第八章猜想與反駁

第八章猜想與反駁課件第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日第一節(jié)歸納猜想歸納猜想是數(shù)學素養(yǎng)的一個重要方面,是合情推理的表現(xiàn)形式之一。猜想——明智的猜想,是發(fā)現(xiàn)的主要途徑而歸納是猜想的一個重要前提工作,或者二者是同步的.從具體的問題情境,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,然后進行形式化、數(shù)學化,這是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要步驟.在這個過程中,學生的心理活動是豐富的,而且,正是由于這樣的過程,學生的數(shù)學推理、問題解決和數(shù)學創(chuàng)造等才逐步形成;當這個過程相對比較成熟,形成穩(wěn)定的心理結(jié)構(gòu),那么學生就獲得了數(shù)學素養(yǎng)重要的一個重要方面。第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日1.歸納猜想的一般過程歸納是數(shù)學的基本思考方式也是做數(shù)學的基本功。在我們的生活和學習過程中,歸納猜想起著重要的作用.許多的規(guī)律、數(shù)學定理和概念等都是人們通過歸納猜想,然后進行演繹證明所確立的.第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日當遇到一個問題情境,我們首先對此情境進行認真觀察，選擇幾個特殊的案例,進行比較、試驗,試圖發(fā)現(xiàn)蘊含著的數(shù)學模式;許多重要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是在這個過程中閃現(xiàn)出來的,此時歸納猜測就形成了,也就是在問題解決者的頭腦中,本質(zhì)的事物已經(jīng)出現(xiàn).通過形式化、符號化,進行數(shù)學表達,那么數(shù)學猜想也就完成了.第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日但是,還要有最后一個環(huán)節(jié)：回到問題情境中,對已經(jīng)得到的數(shù)學歸納猜想進行檢驗,這是學生最容易遺忘,然而必不可少的階段.只有通過檢驗,歸納猜想才算有了初步的成果,至于結(jié)果的正確性,還需要數(shù)學的演繹推理進行證明,這屬于數(shù)學形式邏輯工作第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日這個過程是屬于從特殊到一般的過程.事實上,在人們進行歸納過程中,也存在從一般到特殊的歸納.克魯捷茨基在《中小學生數(shù)學能力心理學》中描述了兩種不同角度的歸納：一方面就是學生可以看出一般的能力,但是對于他來說有些還是不清晰和孤立的……其意思就是從特殊中可以歸納一般,正如我們上面所敘述的.第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日另一方面就是:學生從他所了解的一般看出特殊或者具體的例子……也就是從一般可以歸納特殊。例如NCTM在《中學數(shù)學教學》中設計了這樣一個例子:第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日例2在一個3×3的方格圖案中,除了中間的格子之外,其余8個小格子都涂上了陰影(如圖3).如果有一個25×25的方格圖案,四條邊上的小格子都涂上了陰影,那么有多少塊小方格涂上了陰影?如果是一個n×n的方格圖案呢?第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日圖3第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日其實,這個例子和前面的例子類似,許多學生也正是從特殊到一般歸納猜想出結(jié)論的.然而,有個學生并非如此,他首先從一般情況考慮,他指出:我在數(shù)3×3的方格圖案中發(fā)現(xiàn),第一條邊有3個陰影方格,第二條邊少了1個,是2個,第三邊類似,第四邊就少了2個(如圖4),所以我就推出:s+(s-1)+(s-1)+(s-2)=4s-4,那么對25×25的方格圖案,只要s=25就可以了,所以答案就是425-4=96.至于n×n的情況,只要把s換成n就可以了……在我們的數(shù)學研究過程中,從特殊到一般的第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日在我們的數(shù)學研究過程中,從特殊到一般的歸納猜想是比較常使用的方法。