熱點(diǎn)探究四猜想推理型中考試題的歸納與預(yù)測

熱點(diǎn)探究四猜想推理型中考試題的歸納與預(yù)測河北課標(biāo)卷從04年始，每年都有一道實(shí)驗(yàn)與推理型試題．這類試題已經(jīng)成為河北省中考數(shù)學(xué)試卷中帶有規(guī)律性的靚題之一們具有如下的特點(diǎn)用教學(xué)中的常用教具———三角板在常見的特殊幾何圖等腰三角形正方形菱形等中的變（平移旋轉(zhuǎn)、翻折找變化當(dāng)中的不變關(guān)．這類題一般是通過觀察與操作等合情推理的手段，然后做出猜想，最后證明．解答本類試題的通法就是證明三角形全等，借助全等三角形的性質(zhì)，使問題得到解決．熱點(diǎn)呈現(xiàn)這類試題的具體呈現(xiàn)方式有一是以三角板的運(yùn)動為背景解典型幾何類問題的過程隱含其中．如年課標(biāo)卷的題07年考卷的24題其二是以三角板的運(yùn)動為體，將典型幾何類試題加以變形，如04年標(biāo)卷24，年課標(biāo)卷題．為了更好的把握命題特點(diǎn)與方式，更有效地、更有針對性地進(jìn)行年的中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考工作，有必要把近幾年的本類試題進(jìn)行重點(diǎn)的分析和總結(jié)．熱點(diǎn)一、旋轉(zhuǎn)型試題．例（2004河課改）用兩個全等的等邊三角形（

△ABC

和

△

）拼合成了菱形把一個含60角的三角尺與這個菱形疊合三尺的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合夾角的兩邊分別與AB，AC合．將三角尺繞點(diǎn)按時針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）當(dāng)三角尺的兩邊分與菱形的兩邊，CD相于點(diǎn)，F(xiàn)時如圖（1），通過觀察或測量，CF的度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，的長線相交于點(diǎn)，時（如圖1（2）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡說明理由．簡析）過觀察或測量，可以得出

BECF

，要證明線段相等這一結(jié)論，可以想到多種方法，但根據(jù)本題的條件與圖形特點(diǎn)，可以看

eq\o\ac(△,出)eq\o\ac(△,)ABE

繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)

得到△ACF（或△ADF繞A順針旋轉(zhuǎn)得△用△ABE≌△ACF

（或△ADF≌△ACE

）實(shí)現(xiàn)

BECF

較好）（1簡解）

BECF

．證明：在

△

和

△ACF

中，∵∴

BAE．

，∵AC，B60第1頁共7頁

，

∴

△ABE≌△ACF

（CF．（2）仍然成立．說理．簡評此通過三角板的旋轉(zhuǎn)來造探索性問題學(xué)生在探索過程中可以表現(xiàn)出自己在從事觀察、實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)表達(dá)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動方面的能力，此題關(guān)注了學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的過程和方法本題通過觀察或量等實(shí)驗(yàn)操作，猜想出實(shí)驗(yàn)結(jié)果，再對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行推理證明然后對操作的結(jié)果行進(jìn)一步猜想證明題用三角形全等進(jìn)行證明對學(xué)生來說，比較常規(guī)，也容易做對．例（河課改）如圖2等直角三角尺G的兩條直角邊與正方形的條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形保不動，將三角尺GEF繞邊的中點(diǎn)O點(diǎn)O也中點(diǎn)）順時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖（與AB相于點(diǎn)M，GF與相于點(diǎn)時通過觀察或測量，F(xiàn)N的度，猜想，滿的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）若三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖（3所示的位置時，線段FE的長線與的長線相交于點(diǎn)M線段BD的長線與GF的延長線相交于點(diǎn)N此時）的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．簡析：這又是一道通過觀察和測量進(jìn)行猜想，然后進(jìn)行推理證明猜想的試題．第1問經(jīng)過測量易得到

BM

要明線段相等這一猜想由本題條件與圖形特點(diǎn)易證明含有線段

FN

的三角形和含有線段

BM

的兩個三角形全等證

△OBM≌△OFN

進(jìn)而得到BM．（2）問思維方法同簡解）BM．證明：∵△GEF是腰直角三角形，四邊形ABCD正方形，∴

ABD

，OBOF．又∵

BOMFON

，∴

△OBM≌△OFN

．∴FN．（2）BM仍成立．證明：∵△GEF是腰直角三角形，四邊形ABCD正方形，∴

DBAGFE

，OBOF．∴

NFO

．又∵

，∴

△OBM≌△．BM．簡評：本題作為幾何題，一改以往圖形復(fù)雜、推理繁瑣的特點(diǎn)，以較為一般、簡單、動態(tài)的圖形為背景，讓學(xué)生操作（旋轉(zhuǎn)）圖形，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等活動探討圖形第2頁共7頁

