導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-2019年高考數(shù)學(xué)（文）之高頻

解密05導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

解噂高壽命題分析三年高考探源考查頻率

高考考點(diǎn)

從近三年高考情況來(lái)看，導(dǎo)數(shù)的

概念及計(jì)算一直是高考中的熱點(diǎn)，對(duì)本2018課標(biāo)全國(guó)16

知識(shí)的考查主要是導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)2018課標(biāo)全國(guó)H13

算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等內(nèi)容，常以2018課標(biāo)全國(guó)in9、★★★★

導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及計(jì)算

選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)21(1)★

作為解答題中的一問(wèn).解題時(shí)要掌握函2016課標(biāo)全國(guó)III15

數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義、幾何意義以2016課標(biāo)全國(guó)II16

及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求簡(jiǎn)單

的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用也一直是高考的熱2018課標(biāo)全國(guó)I、II、

點(diǎn)，尤其是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、III21

最值問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，一般2017課標(biāo)全國(guó)121

以基本初等函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的相2017課標(biāo)全國(guó)II11、

★★★★

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用關(guān)知識(shí)及應(yīng)用，題型有選擇題、填空題，21

★

也有解答題中的一問(wèn)，難度一般較大，2017課標(biāo)全國(guó)III

常以把關(guān)題的位置出現(xiàn).解題時(shí)要熟練11、21

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值與最值之2016課標(biāo)全國(guó)I、II、

間的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)工具性的作用，注III21

重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用.

對(duì)點(diǎn)解解

考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算

題組一導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

調(diào)研1已知函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為r(x),且滿(mǎn)足=(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),

則r(e)=

A.-CB.-C1

C.-1D.1

【答案】B

f\x)=2/,(e)+—

【解析】根據(jù)題意，/(x)=2xf'(e)+lru,其導(dǎo)數(shù)x,

/Xe)=2/te)+-/((e)=

令4e,可得e,變形可得e

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，注意/'(e)為常數(shù)，要正確求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù).根據(jù)題意，由函

f\x)=2/,(e)+-/\e)=2/,(e)+-

數(shù)的解析式對(duì)f(x)求導(dǎo)可得X,將戶(hù)e代入計(jì)算可得e,變形可得答

案.

?***?拒J。*國(guó)?噬行?母：：運(yùn)?6

☆技巧點(diǎn)撥☆

1.導(dǎo)數(shù)計(jì)算的原則和方法

(1)原則：先化簡(jiǎn)解析式，使之變成能用八個(gè)求導(dǎo)公式求導(dǎo)的函數(shù)的和、差、積、商，再求導(dǎo).

(2)方法：

①連乘積形式：先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；

②分式形式：觀(guān)察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；

③對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；

④根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式，再求導(dǎo)；

⑤三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo).

2.運(yùn)用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則求函數(shù)y=/(x)在開(kāi)區(qū)間(如加內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的基本步驟：

(1)分析函數(shù)y=/(x)的結(jié)構(gòu)和特征；

(2)選擇恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)公式和運(yùn)算法則求導(dǎo)；

(3)整理得結(jié)果.

3.求較復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法

對(duì)較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)，先化簡(jiǎn)再求導(dǎo).如對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)是根式或分式時(shí)，可用對(duì)數(shù)的性質(zhì)將真數(shù)

轉(zhuǎn)化為有理式或整式求解更為方便；對(duì)于三角函數(shù)，往往需要利用三角恒等變換公式，將函數(shù)式進(jìn)行化

簡(jiǎn)，使函數(shù)的種類(lèi)減少，次數(shù)降低，結(jié)構(gòu)盡量簡(jiǎn)單，從而便于求導(dǎo).

4.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和方法步驟

（1）關(guān)鍵環(huán)節(jié)：

①中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)；

②正確分析出復(fù)合過(guò)程；

③一般是從最外層開(kāi)始，由外及里，一層層地求導(dǎo)；

④善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體；

⑤最后結(jié)果要把中間變量換成自變量的函數(shù).

