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文檔簡介

9.3.1函數(shù)項級數(shù)的概念9.3冪級數(shù)9.3.2冪級數(shù)及其收斂性9.3.3冪級數(shù)的性質(zhì)9.3

冪級數(shù)的概念和性質(zhì)9.3.1函數(shù)項級數(shù)的概念1.2.收斂點與收斂域:(定義域是收斂域)3.和函數(shù):函數(shù)項級數(shù)的部分和余項注意函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題,實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題.在收斂域上,9.3.2冪級數(shù)及其收斂性1.定義任務(wù)：求冪級數(shù)的收斂域、和函數(shù)，并研究和函數(shù)的性質(zhì)。例1

定理9.3.1幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域(阿貝爾(Abel)定理)推論2、冪級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間定義正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.

稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?證明3、收斂半徑的求法定理9.3.2由比值審斂法,定理證畢.注意(2)an不能等于零。而是要用別的方法求R

，如夾逼、拆項等。不可說冪級數(shù)沒有收斂半徑（一定有）例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散級數(shù)收斂域為(-1,1].斂域發(fā)散收斂故收斂域為(0,1].解缺少偶次冪的項級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域為9.3.3冪級數(shù)的性質(zhì)1.代數(shù)運算性質(zhì):(1)加減法(

其中(2)乘法(其中柯西乘積(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)即有

從中可順序求出2.和函數(shù)的分析運算性質(zhì):(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)反復(fù)應(yīng)用上述結(jié)論可得：收斂半徑為R,若冪級數(shù)則它的和函數(shù)s(x)在區(qū)間(-R,R)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)。解兩邊積分得由逐項求導(dǎo)公式得例5的和

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