6.2.4組合數(shù) 教學(xué)設(shè)計(jì)-2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

6.2.4組合數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析本節(jié)課是選擇性必修第三冊(cè)(人教A版)6.2.4《組合數(shù)》第一課時(shí)。它在整個(gè)章節(jié)中起承上啟下重要作用。既與前面的排列知識(shí)聯(lián)系；又是后面學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理，研究二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)及求等可能事件概率的基礎(chǔ)。本節(jié)課從實(shí)例入手，學(xué)生在探究中類(lèi)比排列知識(shí)來(lái)學(xué)習(xí)組合數(shù)的定義、組合數(shù)計(jì)算公式，在具體情境中體會(huì)排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系；學(xué)生體會(huì)類(lèi)比思想，體會(huì)從特殊到一般等重要數(shù)學(xué)思想；在應(yīng)用中感悟數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活的課程理念。二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解組合數(shù)的概念及公式；2、運(yùn)用組合數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題；3、體會(huì)類(lèi)比的思想方法，從特殊到一般的推理方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)計(jì)算素養(yǎng)。三、學(xué)情分析大多數(shù)學(xué)生能理解排列數(shù)的概念，能比較熟練地應(yīng)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。一部分學(xué)生能遵循先特殊后一般、先取后排、先分類(lèi)后分步的原則，解決排列應(yīng)用問(wèn)題。從學(xué)生現(xiàn)有能力看，具備了一定的分析、思考、探究、計(jì)算、數(shù)學(xué)表達(dá)的能力。四、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：組合數(shù)公式難點(diǎn)：組合數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用五、教學(xué)過(guò)程（一）知識(shí)回顧1、排列的定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2、組合的定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.提問(wèn)：排列與組合的定義有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？3、排列數(shù)的概念與公式：我們把從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)An公式為A【設(shè)計(jì)意圖】：幫助學(xué)生回顧排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別，有助于學(xué)生在本節(jié)課中借助兩者之間的關(guān)系，由已知的排列數(shù)的概念和公式，類(lèi)比和推導(dǎo)出組合數(shù)的概念和公式.（二）學(xué)習(xí)新知（1）類(lèi)比分析，引出概念；1、類(lèi)比排列數(shù)，我們引進(jìn)組合數(shù)概念：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Cnm（或2、舉例說(shuō)明：從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)表示為C32，從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)表示為從組合數(shù)的概念得知，組合數(shù)是一個(gè)正整數(shù)，那么C32與【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類(lèi)比排列數(shù)的的概念，引導(dǎo)學(xué)生得出組合數(shù)的概念，舉例說(shuō)明幫助學(xué)生熟悉概念，通過(guò)概念的表述挖掘組合數(shù)的本質(zhì)，為后面推導(dǎo)組合數(shù)的公式做準(zhǔn)備.（2）問(wèn)題探究，導(dǎo)出公式；1、組合與排列有聯(lián)系，能否利用這種關(guān)系，由排列數(shù)Anm來(lái)求組合數(shù)在組合的概念一節(jié)中我們知道，元素相同順序也相同的排列是相同的，而兩個(gè)組合只要元素相同即認(rèn)為是相同的，并且得出了從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)C32、請(qǐng)大家思考一下，從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)C4①假設(shè)這四個(gè)元素分別為a,b,c,d，②從中取出3個(gè)元素的排列數(shù)A4③以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)，將這24個(gè)排列分組，一共有4組，所以C43、觀察圖形，發(fā)現(xiàn)求“從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)A4①?gòu)?