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文檔簡介
(優(yōu)選)標(biāo)準(zhǔn)偏差計(jì)算當(dāng)前1頁,總共49頁。
平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量,用來表明資料中各觀測值相對(duì)集中較多的中心位置。平均數(shù)主要包括有:
算術(shù)平均數(shù)(arithmeticmean)
中位數(shù)(median)
眾數(shù)(mode)
幾何平均數(shù)(geometricmean)
調(diào)和平均數(shù)(harmonicmean)
當(dāng)前2頁,總共49頁。
一、算術(shù)平均數(shù)
算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測值的總和除以觀測值個(gè)數(shù)所得的商,簡稱平均數(shù)或均數(shù),記為。算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。
(一)直接法
主要用于樣本含量n≤30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計(jì)算。當(dāng)前3頁,總共49頁。
設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測值:x1、x2、…、xn,則樣本平均數(shù)可通過下式計(jì)算:
其中,Σ為總和符號(hào);表示從第一個(gè)觀測值x1累加到第n個(gè)觀測值xn。當(dāng)在意義上已明確時(shí),可簡寫為Σx,(3-1)式可改寫為:當(dāng)前4頁,總共49頁?!纠?.1】某種公牛站測得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490(kg),求其平均數(shù)。由于Σx=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285,
n=10
當(dāng)前5頁,總共49頁。
得:即10頭種公牛平均體重為528.5kg。
(二)加權(quán)法
對(duì)于樣本含量n≥30以上且已分組的資料,可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù),計(jì)算公式為:
當(dāng)前6頁,總共49頁。
式中:—第i組的組中值;
—第i組的次數(shù);
—分組數(shù)第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數(shù)量,因此將fi
稱為是xi的“權(quán)”,加權(quán)法也由此而得名。
【例3.2】將100頭長白母豬的仔豬一月窩重(單位:kg)資料整理成次數(shù)分布表如下,求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。當(dāng)前7頁,總共49頁。
表3—1100頭長白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表當(dāng)前8頁,總共49頁。
利用(3—2)式得:即這100頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。計(jì)算若干個(gè)來自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時(shí),如果樣本含量不等,也應(yīng)采用加權(quán)法計(jì)算。當(dāng)前9頁,總共49頁?!纠?.3】某牛群有黑白花奶牛1500頭,其平均體重為750kg,而另一牛群有黑白花奶牛1200頭,平均體重為725kg,如果將這兩個(gè)牛群混合在一起,其混合后平均體重為多少?此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等,要計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重,應(yīng)以兩個(gè)牛群牛的頭數(shù)為權(quán),求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù),即當(dāng)前10頁,總共49頁。
即兩個(gè)牛群混合后平均體重為738.89kg。
(三)平均數(shù)的基本性質(zhì)
1、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的和為零,即離均差之和等于零?;蚝唽懗僧?dāng)前11頁,總共49頁。2、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的平方和為最小,即離均差平方和為最小。
(xi-)2<(xi-a)2
(常數(shù)a≠)或簡寫為:<
對(duì)于總體而言,通常用μ表示總體平均數(shù),有限總體的平均數(shù)為:
當(dāng)前12頁,總共49頁。
式中,N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí),則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)()作為總體平均數(shù)(μ)的估計(jì)量,并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無偏估計(jì)量。當(dāng)前13頁,總共49頁。二、中位數(shù)
將資料內(nèi)所有觀測值從小到大依次排列,位于中間的那個(gè)觀測值,稱為中位數(shù),記為Md。
當(dāng)觀測值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí),則以中間兩個(gè)觀測值的平均數(shù)作為中位數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí),中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)的計(jì)算方法因資料是否分組而有所不同。當(dāng)前14頁,總共49頁。
(一)未分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法
對(duì)于未分組資料,先將各觀測值由小到大依次排列。當(dāng)前15頁,總共49頁。1、當(dāng)觀測值個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí),(n+1)/2位置的觀測值,即x(n+1)/2為中位數(shù):
Md=
2、當(dāng)觀測值個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí),n/2和(n/2+1)位置的兩個(gè)觀測值之和的1/2為中位數(shù),即:
當(dāng)前16頁,總共49頁?!纠?.4】觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為144、145、147、149、150、151、153、156、157,求其中位數(shù)。此例n=9,為奇數(shù),則:
Md==150(天)即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)的中位數(shù)為150天。當(dāng)前17頁,總共49頁?!纠?.5】某犬場發(fā)生犬瘟熱,觀察得10只仔犬發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡分別為7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天,求其中位數(shù)。此例n=10,為偶數(shù),則:
即10只仔犬從發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡天數(shù)的中位數(shù)為11.5天。
(二)已分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法當(dāng)前18頁,總共49頁。
若資料已分組,編制成次數(shù)分布表,則可利用次數(shù)分布表來計(jì)算中位數(shù),其計(jì)算公式為:
式中:L—中位數(shù)所在組的下限;
i—組距;
f—中位數(shù)所在組的次數(shù);
n—總次數(shù);
c—小于中數(shù)所在組的累加次數(shù)。當(dāng)前19頁,總共49頁?!纠?.6】某奶牛場68頭健康母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間整理成次數(shù)分布表如表3—2所示,求中位數(shù)。表3—268頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間次數(shù)分布表當(dāng)前20頁,總共49頁。
由表3—2可見:i=15,n=68,因而中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對(duì)應(yīng)的“57—71”這一組,于是可確定L=57,f=20,c=16,代入公式(3—5)得:
即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間的中位數(shù)為70.5天。當(dāng)前21頁,總共49頁。三、幾何平均數(shù)
