(完整版)函數(shù)、極限與連續(xù)習(xí)題及答案

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)(A)a,1．區(qū)間表示不等式()A．a(chǎn)xB．a(chǎn)xC．D．a(chǎn)xax32．若tt31，則t1()A．31B．62C．92D．93t63t32tttt3．設(shè)函數(shù)ln3152xarcsinx的定義域是()fxx1,1D．1532521,1,1,A．B．C．34．下列函數(shù)與相等的是()fxgxA．fxx2，gxB．，2x4fxxgxxfxC．x1x121D．fxxgxx，1x1x1gx，x15．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()sinxA．y22xx2D．yx2cosxxsinxB．yxeC．sinx2xx2fxx2x2fx1，則的值域?yàn)?．若函數(shù)，()A．0,2B．0,3C．0,2D．0,37．設(shè)函數(shù)fxex(x0為()12)，那么fxfxC．fxxxfx2fxxB．f1A．D．fx11212x2fx,28．已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則fx4的單調(diào)遞減區(qū)間是()0,,,0A．B．C．D．不存在yfx9．函數(shù)與其反函數(shù)yfx的圖形對(duì)稱(chēng)于直線()1A．y0B．x0yxC．D．yx110．函數(shù)()y10x12的反函數(shù)是x1A．ylgx2B．ylog2C．logxx1lg2D．yyx2ax,x是有理數(shù)fx0a1，則11．設(shè)函數(shù)()0,x是無(wú)理數(shù)A．當(dāng)x時(shí)，是無(wú)窮大B．當(dāng)x時(shí)，是無(wú)窮小fxfx時(shí)，是無(wú)窮小fxxC．當(dāng)fxx時(shí)，是無(wú)窮大D．當(dāng)12．設(shè)在上有定義，函數(shù)在點(diǎn)x左、右極限都存在且相等是函fxRfx0數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)的()fx0A．充分條件C．必要條件B．充分且必要條件D．非充分也非必要條件x2a,x1fx13．若函數(shù)在上連續(xù)，則的值為()Racosx,x1A．0B．1C．-1D．-214．若函數(shù)在某點(diǎn)x極限存在，則()fx0A．在x的函數(shù)值必存在且等于極限值fx0B．在x函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值fx0C．在x的函數(shù)值可以不存在fx0D．如果fx存在的話，必等于極限值012340，，，，，…是()345615．?dāng)?shù)列A．以0為極限B．以1為極限n2C．以為極限D(zhuǎn)．不存在在極限n16．limxsin1(x)xA．B．不存在C．1D．012x17．xlim1()x21A．B．C．0D．e2218．無(wú)窮小量是()A．比零稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù)C．以零為極限的一個(gè)變量B．一個(gè)很小很小的數(shù)D．?dāng)?shù)零2x,1x0fx0x1則的定義域?yàn)椋?=f19．設(shè)fx2,，x1,1x3f1=。0,1yfx20．已知函數(shù)的定義域是，則fx的定義域是。。221．若fx，則ffx，fffx11x22．函數(shù)ye的反函數(shù)為。x123．函數(shù)y5sinx的最小正周期T。11x，則fx。24．設(shè)fx2x25．limn3nn1。x111124112n26．lim。n11393n27．limxlnx。x02x33x2203028．xlim。5x150x,x1fxx1,1x2的不連續(xù)點(diǎn)為29．函數(shù)。3x,x2lim3sinx30．n。n3nfx31．函數(shù)1x21的連續(xù)區(qū)間是。3,axbx0fxab0fx32．設(shè)，處處連續(xù)的充要條件是abx2x,x0b。1,x0，sinx，復(fù)合函數(shù)gx的連續(xù)fx33．若區(qū)間fgx1,x0是。x2均為常數(shù)，，b34．若limxaxb0，，ab則a。x135．下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？1x21x2(1)yx21x，(2)y3x2x3，(3)y，(4)yxxx112(5)ysinxcosx1，(6)yaxax236．若ft1。25225t，證明ftfttt2t37．求下列函數(shù)的反函數(shù)x1x12x2x1(1)y，(2)y12sin38．寫(xiě)出圖1-1和圖1-2所示函數(shù)的解析表達(dá)式y(tǒng)y211xx-1圖1-1圖1-2sinx,x0，求limfx。