第十一章第三節(jié)二項式定理理

第十一章第三節(jié)二項式定理理第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日一、二項式定理1．展開式(a＋b)n＝

所表示的定理叫做二項式定理．2．通項：Tk＋1＝

為第

項．k＋1第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日(a＋b)n與(b＋a)n的展開式有何區(qū)別與聯(lián)系？提示：(a＋b)n的展開式與(b＋a)n的展開式的項完全相同，但對應(yīng)的項不相同而且兩個展開式的通項不同．第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日二、二項式系數(shù)1．定義：式子

叫做二項式系數(shù)．2．性質(zhì)(3)對稱性：2n第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日(4)二項式系數(shù)最值問題．①當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項

最大；②當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項

，

相等且最大．三、項的系數(shù)項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與二項

式系數(shù)不同.第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日1．的展開式中x2的系數(shù)為(

)A．10

B．5C.D．1解析：∵含x2的項為∴x2的系數(shù)為答案：C第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日2．若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式

的常數(shù)項為(

)A．10B．20C．30D．120解析：二項式系數(shù)之和2n＝64，則n＝6，Tk＋1＝·x6－k·＝，當(dāng)6－2k＝0時，即k＝3時為常數(shù)項，T3＋1＝＝20.答案：B第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日3．(1＋x)2n(n∈N*)的展開式中，系數(shù)最大的項是(

)A．第＋1項B．第n項C．第n＋1項D．第n項與第n＋1項解析：(1＋x)2n的展開式中，各項系數(shù)等于對應(yīng)的二項式系數(shù)，故系數(shù)最大的項是第n＋1項．答案：C第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日4．若(ax2－)9的展開式中常數(shù)項為84，則a＝________，

其展開式中二項式系數(shù)之和為________．(用數(shù)字作答)解析：二項式(ax2－)9的通項公式為·a9－k·x18－2k·(－1)k·x－k＝(－1)k·a9－k·x18－3k，令18－3k＝0可得k＝6，即得常數(shù)項為(－1)6·a9－6＝84a3＝84，解之得a＝1.其展開式二項式系數(shù)和為29＝512.答案：1

512第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日5．已知(ax－)n的展開式的第五項是常數(shù)項，則n＝______.解析：由∴n－8＝0?n＝8.答案：8第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日二項展開式的通項公式Tk＋1＝an－kbk(k＝0,1,2，…，n)集中體現(xiàn)了二項展開式中的指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)的變化，它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等)及其系數(shù)以及數(shù)、式的整除等方面有著廣泛的應(yīng)用．使用時要注意：第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日(1)通項公式表示的是第“k＋1”項，而不是第“k”項；(2)通項公式中a和b的位置不能顛倒；(3)展開式中第k＋1項的二項式系數(shù)與第k＋1項的系數(shù)，

在一般情況下是不相同的，在具體求各項的系數(shù)時，一般先處理符號，對根式和指數(shù)的運算要細心，以防出差錯．第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日已知在()n的展開式中，第6項為常數(shù)項．(1)求n；(2)求含x2的項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項．第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日利用通項公式可求,注意運算.第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日【解】

(1)通項公式為因為第6項為常數(shù)項，所以k＝5時，有＝0，即n＝10.(2)令得k＝(n－6)＝2，∴所求的系數(shù)為，第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日(3)根據(jù)通項公式，由題意得令＝r(r∈Z)，則10－2k＝3r，即k＝5－∵k∈Z，∴r應(yīng)為偶數(shù)，∴r可取2、0、－2，即k可取2、5、8.所以第3項，第6項與第9項均為有理數(shù)，它們分別為第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日1．(1)(2010·東北四市聯(lián)考)在(x＋1)7(1－)7的展開式中，x3

項的系數(shù)為(

)A．－35

B．35C．－21D．21(2)設(shè)a＝(sinx＋cosx)dx，則二項式(a)6展開

式中含x2的項的系數(shù)是________．

第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日解析：(1)(x＋1)7∴含x3項的系數(shù)為(2)因為a＝(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)＝2，所以二項式()6展開式的通項是(－1)k26－k令3－k＝2，得k＝1，所以含x2的項的系數(shù)是－192.答案：(1)D

(2)－192=21x3.第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日1．對形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m、(a、b、c∈R)的式子求

其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即

可；對(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之

和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式

中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a7＋a6＋…＋a1；(2)a7＋a5＋a3＋a1；(3)a6＋a4＋a2＋a0.第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日所求結(jié)果與各項系數(shù)有關(guān)，可以考慮用“特殊值”法，即“賦值法”整體解決.第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日【解】

(1)令x＝0，則a0＝－1；令x＝1，則a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①∴a7＋a6＋…＋a1＝129.(2)令x＝－1，則－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由得：a7＋a5＋a3＋a1＝[128－(－4)7]＝8256.(3)由得a6＋a4＋a2＋a0＝[128＋(－4)7]＝－8128.第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日2．在本例條件求|a1|＋|a2|＋…＋|a7|解：∵(3x－1)7展開式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零，∴|a7|＋|a6|＋…＋|a1|＝(a1＋a3＋a5＋a7)－(a0＋a2＋a4＋a6)＋a0＝8256－(－8128)－1＝16383.第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日1．求二項式系數(shù)最大項：(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項(第(＋1)項)的二項式系數(shù)

最大；(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項(第項與第(＋1)

項)的二項

式系數(shù)相等并最大．第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日2．求展開式系數(shù)最大項：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開

式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各

項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數(shù)最大，應(yīng)

用從而解出k來，即得．第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日已知()n(n∈N*)的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10∶1.(1)求展開式中各項系數(shù)的和；(2)求展開式中含

的項；(3)求展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項．

第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日（1）可利用“賦值法”求各項系數(shù)的和；（2）可利用展開式中的通項公式確定k的值；（3）可利用通項公式求出k的范圍，再確定項.第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日【解】由題意知，第五項系數(shù)為·(－2)4，第三項的系數(shù)為則有化簡得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各項系數(shù)的和為(1－2)8＝1.第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日(2)通項公式令，則k＝1，故展開式中含的項為T2＝－16

.第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日(3)設(shè)展開式中的第k項，第k＋1項，第k＋2項的系數(shù)絕對值分別為若第k＋1項的系數(shù)絕對值最大，則，解得5≤k≤6.又T6的系數(shù)為負，∴系數(shù)最大的項為T7＝1792x－11.由n＝8知第5項二項式系數(shù)最大，此時T5＝1120x－6.第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日3．(1)(

)n展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，

則展開式的常數(shù)項是(

)A．360

B．180C．90D．45(2)已知(1－x)n的展開式中所有項的系數(shù)的絕對值之和為32，則(1－x)n的展開式中系數(shù)最小的項是________．第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日解析：(1)依題意：只有第6項的二項式系數(shù)最大，可得到n＝10，所以展開式的通項為·2k·x－2k＝,令k＝2可得常數(shù)項T3＝＝180.(2)令x＝－1，得2n＝32，所以n＝5，故系數(shù)最小的項是