也是是一種重要的合情推理能力,這是新課程對學生提出的新的要求,也是學生進行數(shù)學創(chuàng)造性學習必不可少的能力.歸納猜想,可以把具體形象的情境和數(shù)學形式化結(jié)合在一起進行,或者在形式化內(nèi)部之間進行符號化的形式抽象,處理數(shù)學化的歸納猜想.第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.具體與形式相結(jié)合的歸納猜想在問題解決中,學生使用數(shù)學問題結(jié)構(gòu)可以進行合理歸納猜想.把具體的問題情境和形式的數(shù)學符號結(jié)合,是重要的歸納猜想方式.在歸納猜想中,激發(fā)原有的圖式——認知結(jié)構(gòu),同化新的數(shù)學知識,或者順應新的數(shù)學情境,是成功進行歸納猜想的重要過程.第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日再如NCTM有這樣一個問題情境:例3在一個凸八邊形有多少條對角線?寫出表示凸n邊形對角線的條數(shù)的表達?(此問題也出現(xiàn)于我國初中新課程數(shù)學教科書)這個問題提供給沒有學過代數(shù)的學生.顯然,他們還不能脫離具體情境,因此,許多學生首先畫出幾個簡單的多邊形進行觀察(如圖5).與此同時,畫出表格幫助他們從形式上進行分析.例如有學生H畫出表2來進行歸納猜想.第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日圖5表2第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日邊對角線獲得過程每個頂點引出的對角線數(shù)目30(s-3)s÷2042(s-3)s÷2155(s-3)s÷2269(s-3)s÷23第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日雖然,學生H通過列舉幾個基本的簡單圖形尋找模式,她把相應的對角線的條數(shù)也在表格中寫了出來,但是她并沒有從形式化的數(shù)據(jù)上進行歸納猜想.在她以往的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中,關(guān)于數(shù)據(jù)的歸納還沒有形成,所以,她結(jié)合具體圖形,尋找問題的解決方案.她發(fā)現(xiàn)從多邊形的每個頂點出發(fā),引出的對角線和邊數(shù)有關(guān)系,總是比邊數(shù)少3條,因此她尋找到了數(shù)學的模式第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日歸納猜想就出現(xiàn)了:假設邊數(shù)為s,則從每個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)就是s-3,兩者相乘,得到s(s-3),然而對角線連結(jié)兩個頂點,所以頂點都計算了兩次,要再除以2,得到公式:(s-3)s÷2.她沒有因此而結(jié)束,接著她選擇了七邊形進行了驗證,計算結(jié)果和事實一致,這樣她才得出最后的數(shù)學表達式:(s-3)s÷2這個公式當然需要演繹推理證明,不過對于初學代數(shù)的學生來說,這已經(jīng)足夠了.第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.符號、形式化的歸納猜想符號化、形式化的歸納猜想可以脫離原問題情境,在數(shù)學思維的高層次尋找一般數(shù)學模式,在這個過程中,歸納猜想常常是突然地閃現(xiàn)出來,這如同數(shù)學家的靈感一樣;但是對于一般的學校教育,這樣的歸納猜想也時常發(fā)生,對于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力也有很好的幫助.前面講過的例子我們都可以使用抽象的形式歸納猜想,第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日對于數(shù)學理解層次較高的學生來說,可以鼓勵使用形式化的歸納猜想;然而,對于一般學生來說,結(jié)合具體情境比較合適,因為形式化的歸納相對比較抽象,如果理解不透徹,即使從數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系歸納出數(shù)學模式,但是對于問題中的數(shù)量關(guān)系不一定理解,這就成了“夾生飯”,不利于學生進行創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn),因此,在使用形式化歸納時要小心謹慎.