運(yùn)動中的變量和不變量并自的猜想進(jìn)一步尋求證據(jù)出證明較的考查了學(xué)生對幾何圖形的把握水平.本與例解法類似，與例1不的是，把°，°，90°的三角板換成一個等腰直角三角板形換成正方形點(diǎn)轉(zhuǎn)變成繞三角形斜邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)兩個試題也提醒學(xué)生與老師在學(xué)習(xí)與教學(xué)中注意三角板在幾何圖形中旋轉(zhuǎn)的題目握尋找變化中的不變數(shù)量關(guān)系的思路和方法．熱點(diǎn)二、平移型試題例3（2007河課改△ABC中ABACBA延長線于點(diǎn)G等腰直角三角尺按如圖的置擺放角尺的角頂點(diǎn)為F直角邊與邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B．

（1）在圖（）中請你通過觀察、量

BF

與

的長度，猜想并寫出

BF

與

滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（2）當(dāng)三角尺沿AC方平到圖（）所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊同一直線上，另一條直角邊交邊點(diǎn)D過點(diǎn)D作DE⊥于點(diǎn)E．此時請你通過觀察測量DEDF與CG的長度，猜想并寫出你的猜想；

DE

與CG間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明（3）當(dāng)三角尺在（）的基礎(chǔ)上沿方繼續(xù)平移到圖（3）所示的位置（點(diǎn)F在線段上且點(diǎn)與C不重合）時）的猜想否仍然成立？（不用說明理由）簡析）課本一道習(xí)題的變形，加了三角尺這一背景．測量BF，CG的度，可得

CG

既通過

△≌△

得到

也可通過

△BCF≌△CBG

得到

CG

）是課本這道習(xí)題經(jīng)典變形（即等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離和等于一腰上的高了角尺這背景DE與的長度出

DEDF這一數(shù)量關(guān)系．要證明這一數(shù)量關(guān)系，可用截長補(bǔ)短的方法．此題涉及三條垂線，也可用等面積法；有直角三角形，也還可以用銳角三角函數(shù)解決．由2易得到）的結(jié)論．解）BFCG；證明：在

△

和

△ACG

中，∵

F，GAC，ABAC，∴

△≌△ACG

（

CG

．（2）

DEDF

；證明：方法一：過點(diǎn)D作⊥CG于H（圖（）∵BA于，∠=90，DH⊥，∴四邊形EDHG矩形，∴

DE

，

DH∥BG

．第3頁共7頁

∴

GBC

．∵AC，F(xiàn)CG

．又∵

FDHC

，CDDC，∴

△FDC≌△HCD

（

DFCH

．∴

GHDE

，即

DECG

．方法二：連接AD利用

ABD

ACD

，得到

DECG

．方法三：

ED

，

DFCDFCD

，

BCsinB

，∵

BFCD

，∴

BDCD)BCB

，∴

DEDF

．（3）仍然成立．簡評是等腰三角形部分道經(jīng)典題目加上三角尺平移這一背景有問，若點(diǎn)D在CB延長線上，EDDF，又有何關(guān)系（

DFDECG

信初三學(xué)生都做過此題但不一定會做改編后試題就要求學(xué)生能從復(fù)雜圖形中提煉出熟悉的基本圖形于決問題也求教師在教學(xué)中要注重把典型的例題進(jìn)行改編訓(xùn)練2問解法二，解法三與解法一不同點(diǎn)是：利用了面積不變與角的不變；相同之處是：都抓住了平移過程中的不變關(guān)系．熱點(diǎn)三、非變換型圖形運(yùn)動試題例4（2005河課改）如圖（（2邊是正方M是AB延線上一點(diǎn)直三角尺的一條直邊經(jīng)過點(diǎn)D且角點(diǎn)E在AB邊上滑動（點(diǎn)E不點(diǎn)A，重合一直角邊與∠的分線BF相于點(diǎn)．（1）如圖41點(diǎn)E在的中點(diǎn)位置時：①通過測量DE的度，猜想DE滿足的數(shù)量關(guān)系是；②連接點(diǎn)E與AD邊中，猜想NE與BF足的數(shù)量關(guān)系是__________；③請證明你的上述兩個猜想．（2）如圖42點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊找到一點(diǎn)N，得，進(jìn)而猜想此時DE與有樣的數(shù)量關(guān)系．簡析：本題第一問為了降低難度，連接了NEBF同時也是暗示通過證明含有DENE的

△DNE

與含有EFBF的

△EBF

全等證

DEEF

，

BF

這兩個猜想二問，沿著第一問的證明思路，可以通過全等三角形，做出符合條件的點(diǎn)，同時DE與的數(shù)量關(guān)系便一目了然了．簡解）EF；BF．③證明：∵四邊形是方形，N，E別為，的點(diǎn)，∴第4頁共7頁