39．設(shè)fxxx01x,0x240．設(shè)x1222n2n，求limx。3n2nnn41．若1，求lim。fxxfxfxxx2x0411n2211。n2n42．利用極限存在準(zhǔn)則證明：nlimnn243．求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類(lèi)型(1)1x，(3)yx，(4)xy，(2)yyx1x2x2x2x,0x11fx,x144．設(shè)，問(wèn)：21,1x2(1)limfx存在嗎？x1fx在x1處連續(xù)嗎？若不連續(xù)，說(shuō)明是哪類(lèi)間斷？若可去，則(2)補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。x21,0x1，fx45．設(shè)x3,x1(1)求出的定義域并作出圖形。fx1x(2)當(dāng)，1，2時(shí)，連續(xù)嗎？fx2(3)寫(xiě)出的連續(xù)區(qū)間。fxx0,x20x2x22,，求出的間斷點(diǎn)，并指出是哪一fxfx4x2,46．設(shè)4,類(lèi)間斷點(diǎn)，若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。xx47．根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證方程31至少有一個(gè)根介于1和2之5間。x48．驗(yàn)證方程21至少有一個(gè)小于1的根。x(B)1．在函數(shù)的可去間斷點(diǎn)x處，下面結(jié)論正確的是()fx0A．函數(shù)在x左、右極限至少有一個(gè)不存在fx05B．函數(shù)在fxx左、右極限存在，但不相等0C．函數(shù)在fxx左、右極限存在相等0D．函數(shù)在x左、右極限都不存在fx0x13sinx,fxx0，則點(diǎn)0是函數(shù)的(x0)fx2．設(shè)函數(shù)0,A．第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)B．第二類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)D．連續(xù)點(diǎn)C．可去不連續(xù)點(diǎn)fx0，則(3．若lim)x0為任意函數(shù)時(shí)，有l(wèi)imfxgx0成立A．當(dāng)gxxx0B．僅當(dāng)limgx0時(shí)，才有l(wèi)imfxgx0成立xx0xx0為有界時(shí)，能使limfxgx0成立C．當(dāng)gxxx0為常數(shù)D．僅當(dāng)gx時(shí)，才能使limfxgx0成立xx04．設(shè)limfx及l(fā)imgx都不存在，則()xx0xx0fxgx及l(fā)imfxgx一定不存在A．limxx0xx0及l(fā)imfxgx一定都存在fxgxB．limxx0xx0及l(fā)imfxgx中恰有一個(gè)存在fxgxC．lim，而另一個(gè)不存在xx0xx0及l(fā)imfxgx有可能存在D．limfxgxxx0xx0x2sin15．limx的值為(x0)sinxA．1B．C．不存在D．0sin1x2(6．limx1)x1x22112A．B．C．0D．3337．按給定的x的變化趨勢(shì)，下列函數(shù)為無(wú)窮小量的是()61xx2A．xx1(x)1(x)B．1x4xC．12x(x0)8．當(dāng)x0D．(x0)sinx時(shí)，下列與同階(不等價(jià))的無(wú)窮小量是()xB．ln1xA．xxsinC．sinD．1exx2x1x21，則為(gx9．設(shè)函數(shù)12x，fgx)f2x2A．30B．15C．3D．1x2x12fxx24(0x2)的值域?yàn)?，Egx210．設(shè)函數(shù)2的值域?yàn)?，則有)(FA．EFEFB．EFC．D．EF11．在下列函數(shù)中，與表示同fxgx一函數(shù)的是()fxxxx2A．1fx，1B．，gxgxx0x2fxxD．，gxx3C．fx，gxx3fxx12．與函數(shù)2的圖象完全相同的函數(shù)是()C．D．a(chǎn)rcsinsin2xA．lneB．sinarcsin2x2xeln2x13．若x1，下列各式正確的是()1A．1B．x1C．x1x1D．23xx有極限a，則在的領(lǐng)域之外，數(shù)列中的點(diǎn)()a14．若數(shù)列nA．必不存在B．至多只有限多個(gè)D．可以有有C．必定有無(wú)窮多個(gè)15．任意給定M0，總存在X0限個(gè)，也可以有無(wú)限多個(gè)fxM，當(dāng)時(shí)，xX，則()B．limfxlimfxA．xxlimfxC．D．limfxxx7limfx與limfx存在，則()16．如果xxxx0A．