第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.歸納猜想是數(shù)學素養(yǎng)的重要組成歸納猜想不僅在數(shù)學學習中起著重要的作用,在日常生活和工作中,也是人們必不可少的能力.通過觀察一些表象問題,從中概括歸納一般規(guī)律,猜想事物的本質(zhì).這是人們認識世界和改變世界的必要手段.對于學校教育中的學生來說,歸納猜想則是必不可少的數(shù)學素養(yǎng)之一。應當引起數(shù)學教育和學校教育的足夠重視.第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日第二節(jié)類比猜想1.類比方法,是根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相同或相似而推出它們在其他方面也可能相同或相似的一種邏輯思維方法.運用數(shù)學類比思維可以把陌生的對象和熟悉的對象進行對比,把未知的東西和已知的東西相對比,特別是在資料少,還不足以進行歸納推理和演繹思維的情況下,類比可以啟發(fā)思路,提供線索.第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.類比法具有兩個特征：一是適用范圍廣,可以跨越各個種類進行不同類事物的類比,既可以比較本質(zhì)的屬性,又可以比較非本質(zhì)的特征.二是具有較強的探索性和預測性,由此可見,在數(shù)學教學中,根據(jù)教材的特點,運用類比方法,引導學生去探索和發(fā)現(xiàn)問題,是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的有效途徑.第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.一些數(shù)學概念和規(guī)律是由類比的方法而建立或發(fā)現(xiàn)的.通過對舊知識的回憶、類比可以使學生猜想出新授知識的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、研究思想與方法。如學習立體幾何空間兩直線的位置關(guān)系時,首先啟發(fā)學生回顧平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系進行類比聯(lián)想:第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日先由平面中兩條直線的位置關(guān)系平行或相交.設問空間中兩條直線的位置關(guān)系是否也是只有平行與相交的兩種關(guān)系?然后再出示教具讓學生通過觀察進行聯(lián)想,類比,引出異面直線的定義,歸納出空間兩直線的位置關(guān)系——相交、平行、異面.第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日再例如學習三棱錐的體積公式時,:首先明確學習目的,三棱錐是最簡單的多面體,因此它的體積公式的推導過程可以與最簡單的多邊形即三角形的面積公式的推導過程進行類比,從而得到三棱錐的體積公式.其次回顧平面幾何中推導三角形面積公式設三角形ABC的底邊BC=a,BC邊上的高AD=h,將三角形ABC補成一個平行四邊形BCB′A,因為補上的三角形與原三角形等底等高,所以三角形的面積應該是平行四邊形的一半。第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日再次類比猜想,三棱錐的體積公式的推導是否也可以類比三角形面積公的推導,用補的方法進行?通過以上的教學,學生知道一個三棱柱可以分割成體積相等的三個三棱錐,反之,三棱錐可以補成等高的三棱柱,而補上取的兩個三棱錐與原三棱錐體積相等,從而有三棱錐的體積是三棱柱體積的三分之一。第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日我們在學習和解決數(shù)學的問題時，若能充分運用類比思想，就如同找到了學習上的捷徑，其功能就是能有效地提高學生的自學及研究能力，從根本上提高學生的數(shù)學能力，可使學生的學習輕松而高效。第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日第三節(jié)反例反駁數(shù)學離不開猜想，但猜想并不總是正確的，著名的數(shù)學哲學家拉卡托斯(I.katos)把數(shù)學發(fā)現(xiàn)的邏輯歸結(jié)為“證明與反駁”，他說:“非形式、準經(jīng)驗數(shù)學的生長靠的不是單調(diào)增加的千真萬確的定理的數(shù)目，靠的是會想和批評，用證明和反駁的邏輯不斷地改進推測”.