EB

．

∵BF平∠CBM，AE，∴

EBF90

45135

．∵

NDE

，BEFDEA

，∴

．∴

△DNE≌△EBF

．∴EF，BF．（2DA上截取DN（或截AENEN使得成立（圖略時，．

簡評：本題的問題由易到難，層次分明，適合于各種學(xué)習(xí)程度的學(xué)生題目考查了學(xué)生用運(yùn)動的觀點(diǎn)探索圖形中的數(shù)量關(guān)系的能力學(xué)生經(jīng)歷問題情境———建立模型———解釋、應(yīng)用與拓展”的解決問題的過程；本題也是一道經(jīng)典試題的變式和引申，把它改為了一直角三角形的兩直角邊，這就隱含了垂直關(guān)系．例3，例道試題的出現(xiàn)體現(xiàn)了經(jīng)典題目的價值，也再一次提醒教師在教學(xué)中應(yīng)重視經(jīng)典題目的變形、改編、挖掘，實(shí)現(xiàn)舉一反三，一題多能的效果．熱點(diǎn)預(yù)測從近幾年河北省中考數(shù)學(xué)試卷中的幾何證明試題來看，估計年幾何證題很有可能繼續(xù)沿用將特殊幾何圖形的變化作為背景用平移旋轉(zhuǎn)翻或綜合變換的形式呈現(xiàn)問題，綜合考查學(xué)生合情推理和演繹推理能力相互融合的題目．模擬練習(xí)．如圖（邊形ABCD是正方形，等腰直角三角尺AMN的非直角頂點(diǎn)與方形的頂點(diǎn)A合，斜邊與方形對角線重合．（1）如圖（角繞點(diǎn)逆針旋轉(zhuǎn)AM交點(diǎn)，AN與CD交點(diǎn)F，接．①

DAF

．②通過測量EFFD的度BEDF與EF滿的數(shù)量關(guān)系；③請證明你的上述猜想．（2如（3尺繞點(diǎn)繼逆時針旋轉(zhuǎn)與的長線交于點(diǎn)EAN與的延長線于點(diǎn)，連接EF．通過測量BEEFFD的度，猜想BEDF與滿足的數(shù)量關(guān)系．．如圖6已知：

△ABC

中，

，

2

，將一塊三角尺的直角頂點(diǎn)與斜邊的中點(diǎn)M重，當(dāng)三角尺繞著點(diǎn)旋時，兩直角邊始終保持分別與邊，交D，E兩（，E不B，合（1）通過觀察或測量與ME的度，猜想MD與ME滿第5頁共7頁

的數(shù)量關(guān)系_；證明你的猜想．（2）求四邊形的積；（3當(dāng)三角尺繞著點(diǎn)

M

繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時，兩直角邊分別與邊

，

的延長線交，Ｅ兩點(diǎn)觀或測量MD與ME的度與ME滿的數(shù)量關(guān)系____________．（4若只將原題目中的“

2

”改為“

a

，

（

它都不變你究和還等?如相等證明果不相等求出的值．

MD:ME．取一副三角板按圖（1）接，固定三角板，三角板ABC繞A順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為角（45）到△7（）所示．試問：（1）當(dāng)

為多少度時，能使得圖（2中

AB∥DC

？（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖（3）位置，此時為多少度？圖73）中你能找出哪幾對相似三角形，并求其中一對的相似比；（3）連接BD，當(dāng)時探尋況，并給出你的證明．

DBC

值的大小變化情已知四邊形

ABCD

中，

，

CD

，

AB

，

ABC120

，

繞

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的兩邊分別交

AD

，

（或它們的延長線

，F(xiàn)

．（1

BN

繞

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到

AECF

（題圖（1）過觀察或測量

AE與

EF

的長度，猜想

AECF

與

EF

滿足的數(shù)量關(guān)系．（2當(dāng)

MBN

繞

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到

AECF

時，在圖（）情況下，猜想CF與EF的數(shù)量關(guān)系，并請證明你的猜想；（3）在圖（）情況下，猜想，與EF的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，不需證明．．有一個等腰直角三角尺第6頁共7頁

ABC

和一把足夠長的直尺M(jìn)N，直尺經(jīng)直角頂點(diǎn)C

且MN于D，BEMN于；（1當(dāng)尺繞C旋到圖（的置時通觀察或測量AD與DE的長度，猜想

ADBE

與

DE

滿足的數(shù)量關(guān)系．并請證明你的猜想；（2）當(dāng)直尺繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖9）的位置時，通過觀或測量

ADBE

與DE的長度，猜想

ADEB

與DE滿的數(shù)量關(guān)系．請證明你的猜想；（3）當(dāng)直尺繞旋轉(zhuǎn)到圖93）的位置時，通過觀察或測量DE、BE的長度，猜想DEAD、BE具的等量關(guān)系．不需證明．．已知：如圖（△ABC，△ADE是等邊三角形，，D共．（1通過觀察或測量與BD的度，猜想與BD滿足的數(shù)量關(guān)系．并請證明你的猜想；（2）如圖10（

△ADE

繞點(diǎn)A順針旋轉(zhuǎn)一個度，上述猜想是否還成立，若成立，給出證明；若不成立，給出說明．（3）如圖（3ADE繞A順針旋轉(zhuǎn)