彈性力學(xué)復(fù)習(xí)題1

彈性力學(xué)復(fù)習(xí)題1————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：?一、名詞解說1.彈性力學(xué):研究彈性體因為受外力作用或許溫度改變等原由此發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。2．圣維南原理：假如把物體的一小部分界限上的面力，變換為散布不一樣但靜力等效的面力(主矢量同樣,對于同一點的主矩也同樣），那么近處的應(yīng)力散布將有明顯的改變,可是遠地方受的影響能夠不計。外力：其余物體對研究對象（彈性體）的作使勁。外力能夠分為體積力和面積力。體力：散布在物體體積內(nèi)的力,如重力和慣性力。5．面力:散布在物體表面上的力,如流體壓力和接觸力。二、填空題１．彈性力學(xué)的基本假定為平均性、各向同性、連續(xù)性、完整彈性和小變形。２.彈性力學(xué)正面是指外法線方向與坐標軸正向一致的面,負面指外法線方向與坐標軸負向一致的面。3．彈性力學(xué)的應(yīng)力界限條件表示在界限上應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。除應(yīng)力界限條件外彈性力學(xué)中還有位移、混淆界限條件。在平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題中,除物理方程不一樣外，其余基本方程和界限條件都相同。所以，若已知平面應(yīng)力問題的解答,只要將其彈性模量E換為E12,泊松比換為1，即可獲得平面應(yīng)變問題的解答。5．平面應(yīng)力問題的幾何形狀特點是一個方向上的尺寸遠小于此外兩個方向上的尺寸;平面應(yīng)變問題的幾何形狀特點是一個方向上的尺寸遠大于此外兩個方向上的尺寸。三、單項選擇題1.以下對于彈性力學(xué)識題中的正負號規(guī)定，正確的選項是D。應(yīng)力重量是以沿坐標軸正方向為正，負方向為負B)體力重量是以正面正向為正,負面負向為正面力重量是以正面正向為正，負面負向為負(Ｄ)位移重量是以沿坐標軸正方向為正，負方向為負2.彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題中應(yīng)力重量表達正確的選項是Ａ。(A)z0(B）z[z(xy)]/E(C）z(xy)（D)zfz3．彈性力學(xué)中不屬于基本方程的是Ａ。（A)相容方程（B)均衡方程(C）幾何方程(D)物理方程４.彈性力學(xué)平面問題中一點處的應(yīng)力狀態(tài)由A個應(yīng)力重量決定。（Ａ)３（B)2(C）４(D)5四、問答題1.彈性力學(xué)的基本假定是什么,各有什么作用？答:彈性力學(xué)中主要引用的五個基本假定及各假定用途為：）連續(xù)性假定:引用這一假定后,物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量便可當作是連續(xù)的，所以，成立彈性力學(xué)的基本方程時就能夠用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2)完整彈性假定：這一假定包含應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)檎鹊暮x,亦即兩者呈線性關(guān)系，復(fù)合胡克定律，進而使物理方程成為線性的方程。３)平均性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)明顯都是同樣的。所以,反響這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比μ等)就不隨地點坐標而變化。4）各向同性假定:各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是同樣的，也就是說,物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。小變形假定：研究物體受力后的均衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變，而仍舊依據(jù)本來的尺寸和形狀進行計算。同時，在研究物體的變形和位移時，能夠?qū)⑺鼈兊亩蝺缁虺朔e略去不計，使得彈性力學(xué)的微分方程都簡化為線性微分方程。2．彈性力學(xué)平面問題包含哪兩類問題?分別對應(yīng)哪種彈性體?兩類平面問題各有哪些特點?答:彈性力學(xué)平面問題包含平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類,兩類問題分別對應(yīng)的彈性體和特點分別為:1)平面應(yīng)力問題：所對應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板,其特點是:面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚平均散布,只有平面應(yīng)力分量x,y,xy存在，且僅為x,y的函數(shù)。(2）平面應(yīng)變問題:所對應(yīng)的彈性體主要為長截面柱體,其特點為：面力、體力的作用面平行于ｘｙ平面，外力沿ｚ軸無變化,只有平面應(yīng)變分量x,y,xy存在,且僅為ｘ,y的函數(shù)。3．常體力狀況下,按應(yīng)力爭解平面問題可進一步簡化為按應(yīng)力函數(shù)求解,應(yīng)力函數(shù)一定知足哪些條件？答：(1)相容方程:40;（２)應(yīng)力界限條件；(３)若為多連體，還須滿足位移單值條件。4.請說明應(yīng)力和面力符號規(guī)定的差別;答:看作用面的外法線指向坐標軸的正方向時(即正面時）,這個面上的應(yīng)力（無論是正應(yīng)力或切應(yīng)力）以沿坐標軸的正方向為正,沿坐標軸的負方向為負。與此相反,看作用面的外法線指向坐標軸的負方向時(即負面時)，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標軸的負方向為正，沿坐標軸的正方向為負。請說明彈性力學(xué)和資料力學(xué)中對于切應(yīng)力符號規(guī)定的差別。答：在彈性力學(xué)和資料力學(xué)中切應(yīng)力的符號規(guī)定不盡同樣:資料力學(xué)中規(guī)定，凡妄圖使微段順時針轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力為正;在彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標面上的切應(yīng)力以沿坐標軸正方向為正，作用于負坐標面上的切應(yīng)力以沿坐標軸負方向為正，相反的方向均為負。平面問題的位移解法是怎樣推導(dǎo)出來的？請詳盡推導(dǎo)。.平面問題的應(yīng)力解法是怎樣推導(dǎo)出來的?請詳盡推導(dǎo)。.求解彈性力學(xué)識題的三類基本方程是什么？僅由基本方程能否能夠求得詳細問題的解答?為何?答：均衡方程，幾何方程和物理方程。僅由基本方程不能夠求得詳細解答，因為缺乏界限條件，只好獲得問題的通解而不是特解。簡述圣維南原理及其在彈性力學(xué)中的簡化作用。答：假如物體的一小部分界限上的面力變換為散布不一樣但靜力等效的面力（主矢和主矩同樣），則近處的應(yīng)力散布將有明顯的改變，但遠處的應(yīng)力所受影響能夠忽視不計。作用:（1)將次要界限上復(fù)雜的面力做散布的面力代替；(２)將次要的位移界限條件轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)力界限條件辦理。1０．怎樣正確寫出彈性力學(xué)平面問題的應(yīng)力界限條件?請寫出詳細步驟。答:(1)找出界限的外法線方向nl,m，求出l和m;(２)寫出界限上的應(yīng)力的x重量X以及y重量Y的表達式;(3）按以下公式寫出界限條件xslxysl下標s表示在界限上取值。