第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日反例是推翻錯誤命題和使猜想更加可信的重要手段.反例反駁在邏輯上的依據(jù)是:如果命題成立,那么命題對一切特例成立;現(xiàn)在有一個特例與命題矛盾，所以這個命題不成立。否定一個猜想的反例應該具備兩個條件:第一，反例滿足構(gòu)成猜想的所有條件;第二，反例的結(jié)論與猜想的結(jié)論矛盾。第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日例9平面分割問題:若忽略直線上的點不計,平面上的n條直線最多能將平面分割成多少部分?n條直線太復雜,不妨先從簡單的情況開始。n=1時,一條直線把平面分成兩部分,如設n條直線最多能將平面分成an塊,則有a1=2,n=2時,有兩種情況:若它們平行,則平面被分成3塊;若不平行,則平面被分成4塊,故a2=4。第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日有人也許會由此得出結(jié)論:每增加一條直線就增加兩塊面積。于是a3=6,a4=8,?an=2n.或者認為平面塊數(shù)將成倍增加,于是an等于a的n次方。這些猜想是否正確？當然,可以肯定至少有一個是錯的。先用n=3驗證。當n=3時,可能出現(xiàn)三種情況:若若三線共點,則平面被分成3塊;若有兩直線平行,則平面也被分成3塊;若三直線兩兩相交,并且無公共交點,則平面被分成7塊;故a3=7;上述兩個猜想都被否定了。第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日失敗的原因在于觀察的實例太少,事物的本質(zhì)尚未充分暴露。再考慮n=4的情況,可得a4=11不難發(fā)現(xiàn)a2=a1+2,a3=a2+3;a4=a3+4;于是可以猜想an=an-1+n。這一猜想是否正確?對n=5加以驗證,結(jié)果與猜想相符,這使我們更加相信這個猜想正確。因此應進一步探求證明猜想的方法。這個猜想的證明并不很困難,而且可以求得an的一般表達式：an=1/2(n2+n+1)第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日從上述內(nèi)容可以看出,反例是推翻錯誤命題和使猜想更加可信的重要手段.反例在數(shù)學中有著重大作用,它幫助人們不斷清除錯誤的命題,保持數(shù)學的純潔性；同時讓猜想在經(jīng)受反例挑戰(zhàn)的過程中,通過自身的修改調(diào)整,不斷增強其科學性。通過一個反例作為論據(jù)否定猜想的方法叫做反例反駁。反例反駁在邏輯上的依據(jù)是：如果命題成立,那么命題應對一切特例成立；現(xiàn)在有一個作為反例的特例與命題矛盾,所以這個命題不成立。第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日。即反例反駁的理論依據(jù)是形式邏輯的矛盾律。否定一個猜想的反例應具備兩個條件：（1）反例滿足構(gòu)成猜想的所有條件；（2）反例的結(jié)論與猜想的結(jié)論矛盾。構(gòu)造反例通常是在符合猜想條件的某個特殊情形下,設法舉出一個結(jié)論不成立的例子。所謂特殊情形,可以是某種極端情形,也可以是某個具體情形,而在這些情形下結(jié)論容易得到。第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日反例在否定一個命題時具有特殊的威力,如能在教學中充分加以運用,?？墒盏绞掳牍Ρ兜男Ч?。第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日第四節(jié)猜想能力的培養(yǎng)歷史上著名的“四色猜想”“哥德巴赫猜想”等都告訴我們數(shù)學教科書中那些精辟的結(jié)論、深刻的定理、巧妙的證法，不是從天上掉下來的，而是數(shù)學家們運用各種各樣的猜想而得到的.那么將來作為教學第一線的教師，在新課程理念的指導下，如何在課堂教學中體現(xiàn)培養(yǎng)學生數(shù)學猜想的理念，發(fā)展學生的猜想能力？第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日1.