limfx存在且limfxfx00xx0xx0B．limfx存在，但不一定有l(wèi)imfxfx0xx0xx0C．limfx不一定存在xx0D．limfx一定不存在xx017．無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量之和，則()A．必是無(wú)窮小量C．必是有界量B．必是無(wú)窮大量D．是無(wú)窮小，或是無(wú)窮大，或有可能是有界量，則18．yarccoslnx它的連續(xù)區(qū)間為()12A．x1B．x2e1,22,e1D．C．1,22,1ee3nx，則limn19．設(shè)fx它的連續(xù)區(qū)間是()1nx,A．1nB．(n為正整數(shù))處x1處n,00,C．x0D．及x,x0要使fxfx20．設(shè)ex在x0a處連續(xù)，則()ax,x0A．2B．1C．0D．-11x,x0，若在上是連續(xù)函數(shù)，則x0sinfx21．設(shè),x3fxa,a()1A．0B．1C．D．333x1,x122．點(diǎn)x1是函數(shù)fx1,x1的()3x,x1A．連續(xù)點(diǎn)B．第一類(lèi)非可去間斷點(diǎn)8C．可去間斷點(diǎn)D．第二類(lèi)間斷點(diǎn)23．方程4x10至少有一根的區(qū)間是()xC．2,3D．1,21212A．0,B．,124．下列各式中的極限存在的是()C．lim2x25x1A．limsinxxB．limex0D．lim1x3x2121xxx0x25．x0lim()sinxA．1B．0C．-1D．不存在lim2126．n。n2n2n2nfxx213，則1。27．若fxxx228．函數(shù)ylnx1的單調(diào)下降區(qū)間為。229．已知lima2n2bn52，則a，b。3n2nx2axe2，則a30．limx。x131．函數(shù)1fxex的不連續(xù)點(diǎn)是，是第類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)。32．函數(shù)fxsin1的不連續(xù)點(diǎn)是，是第不連續(xù)點(diǎn)。xx33．當(dāng)0時(shí)，31x1~。1，為使fx在x0連續(xù)，則應(yīng)補(bǔ)充定義f034．已知fx1x。x35．若函數(shù)fx1與函數(shù)gxx的圖形完全相同，則x的取值范圍x是。；若fx0，則36．設(shè)fxxx3，若fx0，則x9；若0fxxx；則。37．設(shè)fx2x,x0，gx5x,x0fgx，則。x,x03x,x038．設(shè)0u1，函數(shù)fu有意義，則函數(shù)flnx的定義域。39．設(shè)數(shù)列xnn1的前n項(xiàng)和為S，那么lim1SSS1xn12nn。40．如果x0時(shí)，要無(wú)窮小1cos與sin2x等價(jià)，a應(yīng)等于xa。2axb10，則應(yīng)滿(mǎn)足41．要使lim。bxx042．limx1x。2x1x21x,x1，當(dāng)A43．函數(shù)fx連續(xù)。時(shí)，函數(shù)fxA,x144．已知limx2axb2，則a，b。xx22x2e1,x0，；若無(wú)間斷點(diǎn)，fx45．fxlimfxx02xa,x0a則。x0處可可連續(xù)開(kāi)拓，只須令f046．函數(shù)fxxsin1在點(diǎn)。x47．lim1cosxx0xcosx。248．limx3。exx49．lim1cos2x。x2x050．設(shè)Gxln，證明：當(dāng)xx0，y0，下列等式成立：yx。(1)GxGyGxy，(2)GxGyG101,x1fx0,x1，gxex，求和。fgxgfx51．設(shè)1,x1lg1x1xyz1yzyz，證明：。52．若x53．根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1)lim3n13，(2)limn1n0，2n12xnn2n1n(3)lim09991，(4)limnnn個(gè)54．根據(jù)函數(shù)極限的定義證明(1)limxsin10，(2)lim12x22，3x23xx0xarctgxx(3)limx0，(4)limx20x255．求下列極限x21x03x2x2(2)limxn1(，(1)limnm為正整數(shù))，x1x1m(3)lim1xx1xxcosxx7(4)limx4x75x81(6)lim1x31x38119(5)limx2x3100x1(7)lim1cos2x(8)limcosxx2xsinxx0x2(10)limsin2xsin2a(9)limarcsinxx0xaxxa111x(11)lim12x0x(12)limx0xx1x(13)lim1tgxcosx1kx(14)lim1(為正整數(shù))kxxx0x56．當(dāng)0時(shí)，求下列無(wú)窮小量關(guān)于x的階11(1)x3x6，(2)x23sinx，(3)1x1x，(4)tgxsinxxaxb，其中，，至少有一個(gè)正根，并且不sina0b057．