第二章靜電場分析

第二章靜電場分析第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.1電場強度與電位函數

電場強度電位函數庫侖定律電偶極子第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.1.1庫侖定律

庫侖定律（Coulom‘sLaw）是靜電現象的基本實驗定律，表明固定在真空中相距為R的兩點電荷q1與q2之間的作用力：正比于它們的電荷量的乘積；反比于它們之間距離的平方；作用力的方向沿兩者間的連線；兩點電荷同性為斥力，異性為吸力。第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.1.2電場強度1、點電荷的電場強度設q為位于點S(x’,y’,z’)處的點電荷，在其電場中點P(x,y,z)處引入試驗電荷qt，根據庫侖定律，qt受到的作用力為F，則該點處的電場強度（ＥelectricFieldIntensity）定義為當空間中同時有n個點電荷時，場點的電場等于各點電荷qi在該點產生的電場強度的矢量和，即第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日例：兩個點電荷位于（1，0，0）和（0，1，0），帶電量分別為20nC和-20nC，求（0，0，1）點處的電場強度第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.分布電荷的電場強度（1）線電荷（2）面電荷（3）體電荷線電荷密度（ChargeLineDensity）：當電荷分布在一細線（其橫向尺寸與長度的比值很?。┥蠒r，定義線電荷密度為單位長度上的電荷當電荷分布在一個表面上時，定義面電荷密度為單位面積上的電荷面電荷密度（ChargeArealDensity）：體電荷密度（ChargeVolumeDensity）：第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日

分布電荷所產生的電場強度設電荷以體密度ρV(r′)分布在體積V內。在V內取一微小體積元dV′，其電荷量dq=ρV(r)dV′，將其視為點電荷，則它在場點P(r)處產生的電場為體積V內所有電荷在P(r)處所產生的總電場為電場強度的矢量積分公式第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日

例有限長直線l上均勻分布著線密度為ρl的線電荷,如下圖所示，求線外一點的電場強度。

有限長直線電荷的電場

無限長線電荷的場

第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日解題思路（步驟）：1.根據電荷分布形狀，以及它與所求點電場之間的相對位置關系，選擇并建立坐標系。2.確定源點、場點，及其位置矢量，距離矢量。3.代入電場強度計算式，確定積分上下限，求解。例2.2一個均勻帶電的環(huán)形薄圓盤，內半徑為a，外半徑為b，面電荷密度為，求z軸上任意一點的電場強度第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.1.3電位函數在靜電場中，某點P處的電位定義為把單位正電荷從P點移到參考點Q的過程中靜電力所作的功。若正試驗電荷qt從P點移到Q點的過程中電場力作功為W，則P點處的電位為“—”負號的物理意義：電位的增加總是朝著抗拒電場強度的方向；電場強度的方向總是垂直于電位面，并從電位高處指向電位低處。第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日例真空中一個帶電導體球，半徑為a，所帶電量為Q，試計算球內外的電位與電場強度。

孤立帶電導體球的場

帶電導體球的場分布

第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日

電偶極子是指相距很近的兩個等值異號的電荷。2.1.4電偶極子定義電偶極矩矢量的大小為p=qd，方向由負電荷指向正電荷，即

則P點的電位可以寫成下列形式:

第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日取負梯度得電偶極子在P點處的電場強度為

電偶極子的電場線

第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日

2.2靜電場的基本方程

用散度描述電場：用旋度描述電場：

庫侖定律電場強度電通密度（電感應強度）電通量高斯定律電位函數靜電場的旋度電場力做功第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.2.1電通密度與電通量電通密度電通量電感應強度，或電位移矢量真空中，它與電場強度的關系：（即通量的概念在電場中的應用）所以，表示單位面積上的電通量，稱為電通密度。第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.2.2靜電場的高斯定律（Gauss’law）定義：從閉合面內發(fā)出的總電通量，等于面內所包圍電荷總電量。積分形式微分形式靜電場是有散的

散度與場源的關系

此式說明：空間任意存在正電荷密度的點，都發(fā)出電通量線（即電力線）第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日例：用高斯定律求孤立點電荷q在任意點P點產生的電場強度第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日用散度描述電場：用旋度描述電場：

庫侖定律電場強度電通密度（電感應強度）電通量高斯定律電位函數靜電場的旋度電場力做功所以，靜電場中電場強度的旋度恒為零，即靜電場為無旋場（保守場）第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日小結用散度描述電場：用旋度描述電場：

庫侖定律電場強度電通密度（電感應強度）電通量高斯定律電位函數靜電場的旋度電場力做功積分形式微分形式第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日靜電場屬于有散無旋場基本方程的總結

微分形式積分形式第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.3電介質的極化與電通量密度平板電容器電壓變小電介質第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.3電介質的極化與電通量密度一、靜電場中的物質二、電介質中的基本方程1.靜電場中的導體（如金屬）2.靜電場中的半導體（如硅和鍺）3.靜電場中的電介質（即絕緣體，如空氣，瓷）（1）導體內部任何一點的場強都等于零（2）電荷只分布在導體的外表面上（3）導體成為一個等位體，即導體表面電位處處相等。靜電場中半導體與導體的表現沒有區(qū)別。第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日電子云原子核He無極分子有極分子和無極分子電介質1.無極分子(nonpolarmolecule)在無外場作用下整個分子無電矩.例如CO2H2N2O2He2.有極分子(polarmolecule)在無外場作用下存在固有電矩.例如H2OHclCOSO2

