第三章 一元函數(shù)的積分學(xué)

第三章一元函數(shù)的積分學(xué)第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日要求1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法．2．了解定積分的概念和基本性質(zhì)，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法．3．會利用定積分計(jì)算平面圖形的面積．旋轉(zhuǎn)體的體積和函數(shù)的平均值，會利用定積分求解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題．4．了解反常積分的概念，會計(jì)算反常積分．第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日§3.1不定積分內(nèi)容重點(diǎn)：1.不定積分、原函數(shù)的定義2.不定積分的計(jì)算(主要是換元法和分部積分法)第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日例定義：1、原函數(shù)與不定積分的概念第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).注意：(1)原函數(shù)不唯一;(2)原函數(shù)之間的關(guān)系:若和都是的原函數(shù)，第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日基本積分表是常數(shù));說明：簡寫為2、基本積分表第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）3、不定積分的性質(zhì)第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日湊微分法說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為4、不定積分的計(jì)算★即第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日則有換元公式定理2一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令換元法★

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日基本積分表第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計(jì)算.分部積分法★第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.若分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,解出積分后加C)第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日§3.2定積分內(nèi)容重點(diǎn)：1.定積分的定義3.定積分的計(jì)算(主要是換元法和分部積分法)4.定積分的性質(zhì)及積分中值定理5.定積分在幾何（求面積及旋轉(zhuǎn)體的體積）上的應(yīng)用6.廣義積分的收斂與發(fā)散，廣義積分的計(jì)算2.變上限積分及其導(dǎo)數(shù)第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日1、定積分定義定義第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日注意：第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理1定理2存在定理★第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值定積分的幾何意義★第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日幾何意義：第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日2、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日6.若在[a,b]上則推論1.若在[a,b]上則推論2.7.設(shè)則8.積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日考察定積分記積分上限函數(shù)3、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)補(bǔ)充★第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理3（微積分基本公式）4、牛頓—萊布尼茨公式第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理5、定積分的換元法和分部積分法設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)★定積分的換元公式第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）（2）第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日定積分的分部積分公式推導(dǎo)定積分的分部積分法★第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日★第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日6、廣義積分★無窮限的廣義積分第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日則定義(c為任意取定的常數(shù))只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散.無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明:上述定義中若出現(xiàn)它表明該反常積分發(fā)散.第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日引入記號則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日

無界函數(shù)的反常積分★第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日定義中C為瑕點(diǎn)，以上積分稱為瑕積分.第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日注意:若瑕點(diǎn)的計(jì)算表達(dá)式:則也有類似牛–萊公式的若

b為瑕點(diǎn),則若a為瑕點(diǎn),則若a,b都為瑕點(diǎn),則則可相消嗎?第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日微元法7.定積分的應(yīng)用★第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日這個方法通常叫做微元法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積。第四十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)系情形★第四十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺旋轉(zhuǎn)體的體積★第四十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為