試證方程ab超過(guò)。0,a上至少存在fa58．設(shè)在閉區(qū)間0,2上連續(xù)，且02，則在fxaf。使fxfxa一個(gè)，x59．設(shè)在,上連續(xù)，且，，試證：在a,b內(nèi)至少有fxabfaafbb一點(diǎn)，使得：f。60．設(shè)數(shù)列x有界，又limy0，證明limxy0。nnnnnn123n361．設(shè)x3，求limx。33n4n4n4n4nnn3x,1x1x1，求limfx及l(fā)imfx。62．設(shè)fx2,x0x13x2,1x263．求xlimeexxeex。x64．求lim2sinxsin2x。x3x065．求下列極限(1)limet1sin2x2cosx(2)limtt2x45x4x(4)limsinxsina(3)limx1x1xaxa(5)limx2xx2x(6)lim13tgxcosx2xx0(7)limex12x3x1(8)lim2x1xx0xx66．求lim。ln1xx012(C)xa1．若存在0，對(duì)任意，適合不等式0的一切x，有fxL，則()A．在不存在極限fxaa,a嚴(yán)格單調(diào)B．在fx，C．在無(wú)界D．對(duì)任意fxa,axa,afxLxa2．若存在0，對(duì)任意，適合不等式的一切x，有0fxL，則()B．在R上無(wú)界fxfxLA．limxaC．在上有界fxRD．在上單調(diào)fxR3．函數(shù)fxxnlimn(x0)，則此函數(shù)()1xn2x2nA．沒(méi)有間斷點(diǎn)B．有一個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)C．有兩個(gè)以上第一類(lèi)間斷點(diǎn)D．有兩個(gè)以上間斷點(diǎn)，但類(lèi)型不確定kx74．若函數(shù)ykx24kx3的定義域?yàn)镽，則的取值范圍是(k)A．0k3B．或0k3330kC．kD．k44445．兩個(gè)無(wú)窮小量與之積仍是無(wú)窮小量，且與或相比()A．是高階無(wú)窮小C．可能是高階，B．是同階無(wú)窮小D．與階數(shù)較高的那階同階于的三階無(wú)窮小(也可能是同階無(wú)窮小6．試決定當(dāng)x0x時(shí)，下列哪一個(gè)無(wú)窮小是對(duì))xaxa(a0是常數(shù))B．A．3x23C．0.0001x2D．3tanx)為無(wú)窮大x37．指出下列函數(shù)中當(dāng)x0時(shí)(sinx1C．D．exexA．2x1B．1secx131x1x,x08．fxfx，如果在x0k處連續(xù)，那么()xk,x01A．0B．2C．D．12x1x1x31y9．使函數(shù)為無(wú)窮小量的的變化趨勢(shì)是()xA．x0B．x1C．x1D．x，則=z110．設(shè)，若。fxfxfyfzxx,x0，則fxx11．若而fx。2xx,x01ex,x00x1fx3x,在x1a處連續(xù)，則12．若。2axeax1,1xexax2x4x13a有有限極限值，則LL，13．設(shè)limx1。xaxa(。14．lima0)=x2a2xa15．證明limsinx不存在。x16．求lim1(0x1)。xnnn1lim39。xxx17．求xxfx18．設(shè)gx在x0處連續(xù)，且g00，以及fxgx0，試證：在處連續(xù)。19．利用極限存在準(zhǔn)則證明：數(shù)列2，22，222，…的極限存在。20．設(shè)適合fx1cab(、、均為abcx常數(shù))且，試證：afxbfxfxfx。14fx0fxyfxfy，試求,21．設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，，ff1985。x、fx都為單調(diào)增加函數(shù)，22．設(shè)、且對(duì)一切實(shí)數(shù)x均有：x證。xffxxxfxx，求23．證明fxsin2當(dāng)x0時(shí)左右極限不存在。x11124．設(shè)nx111，證明：當(dāng)n時(shí)x的極限存在。23n222n25．若fx在a,b上連續(xù)，axxxb，則在x,x上必有，12n1n。fxfxfx12n使fn26．證明，若fx在,內(nèi)連續(xù)，且limfx存在，則fx必在,x內(nèi)有界。n27．lim1992，求、的值。nnn10，在,，內(nèi)有,唯一的根，1223axaxax328．證明方程12312其中a，a，a均為大于0的常數(shù)，且。123123第一章函數(shù)、極限與連續(xù)(A)a,表示不等式(B)1．區(qū)間A．a(chǎn)xB．a(chǎn)xC．D．a(chǎn)xax32．若tt31，則t1(D)tA．1tB．2tC．2tt3t32D．3369963．設(shè)函數(shù)ln3152xarcsinx的定義域是(C)fxx1,1D．