（2）方法步驟：

①分解復(fù)合函數(shù)為基本初等函數(shù)，適當(dāng)選擇中間變量；

②求每一層基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

③每層函數(shù)求導(dǎo)后，需把中間變量轉(zhuǎn)化為自變量的函數(shù).

：!*=：谷.4運(yùn).，.培：：

題組二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

調(diào)研2已知函數(shù)"㈤=*'則曲線(xiàn)y=/（x）在點(diǎn)（0,/（0））處的切線(xiàn)方程為.

【答案】x-y+2=0

【解析】對(duì)函數(shù)〃力="、2求導(dǎo)數(shù)得/'（刈=01+*=41+司，則八0）=],

又因?yàn)?（°）=°+2=2,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（o,2）,

由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式可得y=x+2,即x-y+2=0.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程，屬于基礎(chǔ)題.利用導(dǎo)數(shù)求得

直線(xiàn)在切點(diǎn)處的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式可求得切線(xiàn)方程.

調(diào)研3曲線(xiàn)=°1nx—"a>°）在x=l處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸成的三角形的面積為4,則a的值為

A.V2B.2

C.4D.8

【答案】B

【解析】由丁=〃"”瓜"一2,得:(x)=：.?./，⑴="，

又/⑴=—2,...曲線(xiàn)｝=必改-2(。>0)在x=l處的切線(xiàn)方程為J+2=a(xT,

2

令x=0得y=—a—2；令y=0得x=—+1.

a

S=i(-a-2)；-+l；=-(o+2)'-+1|=4

二切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面枳為2<aJ2-loJ，解得a=2.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.先求出

曲線(xiàn)在x=l處的切線(xiàn)方程，然后得到切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后可求得圍成的三角形的面積.

4

調(diào)研4已知點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=1一上，a為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的傾斜角，則a的取值范圍是

e+1

【答案】[2,71)

4

4-4ex-4ex

【解析】’.，=

一金+:―產(chǎn)+2-1一/+乙+2

e

\V>0,.\ex+l>2,當(dāng)且僅當(dāng)/=乙，即x=0時(shí)等號(hào)成立.

XX

ee

/.yf€[-h0),.'.tana€[-l,0).又a€[0,?r),.\a€[—n).

4:

調(diào)研5已知。為常數(shù)，若曲線(xiàn)y=/+3x_]nx存在與直線(xiàn)工+廠(chǎng)1=0垂直的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.-今+s)B.(-8,

C.[―1,+(x>)D.(-co,-1]

【答案】A

1.

【解析】由題意知曲線(xiàn)上存在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為1,所以y=2辦+3-金=1有正根，即2/+*1=0有正根.當(dāng)

位0時(shí)，顯然滿(mǎn)足題意；當(dāng)a<0時(shí)，需滿(mǎn)足於0,解得-金“<0.綜上，a>-1.

：!*=：€--????*：：：W?德，?寓?:：??瑞

☆技巧點(diǎn)撥☆

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容，考查題型多為選擇題或填空題，有時(shí)也會(huì)作為解答題中的第

一問(wèn)，難度一般不大，屬中低檔題型，求解時(shí)應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，常見(jiàn)的類(lèi)型及

解法如下：

（1）已知切點(diǎn)P（xo,yo）,求），習(xí)，（x）過(guò)點(diǎn)尸的切線(xiàn)方程：求出切線(xiàn)的斜率/（xo）,由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程；

（2）已知切線(xiàn)的斜率為鼠求內(nèi)（x）的切線(xiàn)方程：設(shè)切點(diǎn)P（xo,兆），通過(guò)方程'（沏）解得沏，再由點(diǎn)斜式

寫(xiě)出方程；

（3）已知切線(xiàn)上一點(diǎn)（非切點(diǎn)），求產(chǎn)門(mén)x）的切線(xiàn)方程：設(shè)切點(diǎn)2刖，光），利用導(dǎo)數(shù)求得切線(xiàn)斜率/（即），再

由斜率公式求得切線(xiàn)斜率，列方程（組）解得xo,最后由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫(xiě)出方程.

（4）若曲線(xiàn)的切線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行或垂直，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程時(shí)，先由平行或垂直關(guān)系確定切線(xiàn)的斜率，

再由2'（%）求出切點(diǎn)坐標(biāo)（xo，yo）>最后寫(xiě)出切線(xiàn)方程.