n個(gè)觀測值相乘之積開n次方所得的方根,稱為幾何平均數(shù),記為G。它主要應(yīng)用于畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析,畜禽疾病及藥物效價(jià)的統(tǒng)計(jì)分析。如畜禽、水產(chǎn)養(yǎng)殖的增長率,抗體的滴度,藥物的效價(jià),畜禽疾病的潛伏期等,用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計(jì)算公式如下:
當(dāng)前22頁,總共49頁。
為了計(jì)算方便,可將各觀測值取對(duì)數(shù)后相加除以n,得lgG,再求lgG的反對(duì)數(shù),即得G值,即
【例3.7】某波爾山羊群1997—2000年各年度的存欄數(shù)見表3—3,試求其年平均增長率。當(dāng)前23頁,總共49頁。
表3—3某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長率當(dāng)前24頁,總共49頁。
利用(3—7)式求年平均增長率
G==lg-1[(-0.368-0.398–0.602)]=lg-1(-0.456)=0.3501
即年平均增長率為0.3501或35.01%。當(dāng)前25頁,總共49頁。四、眾數(shù)
資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測值或次數(shù)最多一組的組中值,稱為眾數(shù),記為M0。如表2-3所列的50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中,以22出現(xiàn)的次數(shù)最多,則該資料的眾數(shù)為22天。又如【例3.6】所列出的次數(shù)分布表中,57—71這一組次數(shù)最多,其組中值為64天,則該資料的眾數(shù)為64天。當(dāng)前26頁,總共49頁。
五、調(diào)和平均數(shù)
資料中各觀測值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù),稱為調(diào)和平均數(shù),記為H,即
調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模。當(dāng)前27頁,總共49頁?!纠?.8】某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為:0世代200頭,1世代220頭,2世代210頭;3世代190頭,4世代210頭,試求其平均規(guī)模。利用(3—9)式求平均規(guī)模:
即保種群平均規(guī)模為208.33頭。
當(dāng)前28頁,總共49頁。
對(duì)于同一資料:算術(shù)平均數(shù)>幾何平均數(shù)>調(diào)和平均數(shù)上述五種平均數(shù),最常用的是算術(shù)平均數(shù)。當(dāng)前29頁,總共49頁。第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差
一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義用平均數(shù)作為樣本的代表,其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是不全面的,還需引入一個(gè)表示資料中觀測值變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)前30頁,總共49頁。
全距(極差)是表示資料中各觀測值變異程度大小最簡便的統(tǒng)計(jì)量。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值,并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測值的變異程度,比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí),可以利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)前31頁,總共49頁。
為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測值的變異程度,人們首先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn),求出各個(gè)觀測值與平均數(shù)的離差,(),稱為離均差。雖然離均差能表示一個(gè)觀測值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度,但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù),離均差之和為零,即()=0,因而不能用離均差之和Σ()來表示資料中所有觀測值的總偏離程度。
當(dāng)前32頁,總共49頁。
為了解決離均差有正、有負(fù),離均差之和為零的問題,可先求離均差的絕對(duì)值并將各離均差絕對(duì)值之和除以觀測值個(gè)數(shù)n求得平均絕對(duì)離差,即Σ||/n。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測值的變異程度,但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào),使用很不方便,在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。當(dāng)前33頁,總共49頁。
我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有負(fù),離均差之和為零的問題。先將各個(gè)離均差平方,即()2
,再求離均差平方和,即,簡稱平方和,記為SS;由于離差平方和常隨樣本大小而改變,為了消除樣本大小的影響,用平方和除以樣本大小,即,求出離均差平方和的平均數(shù);當(dāng)前34頁,總共49頁。
為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)量,統(tǒng)計(jì)學(xué)證明,在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí),分母不用樣本含量n,而用自由度n-1,于是,我們采用統(tǒng)計(jì)量表示資料的變異程度。統(tǒng)計(jì)量稱為均方(meansquare縮寫為MS),又稱樣本方差,記為S2,即
S2=當(dāng)前35頁,總共49頁。
相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差,記為σ2。對(duì)于有限總體而言,σ2的計(jì)算公式為:
當(dāng)前36頁,總共49頁。
由于樣本方差帶有原觀測單位的平方單位,在僅表示一個(gè)資料中各觀測值的變異程度而不作其它分析時(shí),常需要與平均數(shù)配合使用,這時(shí)應(yīng)將平方單位還原,即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差,記為S,即:
當(dāng)前37頁,總共49頁。
由于所以上式可改寫為:
當(dāng)前38頁,總共49頁。
相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差,記為σ。對(duì)于有限總體而言,σ的計(jì)算公式為:
在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。
當(dāng)前39頁,總共49頁。二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法
(一)直接法
對(duì)于未分組或小樣本資料,可直接利用(3—11)或(3-12)式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)前40頁,總共49頁?!纠?.9】計(jì)算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量:450,450,500,500,500,550,550,550,600,600,650(g)的標(biāo)準(zhǔn)差。此例n=10,經(jīng)計(jì)算得:Σx=5400,Σx2=2955000,代入(3—12)式得:即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的標(biāo)準(zhǔn)差為65.828g。當(dāng)前41頁,總共49頁。
(二)加權(quán)法
對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料,可利用次數(shù)分布表,采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式為:
式中,f為各組次數(shù);x為各組的組中值;Σf=n為總次數(shù)。
當(dāng)前42頁,總共49頁。
【例3.10】利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表(見表3-4)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。將表3-4中的Σf、Σfx、代入(3—14)式得:
即某純系蛋雞200枚蛋重的標(biāo)準(zhǔn)差為3.5524g。當(dāng)前43頁,總共49頁。
表
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