1532521,1,1,A．B．C．3154．下列函數(shù)與相等的是(A)fxgxA．fxx2，gxB．，fxxgx2x4xfxC．x1x1x121D．fxx，1gxxx1gx，x15．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(A)sinx22xx2A．yB．yxeC．sinxD．yxcosxxsinx2x2x2fx1，則的值域?yàn)?B)fxx2x26．若函數(shù)，A．0,2B．0,3C．0,2D．0,37．設(shè)函數(shù)fxex(x0為(B)12)，那么fxfxC．fxxxfxxB．f1A．D．fxfx121212x2,8．已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則fx4的單調(diào)遞減區(qū)間是(C)2fx,,00,A．B．C．D．不存在yfx9．函數(shù)與其反函數(shù)yfx的圖形對(duì)稱(chēng)于直線(C)1A．y0B．x0yxC．D．yx10．函數(shù)y10x12的反函數(shù)是(D)x1A．ylgx2B．ylog2C．logxx1lg2D．yyx2ax,x是有理數(shù)fx0a1，則(B)11．設(shè)函數(shù)0,x是無(wú)理數(shù)fxA．當(dāng)x時(shí)，是無(wú)窮大B．當(dāng)x時(shí)，是無(wú)窮小fx時(shí)，是無(wú)窮小fxxC．當(dāng)fxx時(shí)，是無(wú)窮大D．當(dāng)12．設(shè)在上有定義，函數(shù)在點(diǎn)x左、右極限都存在且相等是函fxRfx0數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)的(C)fx016A．充分條件C．必要條件B．充分且必要條件D．非充分也非必要條件x2a,x1fx13．若函數(shù)在上連續(xù)，則的值為(D)Racosx,x1A．0B．1C．-1D．-214．若函數(shù)在某點(diǎn)x極限存在，則(C)fx0A．在x的函數(shù)值必存在且等于極限值fx0B．在x函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值fx0C．在x的函數(shù)值可以不存在fx0D．如果fx存在的話，必等于極限值012340，，，，，…是(B)345615．?dāng)?shù)列A．以0為極限B．以1為極限n2C．以為極限D(zhuǎn)．不存在在極限n16．limxsin1(C)xxA．B．不存在C．1D．012x17．lim1(A)xx1A．B．C．0D．e2218．無(wú)窮小量是(C)A．比零稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù)B．一個(gè)很小很小的數(shù)D．?dāng)?shù)零C．以零為極限的一個(gè)變量1x02x,19．設(shè)fx2,x1,0x1則的定義域?yàn)?,3，0=2，fxf1x3f1=0。，則fx的定義域是1,1。20,120．已知函數(shù)的定義域是yfx17x1fffx，121．若，則x。fxffx1xx22．函數(shù)yex1的反函數(shù)為ylnx1。23．函數(shù)5sinyx的最小正周期2T。1x11。1x，則fx124．設(shè)fx2xx23225．limn3nn1x。11114。24112n26．limn113393n27．limxlnx0。x02x33x2220330。203028．lim5x155050xx,x1fxx1,1x2的不連續(xù)點(diǎn)為129．函數(shù)。3x,x230．lim3sinxx。n3nnfx31．函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是,1、1,1、1,。1x21,axbx0ab0fx，處處連續(xù)的fx32．設(shè)充要條件是abx2x,x0b0。1,x033．若fxgxfgx，sinx，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是1,x0k,k1，k0,1,2。x2b34．若lim0，，均為常數(shù)，則1，2。axbabax1x35．下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？18(1)yx21x偶函數(shù)2(2)y3x2x3非奇函數(shù)又非偶函數(shù)(3)y11xx22偶函數(shù)奇函數(shù)1(4)yxxx1(5)ysinxcosx1非奇函數(shù)又非偶函數(shù)(6)yaxax偶函數(shù)2251ftftf36．若2t25t，證明。tt2t證：f22t25t5111tt2tft37．求下列函數(shù)的反函數(shù)2x2x1(1)yx解：y1ln1xy12sinxx11(2)1arcsinx12y1arcsinx1238．