2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第4講直線平面平行的判定及其性質(zhì)學(xué)案

第4講直線、平面平行的判斷及其性質(zhì)最新考綱1.以立體幾何的定義、公義和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的相關(guān)性質(zhì)與判判定理；2.能運(yùn)用公義、定理和已獲得的結(jié)論證明一些相關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.知識(shí)梳理直線與平面平行直線與平面平行的定義直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.判判定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平a?α，b?α，a∥b?a判判定理行，則該直線平行于∥α此平面一條直線和一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線a∥α，a?β，α∩性質(zhì)定理β＝b?a∥b的任一平面與此平面的交線與該直線平行2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)判判定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示一個(gè)平面內(nèi)的兩條訂交直線與?α，?α，∩＝判斷abab另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平P，a∥β，b∥β?α定理面平行∥β兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平α∥β，a?α?a∥β面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面性質(zhì)定理若是兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三α∥β，α∩γ＝a，個(gè)平面訂交，那么它們的交線β∩γ＝b?a∥b平行與垂直相關(guān)的平行的判斷a⊥α，b⊥α?a∥b.a⊥α，a⊥β?α∥β.診斷自測(cè)判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.()(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無(wú)數(shù)條.()(3)若是一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.()(4)若是兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()剖析(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯(cuò)誤.若a∥α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯(cuò)誤.(3)若是一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或訂交，故

(3)錯(cuò)誤.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√2.以下命題中，正確的選項(xiàng)是

(

)A.若a，b是兩條直線，且B.若直線a和平面α滿足

a∥b，那么a∥α，那么

a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面a與α內(nèi)的任何直線平行C.若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥bD.若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α剖析

依照線面平行的判斷與性質(zhì)定理知，選

D.答案

D3.(2015·北京卷

)設(shè)α，β是兩個(gè)不同樣的平面，

m是直線且

m?

α.“m∥β”是“α∥β”的(

)A.充分而不用要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不用要條件剖析當(dāng)m∥β時(shí)，可能α∥β，也可能α與β訂交.當(dāng)α∥β時(shí)，由m?α可知，m∥β.∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件.答案B4.(必修2P56練習(xí)2改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的地址關(guān)系為_(kāi)_______.剖析

連接

BD，設(shè)

BD∩AC＝O，連接

EO，在△

BDD1中，O為

BD的中點(diǎn)，

E為

DD1的中點(diǎn)，因此EO為△BDD1的中位線，則

BD1∥EO，而

BD1?平面

ACE，EO?

平面

ACE，因此

BD1∥平面

ACE.答案平行(2017·金華檢測(cè))設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同樣的平面，a，b為直線.(1)若α∥γ，β∥γ，則α與β的關(guān)系是________；若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α與β的關(guān)系是________.剖析(1)由α∥γ，β∥γ?α∥β.a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β.答案(1)平行(2)平行用一個(gè)截面去截正三棱柱ABC－A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分別于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，已知A1A>A1C1，則截面的形狀可以是________(把你認(rèn)為可能的結(jié)果都填上).剖析由題意知，當(dāng)截面平行于側(cè)棱時(shí)所得截面為矩形，當(dāng)截面與側(cè)棱不平行時(shí)，所得的截面是梯形.答案矩形或梯形考點(diǎn)一線面、面面平行的相關(guān)命題的真假判斷【例1】(2015·安徽卷)已知m，n是兩條不同樣直線，α，β是兩個(gè)不同樣平面，則以下命題正確的是()A.若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行C.若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D.若，不平行，則與n不可以能垂直于同一平面mnm剖析A項(xiàng)，α，β可能訂交，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)，直線m，n的地址關(guān)系不確定，可能訂交、平行或異面，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有∥與已知，n不平行矛盾，因此原命題正確，故D項(xiàng)正確.mnm答案D規(guī)律方法(1)判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必定熟悉線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無(wú)論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最簡(jiǎn)單判斷的選項(xiàng)先確定或消除，再漸漸判斷其余選項(xiàng).(2)①結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.②特別注意定理所要求的條件可否齊全，圖形可否有特別情況，經(jīng)過(guò)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題可否正確.【訓(xùn)練1】(2017·臺(tái)州調(diào)研)設(shè)m，n是兩條不同樣的直線，α，β，γ是三個(gè)不同樣的平面，給出以下四個(gè)命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中是真命題的是________(填上正確命題的序號(hào)).剖析①m∥n或m，n異面，故①錯(cuò)誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯(cuò)誤；④α∥β或α與β訂交，故④錯(cuò)誤.答案②考點(diǎn)二直線與平面平行的判斷與性質(zhì)(多維研究)命題角度向來(lái)線與平面平行的判斷【例2－1】(2016·全國(guó)Ⅲ卷)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn).證明：MN∥平面PAB；求周圍體N－BCM的體積.2證明由已知得AM＝AD＝2.3如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝12BC＝2.又AD∥BC，故TN綉AM，因此四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因?yàn)?平面，?平面，ATPABMNPAB因此MN∥平面PAB.解因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，1因此N到平面ABCD的距離為2PA.如圖，取

