；②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。粗大誤差出現(xiàn)的概率很小，處理方法是列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應將對應的測量值剔除。

粗大誤差的統(tǒng)計學判別準則統(tǒng)計學的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差，并予以剔除。在正態(tài)分布等精度測量中，隨機誤差大于3σ的概率僅為0.0027%，屬小概率事件。拉依達（萊特）檢驗法：設測量數(shù)據(jù)中，測量值Ak的隨機誤差為δk，當：測量值為粗大誤差的異常值，應予以剔除。

粗大誤差的統(tǒng)計學判別準則

在實際應用中使用剩余誤差和標準差的估計值：注意：當測量次數(shù)你n≤10時，該準則失效?！咀C明】因為所以即當n≤10時，

粗大誤差的統(tǒng)計學判別準則格拉布斯(grubbs)檢驗法：當測量數(shù)據(jù)Ak的剩余誤差νk滿足：式中，g0（n,α）值由重復測量次數(shù)n及顯著性水平α

（超差概率，1－P）確定，由數(shù)理統(tǒng)計的方法推導。則測量值為粗大誤差的異常值，應予以剔除。應注意的問題①

所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時檢驗不一定可靠。②

若有多個可疑數(shù)據(jù)同時超過檢驗所定置信區(qū)間，應逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數(shù)據(jù)超出范圍時，應逐個剔除。③在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。

無系統(tǒng)誤差（準確度較高的儀表）等精度多次測量得Ai,i=1,2,3……n（1）求平均值：（2）求標準差估計值：（3）剔除粗大誤差AK，若有重復（1）、（2）；（4）計算其算術平均值的標準差：（5）給出置信概率下結果：單位粗大誤差剔除小結用準確度較高的測量儀器對某電阻進行16次等精度測量，測量結果：34.86,35.21,34.97,35.14,35.35,35.21,35.16,35.22,35.30,35.71,35.94,35.63,35.65,35.70,35.24,35.36，求被測量電阻的測量結果。解：a.無系統(tǒng)誤差；

b.c.

d.第13次，36.65-35.30=1.35>該值應剔除。

e.重新計算15次測量的

f.【例】測量誤差的估計

和測量結果的表示直接測量的誤差估計已知儀表量程和準確度等級，單次測量結果誤差表示為：已知儀表的基本誤差或容許誤差（數(shù)字表），單次測量結果誤差表示為：

儀表基本誤差或容許誤差儀表準確度等級直接測量的誤差估計若進行了多次測量，則還應考慮隨機誤差的影響。若多次測量的標準偏差的估計值為σ，則測量誤差為：置信因子已知儀表量程和準確度等級已知儀表的基本誤差或容許誤差

問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？誤差合成的一般公式：設測量結果y是n個獨立變量A1,A2，…，An的函數(shù)，即

y=f(A1,A2,…,An)

與被測量有函數(shù)關系的各個直接測量值

y

為間接測量值間接測量結果的誤差估計（誤差合成）間接測量的誤差估計絕對誤差傳遞系數(shù)獨立變量Ai的絕對誤差Ai產(chǎn)生的絕對誤差分量絕對誤差合成一般公式相對誤差傳遞系數(shù)獨立變量Ai的相對誤差Ai產(chǎn)生的相對誤差分量相對誤差合成一般公式*重點是要確定誤差傳遞系數(shù)CΔ和Cγ。

函數(shù)總誤差等于各誤差分量的代數(shù)和

確定誤差傳遞系數(shù)是誤差合成的關鍵。傳遞系數(shù)確定的常用方法有微分確定法、計算機仿真確定法和實驗確定法。(1)微分確定法

條件：適合于確切知道函數(shù)的關系式，已知y=f(A1,A2,…,An)。

結論：（2）計算機仿真確定法（函數(shù)關系復雜，不易求導的場合,特別是多變量隱函數(shù))（3）實驗確定法（不必知道函數(shù)關系，但需要控制誤差量，難度較大）

變量Ai對函數(shù)y的絕對誤差傳遞系數(shù)等于y對Ai的一階偏導數(shù)。

變量Ai對函數(shù)y的相對誤差傳遞系數(shù)，等于函數(shù)y的對數(shù)對Ai的一階偏導數(shù)乘以Ai。

誤差傳遞系數(shù)的確定誤差傳遞系數(shù)典型公式【例】測量結果的表示

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差

各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和.測量結果的表示

如含有已定系統(tǒng)誤差y,測量結果可表示為：若y＝0，即不含有可修正系統(tǒng)誤差y,測量結果可表示為：注意：Δm包括未定的系統(tǒng)誤差和隨機誤差。測量結果的表示

測量結果應指明置信因子K的大小或測量結果的概率分布及置信概率P(P＝0.68)(P＝0.99)K=1K=2K=3測量結果置信概率P＝0.95時不必注明，其它概率均在結果以括號給出。常見形式有：測量單位只出現(xiàn)一次，且列于最后。有效值位數(shù)與誤差大小相適應。注意：測量結果的處理步驟

1對測量值進行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；2求出算術平均值3列出殘差，并驗證4按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值5按拉伊達準則或格拉布斯準則檢查是否有粗大誤差；6如有粗大誤差，剔除粗大誤差重新計算算術平均值和標準差；7計算算術平均值的標準偏差：8通過儀器的容許誤差或準確度等級估計未定系統(tǒng)誤差Δ；測量結果的處理步驟

9置信區(qū)間的估計。根據(jù)置信概率查表查得置信因子,可得極限誤差則置信區(qū)間為：10測量結果表示；【例】

對某電壓進行了