（5）①在點(diǎn)P處的切線(xiàn)即是以P為切點(diǎn)的切線(xiàn)，P一定在曲線(xiàn)上.

②過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)即切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P,P不一定是切點(diǎn).因此在求過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)首先檢驗(yàn)點(diǎn)P是

否在已知曲線(xiàn)上.

：：行.A..第,：：費(fèi).駕：二絲?吞.豆,4

考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

題組一利用導(dǎo)數(shù)研窕函數(shù)的單調(diào)性

調(diào)研1已知函數(shù)/）=%2+2”廠(chǎng)底，若於）在區(qū)間仕，21上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】[*+，）

1n11nn

【解析】由題意知/（x）=x+2aK）在2上怛成立，即2論—xd—在2上怛成立，

：（-X+g）max=Mme!’即忌

調(diào)研2已知函數(shù)f（x）=alnx-x（aeR）

（1）若3是/（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求函數(shù)“X）的表達(dá)式，并求出“X）的單調(diào)區(qū)間；

/（x）+->0

（2）若xe（O,l],證明當(dāng)“42時(shí)，x.

【答案】（1）/*x|=31nx-x,單調(diào)遞增區(qū)間是（0,3）,遞減區(qū)間是（3,+8）；（2）見(jiàn)解析.

/，（x）=-1

【解析】⑴"X）的定義域?yàn)椋?,+8）,X.

由題設(shè)知，/'（3）=0,所以4=3.

經(jīng)檢驗(yàn)a=3滿(mǎn)足已知條件,

33-x

f(x)=31nx-x"x)=-1=---

從而“用“?X,XX.

當(dāng)()<x<3時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)x>3時(shí)，/'(x)<0.

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,3),遞減區(qū)間是(3,+00).

/X\1<1“、aq1/-ax+l

g(x)=/(x)+-=alnx-x+-g(x)=-1——=-------,------

(2)證法一：設(shè)XX,X￡(0,l］，則'XX'X，

①當(dāng)時(shí)，

XG(O,1］,

/.lnx<0.-x>0

x,

y(x)+—>o

???g(x)20,即X

②當(dāng)0<a?2時(shí)，

2

1-->0,

4

；'聞+1-T

.-.g(x)=-^~二一-<0

???g(x)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞減,

.-.g(x)>g(l)=0即〃x)+:",

/(x)+l>0

綜上得，當(dāng)xc(O,l］且時(shí)，x成立.

證法二：①若x=l,則/(x)=-l,

.\/(x)+-=-l+l=O,

X

②若0<xvl,貝iJlnxvO,

當(dāng)4K2時(shí),/(x)+—=alnx-x+—>21nx-x+—>

XXX

設(shè)g(x)=21nx-x+Lxe(0,l),

X

二/(x)=2_i」=_fc^l<o,

XX*X*

二g(x)在區(qū)間(0可上單調(diào)遞減

二g(x)>g(l)=。，則小)+卜°,

/(x)+->0

綜上得，當(dāng)xw(O,l］且a42時(shí)，x成立.

【名師點(diǎn)睛】(1)本題考查了極值的概念，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：當(dāng)/(力<0時(shí)，解出的x范圍是函

數(shù)〃x)的減區(qū)間，當(dāng)/'(x)>0時(shí)，解出的無(wú)范圍是函數(shù)“X)的增區(qū)間.

(2)本題考查了分類(lèi)討論思想及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題處理.

.狂■.總：「?旗以?￡?1：?'-富::■?

☆技巧點(diǎn)撥☆

函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用是高考中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，題型多以解答題的形式呈現(xiàn).常見(jiàn)的題型及其解法如

下：

1.利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)上就是判斷或證明不等式r(x)>o

(r(x)<。)在給定區(qū)間上恒成立.一般步驟為：

(1)求一㈤；

(2)確認(rèn)廣(X)在3,坊內(nèi)的符號(hào)；

：：：包W???富,竺?a

題組三(導(dǎo))函數(shù)圖象與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系

調(diào)研5已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)椋?1,5］,部分對(duì)應(yīng)值如下表,/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(%)的圖象如圖所示.

