經(jīng)管類(lèi)高數(shù)下課件7.1 空間直角坐標(biāo)系

§7.1空間直角坐標(biāo)系

今后,我們將介紹三維空間以及三維空間中直線、曲線、平面、曲面的解析關(guān)系.對(duì)于二維向量空間,我們已很熟悉,本章著重介紹三維向量空間中的一些基本概念.一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)對(duì)于二維空間,我們引入相應(yīng)直角坐標(biāo)系的途徑是通過(guò)平面一定點(diǎn)作兩條互相垂直的數(shù)軸而成.對(duì)于三維空間,我們可類(lèi)似地建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系,

即過(guò)空間中一定點(diǎn)O,

作三條互相垂直的數(shù)軸,

它們以O(shè)為公共原點(diǎn)且具有相同的單位長(zhǎng)度,這三條數(shù)軸分別稱(chēng)為x軸,

y軸,

z軸,

都統(tǒng)稱(chēng)為數(shù)軸.數(shù)軸正向不同,可建立不同的直角坐標(biāo)系.如0xyz0xyz0xzy0xyz為統(tǒng)一起見(jiàn),我們用右手法則確定其正向.OxyzⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限zox面Ⅰ主要名稱(chēng)與記號(hào):三個(gè)坐標(biāo)平面將空間分為八個(gè)部分,IVVIVVII0xyVIIIIIIIIIz?

點(diǎn)在各卦限中坐標(biāo)的符號(hào)：III(,+,+)(+,+,+)III(,,+)IV(+,,+)V(+,+,)VI(,+,)VII(,,)VIII(+,,)坐標(biāo)軸坐標(biāo)面向量在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P,Q,R

;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)M特殊點(diǎn)的坐標(biāo)有序數(shù)組(稱(chēng)為點(diǎn)

M的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);空間點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的表示法點(diǎn)M

的坐標(biāo)點(diǎn)M(x,y,z)記為M(x,y,z)x,y,z稱(chēng)為M的坐標(biāo).橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)豎坐標(biāo)三維向量與空間點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.點(diǎn)M

一一對(duì)應(yīng)(x,y,z)始點(diǎn)終點(diǎn)OM二、空間兩點(diǎn)間的距離現(xiàn)求M1,M2兩點(diǎn)間的距離.設(shè)M1

(x1,y1,z1),M2

(x2,y2,z2),為空間兩點(diǎn),連M1,M2得向量M1M2,由圖知,為以M1QNP為底,M1R為高的長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的長(zhǎng)度.POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N由勾股定理POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N特別地：（1）點(diǎn)M(x,y,z)到坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)的距離為：（2）點(diǎn)M1(x1,y1,z1)到M2(x2,y2,z2)的距離為0的充要條件是M1和M2兩點(diǎn)重合；（3）例1已知三角形的頂點(diǎn)為A(1,2,3)，B(7,10,3)和C(－1,3,1)試證明A角為鈍角。證明:可見(jiàn)由余弦定理，就可知A角為鈍角。

例2求在z軸上與兩點(diǎn)A(4,1,7)和B(3,5,2)

等距的點(diǎn).解:

設(shè)所求點(diǎn)為(0,0,z),則(40)2=3444zz2

,18z=28,(10)2

(7z)2=(30)2(50)2(2z)2174914zz2例3試在xoy平面上求一點(diǎn)，使它到A(1,－1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各點(diǎn)的距離相等

解:

設(shè)所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,

y,

0),

則又由題意知：

|MA|=|MB|=MC|

，即：

化簡(jiǎn)可得

∴所求的點(diǎn)為M（16，－5，0）水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡．曲面方程的定義：曲面的實(shí)例：三、曲面方程的概念以下給出幾例常見(jiàn)的曲面.解根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為解根據(jù)題意有所求方程為例3

方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．解以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程．空間曲線的一般方程空間曲線C可看作空間兩曲面的交線：注意：空間曲線的曲線方程不是唯一的?？臻g