寫(xiě)出圖1-1和圖1-2所示函數(shù)的解析表達(dá)式y(tǒng)y211xx-1圖1-1圖1-2192,x01,x0x1,x0y解：(1)(2)yx1,x0sinx,x0。39．設(shè)fx，求limfxx0x1x,0x2fxlimsinx1x解：limx0x0limfxlim1x21x0x0故limfx1。x040．設(shè)x1222n2n，求limx。3n2nnn121nnn1222n2nlim6n解：limn33n2n2n112n12n211n12nlimnlimn66fxxfx。41．若fx1lim，求xx2x0112xx解：limx2xx0limxx02x22xxx2x2xx2limx0x2xx2x32011n2211。n2n42．利用極限存在準(zhǔn)則證明：nlimnn2n211n21n2n2證：∵nn2nnn2n2n2n2且limnn2n1，limnn1，由夾逼定理知211n2211limnnn2nn243．求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類(lèi)型y，(2)y1x，(3)y，(4)yxxx(1)1x2x2x2解：(1)當(dāng)x1為第二類(lèi)間斷點(diǎn)；(2)x2均為第二類(lèi)間斷點(diǎn)；(3)x0，為第一類(lèi)斷點(diǎn)；(4)x0,1,2,，均為第一類(lèi)間斷點(diǎn)。x,0x11fx,x144．設(shè)，問(wèn)：21,1x2(1)lim存在嗎？fxx1fx1，limfx1，故limfx1解：lim存在，事實(shí)上limfx。x1x1x11x1fx(2)在x1處連續(xù)嗎？若不連續(xù)，說(shuō)明是哪類(lèi)間斷？若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。x,0x1，則fx*解：不連續(xù)，x1fx1,x1為可去間斷點(diǎn)，定義：*1,1x2在x1處連續(xù)。2121,0x1，yxfx45．設(shè)x3,x1x(1)求出的定義域并作出圖形。fx01解：定義域?yàn)?,，1，2時(shí)，連續(xù)嗎？fx1x(2)當(dāng)21時(shí)，fx不連續(xù)。解：2x，x2時(shí)，fx連續(xù)，而x1(3)寫(xiě)出的連續(xù)區(qū)間。fx解：fx的連續(xù)區(qū)間0,1、1,。x0,x20x2x22,，求出的間fxfx4x2,46．設(shè)斷點(diǎn)，并指出是哪一4,類(lèi)間斷點(diǎn)，若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。(1)由limfx4，f02，故x斷點(diǎn)，改變fx在x0解：0為可去間x0的定義為f04，即可使fx在x0連續(xù)。(2)由limfx4，limfx0，故x2為第一類(lèi)間斷點(diǎn)。x2x2(3)類(lèi)似地易得x2為第一類(lèi)間斷點(diǎn)。47．根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證方程x53x1至少有一個(gè)根介于1和2之間。驗(yàn)證：設(shè)fxx53x1，易知fx在1,2上連續(xù)，且f130，f22561250，故1,2，使f0。x48．驗(yàn)證方程21至少有一個(gè)小于1的根。x驗(yàn)證：設(shè)fxx2x1，易知fx在0,1上連續(xù)，且f010，f110，故1,2，使f0。(B)1．在函數(shù)fx的可去間斷點(diǎn)x處，下面結(jié)論正確的是(C)022A．函數(shù)在fxx左、右極限至少有一個(gè)不存在0B．函數(shù)在fxx左、右極限存在，但不相等0C．函數(shù)在fxx左、右極限存在相等0D．函數(shù)在x左、右極限都不存在fx0x13sinx,fxx0，則點(diǎn)0是函數(shù)的(D)x0fx2．設(shè)函數(shù)0,A．第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)B．第二類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)D．連續(xù)點(diǎn)C．可去不連續(xù)點(diǎn)fx0，則(C)3．若limx0為任意函數(shù)時(shí)，有l(wèi)imfxgx0成立A．當(dāng)gxxx0B．僅當(dāng)limgx0時(shí)，才有l(wèi)imfxgx0成立xx0xx0為有界時(shí)，能使limfxgx0成立C．當(dāng)gxxx0為常數(shù)D．僅當(dāng)gx時(shí)，才能使limfxgx0成立xx04．設(shè)limfx及l(fā)imgx都不存在，則(D)xx0xx0fxgx及l(fā)imfxgx一定不存在A．limxx0xx0及l(fā)imfxgx一定都存在fxgxB．