第三節(jié)直線的投影

第三節(jié)直線的投影2023/3/291第一頁，共七十九頁，2022年，8月28日第三章直線的投影下一頁返回上一頁§3-1直線的投影一、直線投影圖的畫法

直線的空間位置是由線上任意兩點決定的。畫直線的投影時，可根據“直線的投影一般還是直線”的性質，在直線上任取兩點，畫出該點的投影后，再將其同面投影連接起來即為直線的投影。

同面投影：幾何形體在同一投影面上的投影。比較A、B兩點坐標值，可知AB的空間位置。第二頁，共七十九頁，2022年，8月28日HVWXZYABaba′b′b〞a〞直線的三面投影b,,a,,abb,a,xzOyWyH作圖：1.作出直線上兩點的投影2.用直線分別連接其各同面投影。第三頁，共七十九頁，2022年，8月28日Ｐ二、直線相對于一個投影面的的投影特性ＡＡＡＢＢＢaaabb(b)直線的投影特性1．AB∥P直線實形性2．AB∠P直線類似性3．AB⊥P直線重影性或積聚性第四頁，共七十九頁，2022年，8月28日

三、直線在三投影面體系中的投影特性直線對投影面的相對位置可分為三類（1）不平行于任何一個投影面的直線，稱為一般位置直線（2）平行于一個投影面的直線，稱為投影面平行線（3）垂直于一個投影面（平行于另外兩個投影面）的直線稱為投影面垂直線

(2)、(3)為特殊位置直線，下面分別予以討論。

第五頁，共七十九頁，2022年，8月28日

投影面平行線

正平線//Ｖ面水平線//Ｈ面?zhèn)绕骄€//Ｗ面

平行于一個投影面傾斜于另外兩個投影面。平行線分三種：第六頁，共七十九頁，2022年，8月28日

水平線（//Ｈ面、傾斜Ｖ和Ｗ面）XZYOaababb

Xa

b

ab

baOzYHYWAB投影特性：1、正面和側面投影比實長短，abOX;abOYW2、ab=AB反映實長，傾斜于OX軸，反映、

角。第七頁，共七十九頁，2022年，8月28日XZYO正平線（//Ｖ面、傾斜Ｈ和Ｗ面）aababbXabab

baOZYHYWAB

投影特性：1、水平和側面投影比實長短，abOX;abOZ2、ab=AB反映實長,傾斜于OX軸，反映、角第八頁，共七十九頁，2022年，8月28日XZYO側平線（//Ｗ面、傾斜Ｖ和Ｈ面）XZa

b

bbaOYHYWaaa

b

a

bbAB投影特性：1、正面和水平投影比實長短，abOZ;abOYH2、ab

=AB反映實長,傾斜于OZ軸，反映、角第九頁，共七十九頁，2022年，8月28日投影面平行線的投影特性（1）直線在所平行的投影面上的投影表達實長（2）其它投影平行于相應的投影軸（3）表達實長的投影與投影軸所夾的角等于空間直線對相應投影面的傾角。第十頁，共七十九頁，2022年，8月28日投影面垂直線側垂線⊥Ｗ面正垂線⊥Ｖ面鉛垂線⊥Ｈ面垂直于一個投影面平行于另外兩個投影面。垂直線分三種：第十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日OXZYb

a(b)a

abZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1、水平投影ab積聚成一點2、ab//OZ;ab//

OZ；

abOX;ab

OY

3、ab=ab=AB反映實長鉛垂線（Ｈ面、//Ｖ面、//Ｗ面）AB第十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日正垂線（Ｖ面、//Ｈ面、//Ｗ面）OXZYbababa投影特性：1、正面投影ab積聚成一點。2、ab//OY;ab//OY；

ab

OX;ab

OZ

3、ab=ab=AB反映實長。ABzXab

baOYHYWab第十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日側垂線（Ｗ面、//Ｖ面、//Ｈ面）OXZYAB投影特性：1、側面投影ab積聚成一點2、ab//

OX

;ab//

OX；ab

OYH;ab

OZ

3、ab=ab=AB反映實長。baababZXabbaOYHYWab第十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日投影面垂直線的投影特性：

（1）直線所垂直的投影面上的投影積聚一點，有積聚性

（2）其它兩面投影反映實長，且垂直于相應的投影軸下一頁返回上一頁第十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日從屬于V面的直線ZXabaOYHYWabbOXZYABbbabaa第十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日從屬于V投影面的鉛垂線OXZYABba(b)aabZYWbXaba(b)OYHa第十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日