X-10245

於)12021

下列關(guān)于函數(shù)/(X)的命題:

①函數(shù)/(X)在［0,1］上是減函數(shù)；

②如果當(dāng)時(shí)，/(x)的最大值是2,那么r的最大值為4；

③當(dāng)1<a<2時(shí)，函數(shù)J=/?*一°最多有4個(gè)零點(diǎn).

其中真命題的個(gè)數(shù)是

A.3個(gè)B.2個(gè)

C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】B

【解析】由導(dǎo)數(shù)的圖象可知，當(dāng)T<x<0或1<\<4時(shí)，f(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞熠，

當(dāng)0<x<l或4<x<5時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，所以①正確；

和I時(shí),函數(shù)取得最大值*0)=2,/(4)-2,

當(dāng)r］時(shí)，/(x)最大值是2,那么【的最大值為5,所以②不正確；

由/(-D=9=1,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)l<a<2時(shí)，函數(shù)p=/(x)-a最多有4個(gè)零點(diǎn)，故③

正確.

綜上，有2個(gè)正確.

所以選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)單調(diào)性與極值、最值的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.由導(dǎo)數(shù)圖象

可知函數(shù)的單調(diào)性，可判斷①；結(jié)合表格中幾個(gè)特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析/取不同值時(shí)，

函數(shù)的最大值變化情況，可判斷②；結(jié)合表格中幾個(gè)特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)的極

值，可判斷③.

運(yùn).”??巨J。*F?

☆技巧點(diǎn)撥☆

1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)變化快慢的關(guān)系：如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變

化得快，這時(shí)函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

2.導(dǎo)函數(shù)為正的區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為函數(shù)的極值點(diǎn).

題組四生活中的優(yōu)化問(wèn)題和導(dǎo)數(shù)與方程、不等式等的綜合問(wèn)題

調(diào)研6已知?r)=lnx-x+a+l.

(1)若存在x￡(0,+□□),使得人力加成立，求。的取值范圍；

(2)求證：在(1)的條件下，當(dāng)X>1時(shí)，!12+奴_々>式]11r+J_成立.

22

【答案】(1)[0,+oo)；(2)見(jiàn)解析.

【解析】(1)原題即為存在x>0,使得hur+a+lK)成立，

>\a>-lrLr+x-l?

]x—1

令％)=一成+廠(chǎng)1，則g'(x)=----+1=-------.

xx

令g'(x)=。，解得x=l.

?.,當(dāng)0<xvl時(shí)，g3〈o,g(x)為減函數(shù),當(dāng)x>l時(shí),g'(x)>0,g(x)為增函數(shù),

g(X)min=g(1)=0，(1)=0.

故4的取值范圍是[0,+oO).

(2)原不等式可化為L(zhǎng)f+axr]1rLa-_L>()(x>i,^>0).

22

令G(x)=-x2+ax-x\x\x-a--,則G(l)=0.

22

由(1)可知貝UG'a)=x+a-lnx-l》一lnx-l>0,

，Ga)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

???G(x)>G(l)=0成立，

/.—x2+ax-jdnx-a-上>0成立，艮「—x1+ax-a>x\nx~\成立.

2222

【思路分析】(1)原題即為存在Q0,使得廠(chǎng)1成立，即該不等式有解，求函數(shù)ga)=-hu+xT

的單調(diào)性和最小值即可；

(2)原不等式轉(zhuǎn)化為6(幻=一/+依-如憂(yōu)-〃-，>0,研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，求得這個(gè)函數(shù)的最值大于0

22

即可.

調(diào)研7某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專(zhuān)業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入

固定成本2萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本C（x）萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量小于7萬(wàn)件時(shí)，C（x）=Lf+2x

3

3

（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于7萬(wàn)件時(shí)，C（x）=6x+lnx+匚e-17（萬(wàn)元）.已知每件產(chǎn)品售價(jià)為6元，假設(shè)該

x

同學(xué)生產(chǎn)的產(chǎn)量當(dāng)年全部售完.