個(gè)元素中取出3個(gè)元素作為一組，共有C4②將取出的3個(gè)元素作全排列，共有A3根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理，有A4回顧求解過(guò)程，建立起排列數(shù)與組合數(shù)的聯(lián)系，換個(gè)角度去理解“從4個(gè)不同元數(shù)中取出3個(gè)元數(shù)的排列數(shù)為A4第一：取出元素，則共有C43種不同的組合，第二步：對(duì)取出的元素進(jìn)行排列，每一種組合內(nèi)有A33種不同的排列.根據(jù)分布乘法的計(jì)數(shù)原理建立起排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系C4、從特殊到一般進(jìn)行推廣求“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素排列數(shù)An①?gòu)膎個(gè)元素中取出m個(gè)元素作為一組，共有Cn②將取出的m個(gè)元素作全排列，共有Am根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理，有An因此Cnm=Anm根據(jù)Anm=規(guī)定C其中第一個(gè)公式叫做乘積式公式，第二個(gè)公式叫做階乘式公式，在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)使用哪種公式呢？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別得出具體實(shí)例的組合數(shù)的值，再回顧求解過(guò)程，挖掘兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立起排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，最后從特殊到一般對(duì)結(jié)論進(jìn)行推廣。在此過(guò)程中學(xué)生們通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)入的方式，一點(diǎn)點(diǎn)深入探究，從熟悉的舊知識(shí)到新知識(shí)之間建立起紐帶，并在此過(guò)程中體會(huì)到從特殊到一般的推理方法，為學(xué)生提高數(shù)學(xué)邏輯素養(yǎng)提供幫助。（3）應(yīng)用舉例，解決問(wèn)題；例1計(jì)算：（1）C103（2）C107解：根據(jù)組合數(shù)計(jì)算公式可得：1、思考：觀察例6中（1）和（2），（3）和（4）的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？在例題中，我們發(fā)現(xiàn)與，與都是相同的數(shù)，并且我們給出另外的三組組合數(shù)，可以通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)其結(jié)果也是相同，這里面有什么規(guī)律呢？我們可以看出它們的每一組的兩個(gè)數(shù)上標(biāo)之和等于下標(biāo)，那么，這一結(jié)論是否可以推廣到一般情況呢？引出組合數(shù)性質(zhì)一：Cn2、拓展內(nèi)容一，組合數(shù)性質(zhì)1.通過(guò)概念可以知道Cnm表式從n個(gè)不同元素中取出的m個(gè)元素的組合數(shù)；3、對(duì)猜想的結(jié)果進(jìn)行證明，通過(guò)組合數(shù)的階乘式公式證明該結(jié)論成立.4、結(jié)論應(yīng)用，思考：繼續(xù)回到例題中，第一個(gè)小題和第二個(gè)小題的計(jì)算過(guò)程采用了不同的組合數(shù)公式，覺(jué)得哪一種更好用呢？的上標(biāo)比較小，采用了乘積式公式，的上標(biāo)比較大，采用了階乘式公式，并且的計(jì)算過(guò)程最后也化簡(jiǎn)成了乘積式，所以為了簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，對(duì)于上標(biāo)比較大的組合數(shù)，可以利用性質(zhì)1，將其轉(zhuǎn)化為上標(biāo)比較小的組合數(shù)再進(jìn)行計(jì)算.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)具體實(shí)例，體會(huì)計(jì)算過(guò)程，感悟公式的特點(diǎn)，引出組合數(shù)的性質(zhì)，并通過(guò)從特殊到一般的方法對(duì)性質(zhì)進(jìn)行解釋?zhuān)詈笸ㄟ^(guò)公式給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，學(xué)生在此過(guò)程中學(xué)會(huì)從特殊到一般的推理方法，并體會(huì)如何對(duì)推理結(jié)果進(jìn)行證明.例2式子可表示為()A.B.C.D.分析：1）式子中分母是100！2）分子是101個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，最大的為n＋100，最小的為n.根據(jù)公式：可得提示：對(duì)公式的理解要到位：①分母的階乘與分子中乘式的個(gè)數(shù)要統(tǒng)一；②分子最大的數(shù)為組合數(shù)的下標(biāo).