從屬于OX軸的直線ZXabaOYHYWa(b)bOOXZYABbba(b)aa第十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日一般位置直線傾斜于三個投影面的直線。直線與它的水平投影、正面投影、側面投影的夾角，分別稱為該直線對投影面Ｈ、Ｖ、Ｗ的傾角，用、、表示。第十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日OXZY一般位置直線的投影特性ABbbabaa投影特性：1、ab、ab、ab均小于實長2、ab、ab、ab均傾斜于投影軸

3、不反映

、

、

實角與三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。ZXabaOYYabb第二十頁，共七十九頁，2022年，8月28日

直角三角形法求解實長、傾角。1求直線的實長及對水平投影面的夾角角2求直線的實長及對正面投影面的夾角角3求直線的實長及對側面投影面的夾角角

§3-2

一般位置線段的實長

及其對投影面的傾角第二十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日|zB-zA

|ABABbbaaboXO1求直線的實長及對水平投影面的夾角角XaabbABab|zB-zA|AB|zB-zA|ab|Z第二十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日ABbbaaCXO2求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB||YA-YB|AB|YA-YB|第二十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日XZYO3求直線的實長及對側面投影面的夾角

角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|第二十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日直線實長直線實長直線實長α水平投影長△Z正面投影長側面投影長△Y△Xβγ距離差實長投影傾角:H投影,Z，實長:V投影,Y，實長:W投影,X，實長第二十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日用直角三角形法求線段的實長XOaba′b′b0b01Yb-YaZb-ZaZb-ZaαβAB實長AB實長Yb-YaXOaba′b′abAB實長α第二十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日例：已知EF=30，試完成如圖所示的e’f’

下一頁返回上一頁Xee'fα△Zf'第二十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日例已知正平線AB＝30mm、

＝30°、AB距Ｖ面20mm、A點在B點的右上方，試作該直線的兩面投影。XO30°b′a′3020ba第二十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日試用直角三角形法確定直線AB的實長及對投影面V的傾角。例題ababXOAB第二十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日投影長度a'b'Y實長投影長度a'b'實長例題

已知線段AB＝30毫米及其投影ab和a，試求出ab。baab第三十頁，共七十九頁，2022年，8月28日例題已知線段的實長AB，求它的水平投影。a|zB-zA|abab|yA-yB|ABABab|zB-zA|bXabABa第三十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日§3-3直線上點的投影特性和直線的跡點ＰＡＢＣabc１２１２一、直線上點的投影特性

點在直線上，點的各個投影必在該直線的同面投影上，并且符合點的投影特性。直線上的點分割直線之比，在其投影后保持不變。

利用上述性質，可以在直線上求點和分割線段成定比。ABbbaaXOccCc第三十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日HaZVWXYABba′b′b〞a〞Cc′c〞cXYHYWOZa′b′abb〞a〞cc′c〞第三十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日10b,aefbf,e,a,例1E點在AB直線上F點不在AB直線上判斷E、F點是不是在直線AB上。第三十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日例2已知點C在AB上，求c’，c’’。XYHYWOZa′b′abb〞a〞cc′c〞第三十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日

例3求點C使AC：CB=1：4如圖：解：因AC：CB=1：4根據直線上點的投影特性可得ac：cb=a’c’：c’b’=1：4這樣只要將aba’b’分成5等分后取一份即可求得c，c’。15下一頁返回上一頁Xb’a’bacc’B0第三十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日例4判斷點D是否在直線AB上

若D在AB上，那么應有a’d’：d’b’=ad：db因為a’B1=aba’D1=ad，D1d’不平行B1b’所以D不在AB上。下一頁返回上一頁XB1da’bab’d’D1第三十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日試判斷K點是否在直線EF上。feefkkXOYZVfefeefEFKkkkXO直接判斷第三十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日例題5已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV第三十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日已知K點在直線AB上，試求作K點的H面投影。ababXOk'k例6第四十頁，共七十九頁，2022年，8月28日二、直線的跡點

直線和投影面的交點叫跡點。直線和水平面的交點叫水平跡點，通常用M(m，m‘，m”)表示和正面的交點叫正面跡點，

N(n，n`，n”)和側面的交點叫側面跡點。

L(l，l`，l”)