創(chuàng)造良好的猜想環(huán)境首先，在新課程標準下，數(shù)學課本上出現(xiàn)了不少“想一想”“做一做”“議一議”“猜一猜”等活動，改變了以往課堂是教師的“舞臺”，學生只是一名觀眾的教學模式，要求教師首先在教學中要建立平等、民主的學習氛圍，努力營造和諧的師生關(guān)系，給學生猜想的空間，讓他們有暢所欲言的機會，充分調(diào)動他們猜想的積極性.第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日其次，在學生親身經(jīng)歷以探究為主的學習活動中，給他們足夠的猜想時間，每個人的思考都需要一個過程，有的教學內(nèi)容可以讓學生事先進行預測，而有的教學內(nèi)容可以讓學生順著教學思路再進行猜想，教師不要操之過急地公布結(jié)果或方法，讓學生用自己的眼光去觀察，用自己的腦子去思維，通過自己的猜想去探索發(fā)現(xiàn).第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日最后，數(shù)學猜想并不是胡思亂想，教師要立足于學生，針對學生的知識水平進行猜想的教學，當課堂上出現(xiàn)錯誤的猜想時，教師應以耐心的態(tài)度聆聽，幫助學生糾正錯誤的猜想，能使學生正確、深化理解知識，重塑知識結(jié)構(gòu)。第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.明確意義,強化猜想意識在數(shù)學教學過程中,通過講數(shù)學家的故事讓學生明確數(shù)學家們大都十分重視直覺洞察力在數(shù)學研究活動中的重要作用.此外,在解題教學過程中,第一環(huán)節(jié)就是引導學生進行猜測,通過猜測尋找解決問題的突破口,通過猜測確定解題思路,通過猜測對結(jié)果作估計.猜測有助于明確解題方向,在解題過程中易于迷途知返.有了猜想的意識無異于打開了發(fā)散性思維的閘門,更易激發(fā)靈感的火花.第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日例2已知三角形ABC的三邊滿足:2a2／1+a2=b,2b2／1+b2=c,2c2／1+c2=a,試求三角形ABC的面積.假如這是一名中學生遇到的難題.我們首先問這位學生,閱讀題目后有什么感受?他說好像無從下手.接著又問他,本題的關(guān)鍵已知條件是什么?他回答,就是三個等式.我又問他,這三個等式有什么特點呢?第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日他思考后回答道:“如果將a換成b,b換成c,c換成a,那么第一個式子就變成第二個式子,第二個式子就變成第三個式子,第三個式子就變成第一個式子.””我告訴他,數(shù)學上稱它們?yōu)檩啌Q等式.接著我讓他對a,b,c的大小進行大膽猜測,他很快認為:a=b=c.接著,他在這一目標指向下,用兩種方法進行了求解.第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.培養(yǎng)正確的猜想方法數(shù)學猜想不是無根之本，無源之水，它是立足于學生已有知識經(jīng)驗和數(shù)學思考下的合理推測，老師鼓勵學生大膽進行猜想，是讓學生經(jīng)歷探索數(shù)學的過程，而不是憑空想象.要培養(yǎng)學生的數(shù)學猜想能力，應教會學生怎樣合理的猜想，如引導他們怎樣整合材料，提出疑問，又如何猜想結(jié)果或問題解決的途徑，介紹各種實現(xiàn)猜想的途徑、步驟、規(guī)律、方法，這就要求教師在平時教學中給學生精心指導，逐步讓學生掌握一些常見的猜想方法.第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日4.加強指導,提高猜想能力猜想的心理學基礎是直覺思維,猜想有助于打開發(fā)散性思維的閘門.但問題的最終解決又離不開收斂思維.因此在解題過程中,這兩種思維形式往往是交織在一起的.因而提高學生的數(shù)學猜想能力必須對學生加強解題指導.問題解決教學法給我們提供了一種很好的范式.數(shù)學課堂中問題解決教學的基本程序是:(1)提出問題;(2)創(chuàng)設解決問題的氛圍;(3)指導學生探索發(fā)現(xiàn);(4)總結(jié)反思.第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日例3如圖1,△ABC的內(nèi)心為I,角A,B,C的內(nèi)角平分線分別交對邊于A′,B′,C′,求證:1／4<AI·BI·CI／AA′·BB′·CC′≤8／27圖1第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日首先引導學生由角平分線的性質(zhì)進行聯(lián)想,可否將題目中線段的比用三角形ABC邊長