6.2.3組合 教學(xué)設(shè)計-2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

6.2.3組合教學(xué)設(shè)計一、教材分析本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第六章《計數(shù)原理》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)組合.排列與組合是在學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理之后，由于排列、組合及二項式定理的研究都是以兩個計數(shù)原理為基礎(chǔ)，同時排列和組合又能進一步簡化和優(yōu)化計數(shù)問題。教學(xué)的重點是組合的理解，利用計數(shù)原理及排列數(shù)公式推導(dǎo)組合數(shù)公式，注意區(qū)分排列與組合的區(qū)別，難點是運用組合解決實際問題.二、教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.通過具體實例，抽象概括出組合的定義，理解組合的概念；2.類比排列的定義，掌握排列和組合的區(qū)別與聯(lián)系；3.能夠利用定義判斷一個具體的計數(shù)問題是否為組合問題.4.了解排列數(shù)與組合的個數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.1.數(shù)學(xué)抽象：組合的概念2.邏輯推理：組合數(shù)公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)建模：運用組合解決計數(shù)問題三、教學(xué)重點與難點重點：組合的概念并運用組合的定義解決實際問題難點：組合與排列之間的聯(lián)系與區(qū)別四、學(xué)情分析1、學(xué)生已具備的能力：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理，排列的定義與排列數(shù)，能夠運用他們解決一些計數(shù)問題，具備一定的基礎(chǔ)；2、學(xué)生面臨的問題：對于一些實際問題，缺乏一定的分析能力，不能很好的辨別排列和組合，對于較復(fù)雜的實際問題不會轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)建模能力有待提高。五、教學(xué)過程（一）概念引入排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出排列數(shù)：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作【設(shè)計意圖】：以舊引新，由復(fù)習(xí)排列與排列數(shù)的定義，為學(xué)習(xí)組合的定義作準備問題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？根據(jù)排列定義，先選出參加比賽的兩位同學(xué)，再分配參加比賽順序，則排列數(shù)為A3【設(shè)計意圖】由具體的實際問題入手，加深對排列定義的理解。方法一側(cè)重時間上的分步計數(shù)原理，方法二側(cè)重先選后排計數(shù)原理，為后面組合數(shù)與排列數(shù)之間的聯(lián)系打基礎(chǔ)。問題2從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項活動，有多少種不同選法？探究：你能說說以上兩個問題有什么區(qū)別和聯(lián)系嗎？分析：在甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)，只考慮將選出的2名同學(xué)作為一組，不考慮他們的順序則有3種情況：甲乙，甲丙，乙丙將具體問題背景舍去，上述問題可以概括為：從3個不同元素中取出2個元素作為一組，一共有多少個不同的組？【設(shè)計意圖】通過具體問題，分析、比較、歸納出組合的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。（二）概念形成組合：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n排列:一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出思考：你能說說排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別嗎？聯(lián)系：二者都是從n個不同的元素中取m(m≤區(qū)別：排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序．【設(shè)計意圖】對比排列和組合的定義，分析總結(jié)排列和組合的聯(lián)系與區(qū)別。（三）概念辨析【設(shè)計意圖】從兩個相似的具體問題出發(fā)，老師詳細的分析解題思路，讓學(xué)生更加具體的了解到排列與組合之間的區(qū)別。思考校門口停放著9輛共享自行車，除顏色外完全相同，其中黃色、紅色和綠色的各3輛.下面的問題是排列問題，還是組合問題？（1）從中選3輛，有多少種不同的方法？（2）從中選3輛給3位同學(xué)，有多少種不同的方法？分析在問題（1）中，只要從9輛自行車中選出3輛即可，選出的三輛車不存在排列順序，所以是組合問題；分別有3黃，3紅，3綠，2黃1紅，2黃1綠，2紅1綠，2紅1黃，2綠1黃，2綠1紅，1黃1紅1綠，共10種不同的方法。分析而在問題（2）中，要將問題（1）中選出的3輛車分給三位同學(xué)，由于三位同學(xué)不同，導(dǎo)致每位同學(xué)每次分配的車不同.所以本題與元素的排列順序有關(guān)，所以是排列問題?！驹O(shè)計意圖】從具體問題出發(fā)，讓同學(xué)加深對組合概念的理解，加強排列問題和組合問題之間的辨析。強調(diào)排列問題與所選元素的排列順序有關(guān)，而組合問題與所選元素的排列順序無關(guān)。