【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)組合數(shù)公式的理解很多同學(xué)容易忽略分子和分母之間的關(guān)系，從而導(dǎo)致公式的逆運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，此題在于幫助學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，找出組合數(shù)，有利于學(xué)生后續(xù)更好地運(yùn)用組合數(shù).例3：在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？1、思考：（1）這是一個(gè)排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？（2）如何抽取才能使得抽出的3件產(chǎn)品恰好有1件是次品？（3）抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是次品，可以包括那些情況？2、解答過(guò)程：解：（1）所有的不同抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的組合數(shù)，所以抽法種數(shù)為（2）從2件次品中抽出1件的抽法有種，從98件合格品中抽出2件的抽法有種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法種數(shù)為（3）方法1，從100件產(chǎn)品抽出3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況，因此根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)為.方法二，從100件產(chǎn)品中抽出三件應(yīng)該包含了三種情況：有零件次品、有一件次品、有兩件次品，至少有一件是次品包含如圖所示的兩種情況，因此，我們可以使用間接法，至少有1件為次品的對(duì)立面是沒(méi)有次品,所以可以通過(guò)從100件產(chǎn)品中抽出三件的抽法種數(shù)減去三件都是合格品的抽法種數(shù)來(lái)得到3、反思1：能否將第（2）問(wèn)中的改為呢？答案是不可以，因?yàn)殡m然它們的數(shù)值是一樣的，但是意義不相同，可以認(rèn)為是從2件產(chǎn)品中抽出1件，再對(duì)抽出這件產(chǎn)品進(jìn)行排序，相當(dāng)于.反思2：我們可以觀察發(fā)現(xiàn)，第（3）問(wèn)中這兩種方法的結(jié)果一樣，意味著計(jì)算過(guò)程中列式是相等的，這里面包含了什么結(jié)論呢？引出組合數(shù)性質(zhì)24、拓展內(nèi)容2，組合數(shù)性質(zhì)2類(lèi)比組合數(shù)性質(zhì)1的解釋?zhuān)梅诸?lèi)加法計(jì)數(shù)原理，說(shuō)明組合數(shù)的性質(zhì)2.我們可以假設(shè)一批產(chǎn)品中有n件正品和一件次品，共n+1件產(chǎn)品，等式左側(cè)代表從這n+1件產(chǎn)品中取出m件產(chǎn)品的組合數(shù)，則它包含了取出的產(chǎn)品沒(méi)有次品和有次品兩種情況，對(duì)于沒(méi)有次品的情況，我們可以采?。合葟膎件正品中選取m件產(chǎn)品，再?gòu)拇纹分羞x取0件；對(duì)于有次品的情況，我們可以采取先從n件正品中選取m-1件正品，再?gòu)拇纹分羞x擇一件次品，所以，請(qǐng)大家用所學(xué)知識(shí)證明這個(gè)結(jié)論.證明：根據(jù)組合數(shù)的公式，左邊右邊所以左邊等于右邊，證畢.【設(shè)計(jì)意圖】本例題為一個(gè)實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題，學(xué)生在此過(guò)程中需要用到組合的概念與組合數(shù)的公式，并且需要對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)和分步完成，對(duì)于不同的問(wèn)題到底是采取分類(lèi)策略還是分步策略需要學(xué)生體會(huì)兩種不同的計(jì)數(shù)方法的區(qū)別.最后通過(guò)此例引出組合數(shù)性質(zhì)2的猜想并對(duì)公式進(jìn)行證明，這一部分內(nèi)容位學(xué)生后期學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理做鋪墊.3、反思總結(jié)：（1）從2件次品中抽出1件的抽法數(shù)可以用A2（2）在例6中，我們知道了組合數(shù)性質(zhì)一，能否模仿組合數(shù)性質(zhì)一的解釋?zhuān)f(shuō)明下面的組合數(shù)性質(zhì)呢？Cn+1（三）、回顧總結(jié)1、組合數(shù)的概念與計(jì)算公式1）從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，記為.2）組合數(shù)的計(jì)算公式有兩種：，3）巧用組合數(shù)的性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算.2、運(yùn)用組合數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題1）分析所求問(wèn)題是一個(gè)組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題;2）帶有“含”與“不含”問(wèn)題，其解法常用直