limxx0xx0及l(fā)imfxgx中恰有一個(gè)存在fxgxC．lim，而另一個(gè)不存在xx0xx0及l(fā)imfxgx有可能存在D．limfxgxxx0xx0x2sin15．limx的值為(D)sinxx0A．1B．C．不存在D．0sin1x2(A)6．limx1x1x22112A．B．C．0D．333237．按給定的的變化趨勢(shì)，下列函數(shù)為無(wú)窮小量的是(C)x1xx2A．xx1(x)1(x)B．1x4xC．12x(x0)8．當(dāng)x0D．(x0)sinx時(shí)，下列與同階(不等價(jià))的無(wú)窮小量是(B)xB．ln1xA．xxsinC．sinD．1exx2x1x21，則為(B)f2gx9．設(shè)函數(shù)12x，fgxx2A．30B．15C．3D．1x2x12fxx24(0x2)的值域?yàn)?，Egx210．設(shè)函數(shù)2的值域?yàn)?，則有(D)FA．EFEFB．EFC．D．EF11．在下列函數(shù)中，與表示同fxgx一函數(shù)的是(D)fxxxx2A．1fx，1B．，gxgxx0x2fxxD．，gxx3C．fx，gxx3fxx12．與函數(shù)2的圖象完全相同的函數(shù)是(A)C．D．a(chǎn)rcsinsin2xA．lneB．sinarcsin2x2xeln2x13．若x1，下列各式正確的是(C)1A．1B．x1C．x1x1D．23x14．若數(shù)列x有極限a，則在的領(lǐng)域之外，數(shù)列中的點(diǎn)(B)anA．必不存在B．至多只有限多個(gè)D．可以有有C．必定有無(wú)窮多個(gè)15．任意給定M0，總存在X0限個(gè)，也可以有無(wú)限多個(gè)fxM，當(dāng)時(shí)，xX，則(A)B．limfxlimfxA．xx24limfxC．D．limfxxxlimfx與limfx存在，則(C)16．如果xxxx0A．limfx存在且limfxfx00xx0xx0B．limfx存在，但不一定有l(wèi)imfxfx0xx0xx0C．limfx不一定存在xx0D．limfx一定不存在xx017．無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量之和，則(D)A．必是無(wú)窮小量B．必是無(wú)窮大量C．必是有界量D．是無(wú)窮小，或是無(wú)窮大，或有可能是有界量，則18．yarccoslnA．x1x它的連續(xù)區(qū)間為(C)12B．x2e1,22,e1D．C．1,22,1ee3nx，則limn19．設(shè)fx它的連續(xù)區(qū)間是(B)1nx,A．1B．(n為正整數(shù))處xn1處n,00,C．x0D．及x,x0要使fxfx20．設(shè)ex在x0a處連續(xù)，則(B)ax,x0A．2B．1C．0D．-11x,x0，若在上是連續(xù)函數(shù)，則x0sinfx21．設(shè),x3fxa,a(C)1A．0B．1C．D．333x1,x122．點(diǎn)x1是函數(shù)fx1,x1的(C)3x,x125A．連續(xù)點(diǎn)B．第一類(lèi)非可去間斷點(diǎn)C．可去間斷點(diǎn)D．第二類(lèi)間斷點(diǎn)23．方程4x10至少有一根的區(qū)間是(D)xC．2,3D．1,21212A．0,B．,124．下列各式中的極限存在的是(C)C．lim2x25x3x21D．lim1211A．limsinxxB．limex0xxxx0x25．x0lim(D)sinxA．1B．0C．-1D．不存在lim2。126．1n2n2n2n2nfxx213，則1x21。27．若fxxx228．函數(shù)ylnx1的單調(diào)下降區(qū)間為,0。229．已知lima2n2bn52，則a0，b6。3n2nx2axe2，則a30．limx2。x131．函數(shù)1fxex的不連續(xù)點(diǎn)是x0，是第二類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)。32．函數(shù)fxsin1的不連續(xù)點(diǎn)是x0，是第二類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)。xx33．當(dāng)0時(shí)，31x1~x。134．已知fx1x，為使fxx在0連續(xù)x，則應(yīng)補(bǔ)充定義f01。e35．若函數(shù)fx1與函數(shù)gxx的圖形完全相同，則x的取值范圍是x0,。26fxxx3，若fx0x，則0或±1；若0fxx，則36．設(shè)fx0,1,1；若0x；則1,01,。2x,x05x,x010x,x0fxgx，fgx37．設(shè)，則。x,x03x,x06x,x00u1，函數(shù)fu有意義，則函數(shù)flnx的定義域1,e。38．設(shè)39．設(shè)數(shù)列xn的前n項(xiàng)和為S，那么lim1SSS1n1xn12nn12。40．