2021年北京市中學生數(shù)學競賽初二試題(含答案)

2021年北京市中學生數(shù)學競賽初二試題（含答案）2021年北京市中學生數(shù)學競賽初二試題一、選擇題（每小題5分，共25分）1．在1～100這100個自然數(shù)中，質數(shù)所占的百分比是（）．（A）25%（B）24%（C）23%（D）22%2．一個三角形的三邊長都是整數(shù)，它的周長等于10，則這個三角形是（）．（A）直角三角形（B）鈍角三角形（C）恰有兩邊相等的三角形（D）恰有一個內(nèi)角為60°的三角形3．已知n為正整數(shù)，S=1+2+…+n．則S的個位數(shù)字不能取到的數(shù)字是（）．（A）0，1，2，3（B）3，4，5，6（C）3，5，6，8（D）2，4，7，94．如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O．S△AOB=4，S△COD=9．則S四邊形ABCD的最小值是（）．（A）22（B）25（C）28（D）32（1）(2)(3)5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，則│a+b+2c│等于（）．（A）3（B）2（C）1（D）0二、填空題（每小題7分，共35分）1．如圖2，大圓的兩條直線AC、BC垂直相交于點O，分別以邊AB、BC、CD、DA為直徑向大圓外側作四個半圓，圖中四個“月形”陰影的總面積是2cm2．?則大圓的半徑等于_______cm．2．2005被兩位的自然數(shù)去除，可能得到的最大余數(shù)是_______．3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．則3a2+4b2-5bc=_________．4．如圖3，在凸六邊形ABCDEF中，AD、BE、CF三線共點于O，?每相鄰三個頂點所組成的三角形的面積都等于1，則S六邊形ABCDEF=_______．5．有6個被12除所得余數(shù)都相同的自然數(shù)，它們的連乘積為971425．則這6?個自然數(shù)之和的最小值是________．三、（15分）已知非零實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0.求證：（1）a3+b3+c3=3abc；-1-（2）（a?bb?cc?acab++）（++）=9.acba?bb?cc?a四、（15分）如圖，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M為△ABC形內(nèi)一點，?使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度數(shù)．-2-五、（10分）某學生在黑板上寫出了17個自然數(shù)，?每個自然數(shù)的個位數(shù)碼只能是0，1，2，3，4這5個數(shù)字中的一個．證明：從這17個數(shù)中可以選出5個數(shù)，?它們的和能被5整除．-3-參考答案一、1．A在1～100這100個自然數(shù)中，有質數(shù)2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25個，所以，其中質數(shù)所占的百分比是25%．2．C將10分拆成三個正整數(shù)之和，有10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4共八種情況．由“三角形兩邊之和大于第三邊”可知，只有（2，4，4），（3，3，4）兩組可構成三角形．由于等腰三角形兩個底角都是銳角，于是，以2、4、4為邊的等邊三角形中，最小邊2對的頂角也是銳角．以3、3、4為邊的等腰三角形中，由32+32>42，?知頂角也是銳角．所以，以2、4、4為邊的等腰三角形以及以3、3、4為邊的等腰三角形都是銳角三角形，排除選項（A）、（B）?．?又由于等腰三角形中恰有一個內(nèi)角為60°時變?yōu)榈冗吶切危c邊為（2，4，4）、（3，3，4）的條件矛盾，排除選項（D）．由（2，4，4）、（3，3，4）為邊的三角形是恰有兩邊相等的三角形．3．D．由S=n(n?1)，又n、n+1是兩個連續(xù)的自然數(shù)，知n（n+1）的個位數(shù)字只能取0，22，6．?所以，S的個位數(shù)字只能是0，1，3，5，6，8這六個數(shù)字．因此，S的個位數(shù)字不能取到的是2，4，7，9．4．B如圖1，設S△AOD=x，S△BOC=y，則S四邊形ABCD=4+9+x+y≥13+2xy．由x4?，有xy=36．所以，9yS四邊形ABCD≥13+2xy=13+12=25．故S四邊形ABCD的最小值是25．此時，AB∥DC，即四邊形ABCD是梯形．5．A．由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1；由│b+c│=1，知b+c=1或b+c=-1；由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2．-4-這樣，可以得到23=8個三元一次方程組：（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；（2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2；（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；（4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2；（5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2；（6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2；（7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2；（8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．對于（2）～（7），將前兩個方程相加得到的a+c的值與后一個方程不同，所以，不會出現(xiàn)這六種情況．對于（1），有a=2-c，b=1-c，所以，a+b+2c=3．對于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以，a+b+2c=-3．故│a+b+2c│=3．二、1．1．由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半個大圓的面積等于以AD、CD為直徑的兩個半圓的面積．同理，下面半個大圓的面積等于以AB、BC為直徑的兩個半圓的面積．?因此，正方形ABCD的面積等于四個“月形”的總面積．容易計算，大圓的半徑OD是1cm．2．85．由2005依次被99，98，97，…去除，觀察所得余數(shù)的值變化得2005=99×20+25=98×20+45=97×20+65=96×20+85=95×21+10=94×21+31=93×21+52=92×21+73=91×22+3=90×22+25=89×22+47=88×22+69=87×23+4=86×23+27=85×23+50．以下的余數(shù)不會大于84，故可能得到的最大余數(shù)是85．3．18．3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc）=3×14+4×（-6）=18．4．6．