變式判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)把5本不同的書分給5個學(xué)生，每人一本；(2)從7本不同的書中取出5本給某個同學(xué)；(3)10個人相互寫一封信，共寫了幾封信；(4)10個人互相通一次電話，共通了幾次電話．解：(1)不妨讓5位學(xué)生排成一隊領(lǐng)書，由于5本書是不同，所以每位同學(xué)每次拿到的書也是不同的，故有順序之分，它是排列問題．(2)從7本不同的書中，取出5本給小明同學(xué)，在每種取法中小明同學(xué)拿到的5本書之間并沒有順序，故它是組合問題．(3)因為任意兩個人互相寫一封信既需要寫信人又需要收信人，所以兩人互相寫一封信跟寫信人與收信人的順序有關(guān)，故本題為排列問題．(4)因為任意兩個人互通一次電話無需區(qū)分撥電話的人與接電話的人，所以，互通電話一次的兩個人沒有順序之分，故本題是組合問題．【設(shè)計意圖】再從幾個實際問題出發(fā)，讓同學(xué)辨析排列問題和組合問題。（四）概念鞏固例題5平面內(nèi)有A,B,C,D共4個點.（1）以其中2個點為端點的有向線段共有多少條？（2）以其中2個點為端點的線段共有多少條？解（1）一條有向線段的兩個端點要分起點和終點，以平面內(nèi)4個點中的2個為端點的有向線段條數(shù)，就是從4個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即有向線段的條數(shù)為:這12條有向線段分別為：A4這12條有向線段分別為：AB,（2）由于不考慮兩個端點的順序，因此將（1）中端點相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是以平面內(nèi)4個點中的2個點為端點的線段的條數(shù).共有如下6條：AB，AC，AD，BC，BD，CD.【設(shè)計意圖】區(qū)分有向線段和線段兩個概念，引導(dǎo)學(xué)生通過區(qū)分4個點中選兩個構(gòu)成的有向線段其實是排列問題，構(gòu)成的線段則是組合問題，再用排列和組合的定義來解決具體的數(shù)學(xué)問題。思考利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同”為分類標(biāo)準，你能建立例題5（1）中排列和（2）中組合之間的對應(yīng)關(guān)系嗎？分析：4個不同元素中任取2個元素構(gòu)成的排列數(shù)也可以看成是：第一步，4個元素中選出2個元素共有6種不同的選法；第二步，對選出的2個元素進行全排列，有A由分步乘法計數(shù)原理，共有6×A【設(shè)計意圖】從分步原理出發(fā)，讓學(xué)生體會組合個數(shù)與排列數(shù)之間聯(lián)系，為下一節(jié)組合數(shù)公式的推導(dǎo)打下基礎(chǔ)。（五）鞏固練習(xí)練習(xí)1從1,2,3,4,這4個數(shù)字中，（1）每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？（2）每次任取3個相加，共可得到多少個不相等的和？解（1）由于三位數(shù)中的3個數(shù)字之間有順序，所以是排列問題.即本題是求在4個不同元素中取3個元素的排列數(shù)：A（2）本題中需要將選出的3個數(shù)字相加，根據(jù)加法的交換律，所以三個數(shù)字之間沒有順序，所以是組合問題.即本題是求在4個不同元素中取3個元素的組合的個數(shù)：4.思考那4個不同元素中任取3個元素構(gòu)成的排列數(shù)與構(gòu)成的組合的個數(shù)有什么關(guān)系？分析：4個不同元素中任取3個元素構(gòu)成的排列數(shù)也可以看成是：第一步，在4個元素中選出3個元素共有4種不同的選法；第二步，對選出的3個元素進行全排列，有A由分步乘法計數(shù)原理，共有4×A【設(shè)計意圖】再一次通過一個具體的實例，加深對排列組合定義的理解；并且再次通過對排列數(shù)與組合個數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系的分析。得到具體問題背景下排列數(shù)與組合的個數(shù)之間的關(guān)系。思考進一步地，你能建立在n個不同元素中任取m個元素構(gòu)成的排列數(shù)與構(gòu)成的組合的個數(shù)之間的關(guān)系嗎？在n個不同元素中任取m個元素構(gòu)成的排列數(shù)可以看成是：第一步，在n個元素中選出m個元素，即為組合，假設(shè)共有x種方法；第二步，對選出的m個元素進行全排列，故各有Am由分步乘法計數(shù)原理，共有x?A又因為，根據(jù)排列數(shù)定義知n個元素中取m個元素構(gòu)成的排列數(shù)為An綜上，排列數(shù)與組合個數(shù)的數(shù)量關(guān)系為：An【設(shè)計意圖】通過以上兩個具體的例子，進一步抽象概括出排列數(shù)與組合的個數(shù)之間的關(guān)系，解決了如何利用在n個不同元素中任取m個元素構(gòu)成的排列數(shù)得到構(gòu)成的組合的個數(shù)，為下一節(jié)組合數(shù)公式的推導(dǎo)打下堅實的基礎(chǔ)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。（六）課堂小結(jié)1.組合的定義：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n2.排列與組合的聯(lián)系：二者都是從n個不同的元素中取m個元素.排列與組合的區(qū)別：排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序.3.排列數(shù)與組合個數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：n個不同元素中任取m個元素構(gòu)成的組合個數(shù)記為x，n個不同元素中任取m個元素構(gòu)成的排列數(shù)為An則有：A【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力，同時