在兩投影面系中的直線，最多只有兩個跡點。跡點是直線和投影面的共有點，它的投影同時具有直線上的點和投影面內的點的投影特性。根據這些特點可以求跡點的投影。第四十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日ＶHa′m′b′XabM(m)ABnN(n′)Xaa′m′bM(m)nb′N(n′)第四十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日

例4如圖所示、求作直線AB的跡點M，N的投影圖解：若M為水平跡點，由于M在H面內，m必與M重合；ZM=0m’必在X軸上，又因為M在AB上，m’必在a’b’或其延長線上，m必在ab或其延長線上。同理N為V面內的點n’表達N的位置，且yN=0n必是X軸與ab或其延長線的交點。作圖方法是：（1）將a’b’或ab延長與X軸交于m’或n（2）在ab或a’b’上求出m或n’下一頁返回上一頁Xm′nN(n′)aa′bb′M(m)第四十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日§3-4兩直線的相對位置

一、兩直線平行二、兩直線相交三、兩直線交叉第四十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日兩直線的相對位置Va'b'd'c'a'a'b'b'd'c'c'e'(f')AAABBBDCCCDEF平行兩直線相交兩直線交叉兩直線第四十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日XOV一兩直線平行5規(guī)則：若空間兩直線平行，則它們的各同面投影平行。abcdbacdABDCbadcbacdabcd同向、同比例第四十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日6不平行判斷空間兩直線是否平行。badcbacdXO平行cdcdghhg第四十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日XOYZVfefeefCDdccddc7EF第四十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日基本作圖8過已知點A作直線AB平行于已知直線CD。bacdcdab第四十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk二相交兩直線

交點K的三面投影符合點的投影規(guī)律。第五十頁，共七十九頁，2022年，8月28日10dcaba'b'c'd'c''d''b''a''k'kk''投影圖利用投影判兩斷直線是否相交？e'f'efg'h'ghe'f'第五十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日基本作圖過已知點作直線與已知直線相交。11答案有多少個？關鍵問題是什么？交點。無數個。第五十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日c'd'cd1220mmb'k'a'答案有多少個？無數個。abk舉例

如圖所示，作一條與V面相距20mm并與已知直線CD相交的直線AB。x第五十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日dd'kk'aa'bb'cc'??例：過C點作水平線CD與AB相交。先作CD的正面投影第五十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日三交叉兩直線空間既不平行又不相交的二直線為交叉直線。bXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21交叉兩直線的同面投影可能相交，但不符合空間點的投影規(guī)律。第五十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日aa'bb'cc'dd'cdcdghhg第五十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日XOYZVfefeefCDdccddc7EF第五十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日判斷交叉兩直線重影點的可見性XOBDACbbaaccdd(3)41(2)43341212判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。

前遮后、上遮下、左遮右上遮下前遮后第五十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日aa'bb'cc'dd'

交叉兩直線投影的交點并不是空間兩直線真正的交點，而是兩直線上相應點投影的重影點。

11'22'33'44'()()第五十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日基本作圖過已知點作直線與已知直線交叉。cdc'd'a'abb'15能否過A點隨意作線呢？答案有多少個？無數個。第六十頁，共七十九頁，2022年，8月28日例題判斷兩直線的相對位置dacboYWYHzXaacddcbb第六十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日例題判斷兩直線的相對位置baacddcbX11d1c1第六十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日例：判斷兩直線的相對位置。交點的連線垂直于OX，且兩直線為一般位置直線，由兩面投影可判斷為相交兩線?！遖b與cd在一直線上，而a'b'∥c'd'，∴兩直線平行?！逤D為側平線，利用點分割線段成比例進行判斷。為交叉兩直線。OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'Emk第六十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日例：已知：兩直線AB、CD的投影及點M的水平投影m，試作一直線MN∥CD并與直線AB相交于N點。nn'm'作圖：過m作mn∥cd，并與ab交于n；由n求出n'；過n'作n'm'∥c'd'，求得m'。aa'bb'cc'dd'mOX第六十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日例題判斷兩直線重影點的可見性bbcddcXaa3(4)34121(2)第六十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日

§3-4直角投影定理一、垂直相交的兩直線的投影定理一：垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。第六十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日一、垂直相交的兩直線的投影AHBCacbcXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有abac第六十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日二、交叉垂直的兩直線的投影定理三：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四：兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。第六十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日二、交叉垂直的兩直線的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB垂直于