BC的中點(diǎn)

E，連接

AE.由AB＝AC＝3得

AE⊥BC，AE＝

22AB－BE＝

5.1由AM∥BC得

M到

BC的距離為

5，故

S△BCM＝2×4×

5＝25.因此周圍體

N－BCM的體積

VN－BCM1＝×S△BCM×

PA＝

45.3

2

3命題角度二

直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例

2－2】如圖，四棱錐

P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為

8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為217.點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.證明：GH∥EF；若EB＝2，求四邊形GEFH的面積.證明因?yàn)锽C∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，因此GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.解如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK.因?yàn)镻A＝PC，O是AC的中點(diǎn)，因此PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD內(nèi)，因此PO⊥底面ABCD.又因?yàn)槠矫鍳EFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，因此PO∥平面GEFH.因?yàn)槠矫鍼BD∩平面GEFH＝GK，PO?平面PBD.因此PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，又EF?平面ABCD，從而GK⊥EF.因此GK是梯形GEFH的高.由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，11從而KB＝4DB＝2OB，即K為OB的中點(diǎn).再由

PO∥GK得GK＝

12PO，即G是PB的中點(diǎn)，且GH＝

12BC＝4.由已知可得

OB＝42，PO＝

22PB－OB68－32＝6，因此GK＝3.故四邊形的面積＝GH＋EF＝4＋8·×3＝18.GEFHS2GK2規(guī)律方法(1)判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用反證法(線面平行的定義)；②利用線面平行的判判定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；③利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).(2)利用判判定理判斷線面平行，要點(diǎn)是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面找其交線.【訓(xùn)練2】在四棱錐－中，∥，＝＝1，，，分PABCDADBCABBC2ADEFH別為線段，，的中點(diǎn)，與交于O點(diǎn)，G是線段上一點(diǎn).ADPCCDACBEOF求證：AP∥平面BEF；求證：GH∥平面PAD.1證明(1)連接EC，∵AD∥BC，BC＝2AD，E為AD的中點(diǎn)，∴BC綉AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點(diǎn)，又∵F是PC的中點(diǎn)，∴FO∥AP，又FO?平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，∴FH∥PD，又PD?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，OH∥AD，又∵AD?平面PAD，OH?平面PAD，OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?

平面

OHF，∴GH∥平面

PAD.考點(diǎn)三

面面平行的判斷與性質(zhì)

(典例遷移

)【例

3】(

經(jīng)典母題

)以下列圖，在三棱柱

ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：B，C，H，G四點(diǎn)共面；平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，GH∥BC，B，C，H，G四點(diǎn)共面.∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【遷移研究1】如圖，在本例條件下，若點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA.證明以下列圖，連接A1B.D為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，∴HD∥A1B，又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，HD∥平面A1B1BA.【遷移研究2】在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)ADD，D1分別是AC，A1C1上的點(diǎn)，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求的值.DC解連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BCD∥平面ABD，且平面ABC∩平面BCD＝BC，平面ABC∩平面11111111111111A1D1A1O又由題設(shè)A1D1DCD1C1OBD1C1AD∴DCAD＝1，即＝1.ADDC規(guī)律方法(1)判斷面面平行的主要方法①利用面面平行的判判定理.②線面垂直的性質(zhì)(垂直于同素來(lái)線的兩平面平行).面面平行的性質(zhì)定理①兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一平面.②若一平面與兩平行平面訂交，則交線平行.提示利用面面平行的判判定理證明兩平面平行時(shí)需要說(shuō)明是一個(gè)平面內(nèi)的兩條訂交直線與另一個(gè)平面平行.【訓(xùn)練3】(2016·山東卷)在以下列圖的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB.已知AB＝BC，AE＝EC.求證：AC⊥FB；已知G，H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證：GH∥平面ABC.證明(1)因?yàn)镋F∥DB，因此EF與DB確定平面BDEF，圖①如圖①，連接DE.因?yàn)锳E＝EC，D為AC的中點(diǎn)，因此DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，因此AC⊥平面BDEF.因?yàn)镕B?平面BDEF，因此AC⊥FB.如圖②，設(shè)FC的中點(diǎn)為I，連接GI，HI.圖②在△CEF中，因?yàn)镚是CE的中點(diǎn)，因此GI∥EF.又EF∥DB，因此GI∥DB.在△CFB中，因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，因此HI∥BC.又HI∩GI＝I，因此平面GHI∥平面ABC，因?yàn)镚H?平面GHI，因此GH∥平面ABC.[思想方法]線線、線面、面面平行間的轉(zhuǎn)變其中線面平行是中心，線線平行是基礎(chǔ)，要注意它們