xysmXysmY１1.什么是半逆解法?請寫出半逆解法求解彈性力學(xué)平面問題的步驟。論述你對有限元方法的認識。五、計算題1．試考慮以下平面問題的應(yīng)變重量能否有可能存在(１）xAxy,yBy3,xyCDy2;(2)xAy2,yBx2y，xyCxy；(3)x0，y0,xyCxy解:應(yīng)變重量存在的必需條件是應(yīng)變重量知足變形協(xié)調(diào)條件,即222yxyxy2x2xy所以（,1）相容;(2）須知足B0,2AC；(3)不相容。只有C0,則xyxy0。在無體力的狀況下，試考慮以下應(yīng)力重量能否可能在單連通彈性體中存在（1)xAxBy,yCxDy,xyExFy；(2)xAx2y2,yBx2y2,xyCxy解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中一定知足均衡微分方程、相容方程和邊界條件，即xxy0xfxy和20xyxyy0xfyy所以，（1)該組應(yīng)力知足相容方程，為了知足均衡微分方程,一定知足AF和DE；(2）為了知足相容方程,其系數(shù)一定知足AB0,為了知足均衡微分方程,其系數(shù)一定知足ABC。這只好是ABC0，2即彈性體內(nèi)無應(yīng)力,無心義。已知平面應(yīng)力問題的應(yīng)力xaxby，其余應(yīng)力重量為零,求位移場。解：由平面應(yīng)力問題的物理方程1121xxyyyxxyxyEEE能夠獲得1xxyE1yyxE21xyxyE

1axbyEaxby(1)E0式代入幾何方程xuyvxyvuxyxy獲得u1byxaxEvaxby(2）yEvux0y（2）式的前兩式分別對x、y積分，得u11ax2bxyf1yE2(３)1by2vaxyf2xE2將（３)式代入(2)式的第三個方程中,可得bxf1yayf2x0EEf2xbxf1yay(4)EE此方程的左側(cè)的自變量為x,右側(cè)的自變量為y，等式要恒成立則要求兩邊等于同一個常數(shù)c，故能夠令:f2bxcxE(５)af1yycE將這兩個方程分別對x和ｙ積分就獲得f2xbx2cxc22E(６)ay2f1ycyc1E式代入(3)式獲得112bxya2cyc1uax2EyE2(７）1by2bx2vaxycxc2E22E以下圖三角形柱體，下部受平均載荷,斜面自由,不計體力，試查驗應(yīng)力分量xaarctanyxyy2bxx2ayxycyarctanx2y2x2xyayx2y2能否知足應(yīng)力表示的所有方程，并求常數(shù)a,b，c使其知足給定的界限條件。BβAOq解:(1)考證（略)應(yīng)力重量知足以下均衡方程xxy0xyxyy0xy和相容方程22x2y2xy0(2)對y0有界限條件yy0qxyy00將yaarctanyxyy2cxx2和ay2xy2y2x代入(1)式獲得acq對ＯB邊有以下界限條件xslxym0sysmxyl0s將lcossin2mcoscos代入(3)式獲得xssinxyscos0yscosxyssin0