如果x0時(shí)，要無(wú)窮小1cos與sin2x等價(jià)，a應(yīng)等于xa2。2axb10，則應(yīng)滿(mǎn)足b1。41．要使limbxx0limx1x42．0。2x1x21x,x1，當(dāng)A時(shí)，函數(shù)連續(xù)。fxfx43．函數(shù)2A,x144．已知limx2axbx2x22，則ab2，-8。x2e1,x045．fx；若無(wú)間斷點(diǎn)，fxlimfx，02xa,x0x0a則0。46．函數(shù)x0處可可連續(xù)開(kāi)拓，只須令f0fxxsin1在點(diǎn)0。x1cosx147．lim。2x0x2cosxx3lim48．x0。ex1cos2x1。249．limx2x02750．設(shè)lnx，證明：當(dāng)，0，下列等式成立：Gxx0y(1)GxGyGxy證：GxGylnxlnylnxyGxyx(2)GxGyGyGxGylnxlnylnxGx證：yy1,x1fx0,x1，gxex，求和。fgxgfx51．設(shè)1,x11,gx11,x0fgx0,gx10,x0，解：1,gx11,x0x1x1e,gfxefx1,elg1x1xzyz，證明：y。1yz52．若x1ylg1zlg11yyzzyzyz1z解：yzlg1y11yyzz11yyzzyzlg1yzyz1yzyzlg1yz故結(jié)論成立。53．根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1)lim3n132n12x3n132n1222n15證：0，要使5，只要n5，取An228N5，則當(dāng)313nnN時(shí)，恒有，即。lim3132n12nn212x(2)limn1n0n0，因n121n21，證：，要使n1n1nn只要n，取N112nNn，則當(dāng)時(shí)，恒有n1，即222limn1n0。n(3)lim09991nn個(gè)1，只要1，要使09999，10n證：0，因09999110nnn個(gè)09999，即即只要n101。取logNlog1，則當(dāng)時(shí)，恒有nN10n個(gè)lim09991。nn個(gè)n2n(4)limn1nn1nnnn2，只要n1。取n2n2證：0，因nnnnnn2n1。N1，當(dāng)nN時(shí)，恒有21，即limnnn54．根據(jù)函數(shù)極限的定義證明(1)limxsin10xx0證：0，因xsin1x，要使xsin1，只要x。，則xx11當(dāng)x時(shí)，恒有xsin，即limxsinx00。xx(2)lim12x223x23x2912x2112x21，要使3，22證：0，因，要使3x2x3x233x2312x212x22。3取z1，則當(dāng)xX時(shí)，恒有，即limx233x233x2(3)limarctgx0xx2，則當(dāng)arctgx2證：0，因，只要，取2xz時(shí)，xzxxarctgxarctgx0。恒有，即xlimxx(4)limx20x2證：0，要使x2，只要0x2，取2，則當(dāng)20x2時(shí)，恒有x2，即limx20。x255．求下列極限x21x03x2x2(1)lim解：原式12(2)limxn1(，nm為正整數(shù))，x1xm1n1xn2xx1xm1xm2x0解：原式limxnm0(3)lim1xx1x11x1解：原式limx11x(4)limxcosxx7x301cosx解：原式limx1x17x4x75x88119(5)limx2x3100481519x100解：原式limx4315192100x10011x13(6)limx1x3x1x21lim1x1xxx1解：原式2(7)lim1cos2xxsinxx02sin2x2limxsinx解：原式x0(8)limcosxx2x2sinx21解：原式limx2x2(9)limarcsinxxx0t解：令xsint，原式lim1x0sint(10)limsin2xaxsin2axa0lim2sinxcosxlimsin2xsin2a0解：原式xaxa1(11)lim12xxx0解：原式e231(12)lim1x1x1xx0解：原式lim1x1lim1xx0exe21e1xx0(13)lim1tgxcosxx0sinx解：原式lim1x0tgx1e01tgx1kx(14)lim1(為正整數(shù)x)kx1xlim1ekxk解：原式x56．當(dāng)x0x時(shí)，求下列無(wú)窮小量關(guān)于的階(1)x3x6解：3階7(2)x23sinx解：階31x1x(3)解：1階3階(4)tgxsinx解：xaxb，其中，，至少有一個(gè)正根，并且不sin57．試證方程a0b0ab超過(guò)。證：令fxxasinxb，則f0b0，fababasinabb0且fxCa,ab，故0,ab，使f0。0,a上至少存在fa58．設(shè)在閉區(qū)間0,2上連續(xù)，且02，則在fxaf。使fxfxa一個(gè)，x證：令xfxfxa，于是x在0,a上連續(xù)，由于條件0f0faf2afa(