因無序排列對外不呈現電性.OHHH2O有極分子第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日極化的結果在電介質的內部和表面形成極化電荷，這些極化電荷在介質內激發(fā)與外電場方向相反的電場第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日無外場下，所具有的電偶極矩稱為固有電偶極矩.在外電場中產生感應電偶極矩.第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日線性、均勻、各向同性的電介質中，電通密度與電場強度之間的關系(也稱媒質的本構關系）：其中：

因而，任何電介質中，靜電場的方程，只要將前面得出的方程中的介電常數換成即可。第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.4導體的電容一、電容器(capacitor)與電容(capacitance)二、電容計算應用舉例——綜合題目儲存電荷的容器稱為電容器,相互接近而又相互絕緣的任意形狀導體都可構成電容器。電容：一個導體上的電荷量與此導體相對于另一導體的電位之比,單位是法拉（F）.電容的大小僅與導體的形狀、相對位置、其間的電介質有關，與所帶電荷量無關。第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日1.平行雙導線，單位長度的電容2.同軸線內外導體間，單位長度的電容3.孤立導體的電容第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日單位長度的電容解

設兩金屬線的電荷線密度為

例

兩半徑為的平行長直導線中心間距為，且,求單位長度的電容.第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日圓柱形電容器（3）

（2）（4）電容++++----（1）設兩導體圓柱面單位長度上分別帶電第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.5靜電場的邊界條件1、電通密度的法向分量(即垂直于分界面的分量），滿足的邊界條件。2、電場強度的切向分量（即平行于分界面的分量），滿足的邊界條件。決定分界面兩側電場變化關系的方程稱為靜電場的邊界條件，即電場在兩種不同媒質分界面上變化的規(guī)律。

第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日電通密度的法向分量，滿足的邊界條件物理意義：靜電場中，如果不同媒質分界面上存在自由面電荷密度，則電通密度的法向分量不連續(xù)。第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.電場強度的切向分量，滿足的邊界條件物理意義：靜電場中不同媒質分界面上,電場強度的切向分量總是連續(xù)的。第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日（1）兩種不同電介質之間的分界面：（2）電介質與導體之間的分界面：

界面上無自由電荷分布，即ρS=0，邊界條件變?yōu)?/p>

當媒質2為導體時，物理意義：導體表面上的靜電場，總是垂直于導體表面第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日例:平行板電容器的長和寬分別為a和b，板間距離為d，電容器的一半厚度(0-d/2)用介電常數為ε的玻璃填充，另一半為空氣。若板上外加電壓為U0:(1)分別求出有介質填充(0-d/2)區(qū)域和無填充(d/2-d)區(qū)域中的電場強度;(2)板上及分界面上的自由面電荷密度;(3)電容器的電容量;第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.6恒定電場一、電流與電流密度二、恒定電場的基本方程三、恒定電場的邊界條件第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日1、電流的定義電荷在電場作用下作定向運動形成電流。單位為安培A通過媒質中某點的電荷的傳輸速率，定義為電流，即恒定電流（直流電流）第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日2、電流密度矢量(單位是A/m2)—體電流密度假定體電荷密度為的電荷以速度沿某方向運動，如下圖所示。設在垂直于電荷流動的方向上取一面積元，若流過的電流為ΔI，則定義電流密度矢量的大小為單位面積上穿過的電流，方向為電流的流向該式表明，電流密度與電流I的關系是一個矢量場與它的通量的關系；或者說電流是電流密度矢量場的通量。

在導電媒質中，體電流密度與電場強度的關系：其中，表示導電媒質的電導率,電導率的值越大，表示媒質導電性能越好。第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日二、恒定電場的基本方程

電流密度矢量

電荷守恒定理

電流連續(xù)性方程用旋度描述：

電場力做功電場的旋度電位函數分兩條主線討論，用散度描述：電荷既不能創(chuàng)造，也不能毀滅，而只能轉移。

單位時間內由閉合面S流出的電流應等于單位時間內S面內電荷的減少量。第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日積分形式散度定理微分形式電流連續(xù)性方程恒定電流連續(xù)性方程:第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日

電流密度矢量電荷守恒原理電流連續(xù)性方程恒定電流場的基本方程——小結1用散度描述：方程表明：恒定電流電場是無散場，即導電媒質中有恒定電流通過時，其內部電流密度是連續(xù)的。

積分形式微分形式第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日

電流密度矢量

電荷守恒原理

電流連續(xù)性方程用旋度描述：電場力做功電場的旋度電位函數分兩條主線討論，二、恒定電流場的基本方程用散度描述：積分形式微分形式拉普拉斯方程第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日表明：恒定電流電場屬于無散無旋場二、恒定電流電場的基本方程——總結

在電源外的導體內,恒定電場的基本方程為：

微分形式積分形式第四十三頁，共四十九頁