(1)2）3)(4)OB邊的方程為ytanx(5）將(5）式代入應(yīng)力重量ayxybxarctanx2y2xayxycyarctan22xxyy2xyay2x2并利用(2)式獲得xsasincosbysasincosc(6）xysasin2將(6)式代入(４)式有asincosbsinasin2cos0asincosccosasin2sin0解得bsin3(7）sincostanccos(７)式代入(2）式獲得aq(8)tan５.以下圖，設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端遇到集中力和力矩作用,體力忽視不計,lh。試用應(yīng)力函數(shù)AxyBy2Cy3Dxy3求解應(yīng)力重量。FS2/FNOhM2/h(>>hδ=1)解：(I)明顯,應(yīng)力函數(shù)AxyBy2Cy3Dxy3知足雙調(diào)解方程。寫出應(yīng)力的表達式(不計體力)2x22B6Cy6Dxyy2yx2023Dy2xyAy經(jīng)過界限條件確立待定系數(shù)界限條件為：界限yh上：2yyh02xyyh02界限yh上:2yyh02xyyh02由(2)(4）(5)(6）式有2A3Dh023h2D04由(2）(4）(7)(8）式也可獲得(9）式。在界限x0上，用圣維南原理提出以下界限條件

（1)(2）（3)(４)(５）(6)（7)(8)(９）h2dy1FNhxx02(10)h2xyx02h2xx02

dy1Fs(1１)dy1yM(12)將(2)代入（10）獲得h2h2B6CydyFN2BhFN2BFN(13)2h將（４)代入（１1）獲得h2hA3Dy2dyFs2A1Dh2Fs4h（１４)聯(lián)立(9)(14)獲得3Fs(15)A2h2FsD(１6)h3將(2)代入(12)獲得h2h2B6CyydyM22MC3(１７)h由(１3)(15)(16)(17)及(2）(3)（４)獲得FN12M12Fsxy(18)x3y3hhhy0(1９）3Fs6Fs2(2０）xyh3y2h6．以下圖的墻，高度為h，寬度為b，ｈ>>b，在雙側(cè)面上遇到均布剪力q的作用，試用應(yīng)力函數(shù)AxyBx3y求解應(yīng)力重量。Oqhb/2b/2q解：(Ｉ)明顯，應(yīng)力函數(shù)=AxyBx3y知足雙調(diào)解方程。(IＩ)寫出應(yīng)力的表達式（不計體力）2xy202y26Bxyx2xyxyA3Bx2（IＩI)經(jīng)過界限條件確立待定系數(shù)界限條件為：b界限x上：2xxb02xyxbq2b界限x2上:xxb02xybqx2

1)(2)3)(4)5)（６)(7）8)由(2)(4)(5)（6)式有b23A3BqAb2Bq24(9)由(2)(4）(7)(８）式也可獲得(９)式。在界限y0上,有yy00(10)xyy00(１1)條件(1０)自動知足,但是,條件(11）會致使AB0,這說明問題原應(yīng)力函數(shù)獲得不適合。因為hb，能夠用圣維南原理，在界限y0處提出以下面界條件b2y0dx10(1２）bxy2由（４)(1２)有b22A3Bxdx0b2Ab20（１3)B4由(9)（１３)有Aq(14）2B2q（15)b2(IV)將(１4)(15)代入(2)(3)(4)有x0（13)y12q2xy（1４)bxyq6q2x2(１５）2b7.設(shè)圖中的三角形懸臂梁只受重力作用,而梁的密度為,試用純?nèi)味囗検綖閼?yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力重量。Oαρ解：（I)取應(yīng)力函數(shù)為=ax3bx2ycxy2dy3（１)明顯應(yīng)力函數(shù)知足雙調(diào)解方程。(II）寫出應(yīng)力的表達式2X0xy2Xx2cx6dy2Ygyx2Yy6ax2bygy2xyxy2bx2cy(IＩI)經(jīng)過界限條件確立待定系數(shù)界限y0上：yy00xyxtan界限yxtan上：xyyxtan

ll

(2)(３)(4)(５）xyy00(6）xyyxtanm0yyxtanm0lcossin2mcos即xyxtansin

xyyxtancos0xyyxtansin由(3）(５)式有

（7)yyxtancos0(8)6ax0a0(9)由(４）（6)式有2bx0b0(１０)由(２)(3）(4)(７)(８)及(9)(1０）有2cx6dyyxtansin2cyyxtancos02cyyxtansingyyxtancos02cx6dxtansin2cxtancos02cxtansingxtancos0cg(1１)2tandg(12)3tan2(IV）將（９)(10）（11)(1２)代入(2)(3）(4)有xgx2gy(13)tantan2ygy（１4)gxyy(15)tan8．固定端為無窮遠的三角形懸臂梁，上表面遇到平均散布的載荷ｑ作用，如圖所示。取應(yīng)力函數(shù)為kx2y2x2y2arctanyxyx2tanx求應(yīng)力重量(不計體力)。Oα解：（1)考證應(yīng)力函數(shù)知足雙調(diào)解方程40432216xy16xyxyx4kx2y23432216xy16xyxyky4x2y23432216xy8xyxykx2y2x2y2340(1）(２)寫出應(yīng)力表達式22arcta