（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)P（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式：（注：年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-固定成

本-流動(dòng)成本）

（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？（取e3=20）

--X2+4X-2,0<X<7

3

P(x)=<

e3

15-lnx--,x>7

【答案】（1）x；（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲

年利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為11萬(wàn)元.

【解析】（1）產(chǎn)品售價(jià)為6元，則X萬(wàn)件產(chǎn)品銷(xiāo)售收入為6x萬(wàn)元.

P(x)=6x-：'ix2+2x；-2=-ix:+4x-2

依題意得，當(dāng)0<x<7時(shí)，’JJ3

P(x)=6x-6x+lnx+--17-2=15-Inx--

當(dāng)x28時(shí)，

--x2+4x-2,0<x<7

3

產(chǎn)(x)=

15-lnx--,x>7

x

1j

P(x)=——(x—6)*+10

(2)當(dāng)0<x<7時(shí)，3

.?.當(dāng)x=6時(shí)，尸（x）的最大值為*6）=10（萬(wàn)元）.

P(x)=15-lnx--

當(dāng)x?7時(shí)，x,

尸(x)=-—+「「一

...XXX,

...當(dāng)74x<e3時(shí)，/y（x）>0,P（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x>e3時(shí)，P,（x）<0,P（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x=e時(shí)，P（x）取最大值-（萬(wàn)兀），

Vll>10,

.?.當(dāng)x=e3a20時(shí)，P（x）取得最大值11萬(wàn)元，

即當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為11萬(wàn)元.

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)式的求法，考查年利潤(rùn)的最大值的求法，考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推

理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題.

（1）根據(jù)年利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-投入的總成本-固定成本，分0Vx<7和當(dāng)啟7兩種情況得到尸（x）與x的分段函

數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)0<x<7時(shí)根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來(lái)求產(chǎn)（%）的最大值，當(dāng)近7時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求P（%）的

最大值，最后綜合即可.

☆技巧點(diǎn)撥☆

1.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題的“兩種”常用方法：

（1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最

值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，/（幻之。恒成立，只需『。"而2”即可；恒成立，只需

/（冷儂即可?

（2）函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值（最值），

然后構(gòu)建不等式求解.

2.生活中的優(yōu)化問(wèn)題

（1）實(shí)際生活中利潤(rùn)最大，容積、面積最大，流量、速度最大等問(wèn)題都需要利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解相應(yīng)函數(shù)的

最大值.若在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，且在極值點(diǎn)附近左增右減，則此時(shí)唯一的極大值就是最大值.

（2）實(shí)際生活中用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、最節(jié)省時(shí)間等問(wèn)題都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最

小值.用料最省、費(fèi)用最低問(wèn)題出現(xiàn)的形式多與幾何體有關(guān)，解題時(shí)根據(jù)題意明確哪一項(xiàng)指標(biāo)最?。ㄍ?/p>

要從幾何體的面積、體積入手），將這一指標(biāo)表示為自變量x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或其他方法求出最值，但

一定要注意自變量的取值范圍.學(xué)=科網(wǎng)

3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)綜合問(wèn)題的一般步驟：

（1）確定函數(shù)的定義域，審清題意，確定解題方向，明確出發(fā)點(diǎn).

（2）進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，進(jìn)行求導(dǎo).

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定極值或最值，有參數(shù)時(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論.

（4）利用極值或最值，判斷函數(shù)的零點(diǎn)，得出正確結(jié)論.

（5）反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題過(guò)程的規(guī)范性.

強(qiáng)化集訓(xùn)

1.（山東省安丘市、諸城市、五蓮縣、蘭山區(qū)2019屆高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）以下運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是

,,1

①曾4②（3X）5叫③⑺"巳④傅=再

⑴X

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】對(duì)于①，由于（」［=—《，所以①不正確；

V%/x

對(duì)于②,由于（cosx）'=rinx

,所以②正確；

■

對(duì)于③，由于（2）一2由2,所以③正確；

（Igx）=---

對(duì)于④，由于MnlO,所以④不正確.

綜上可得②③正確.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.對(duì)

四個(gè)結(jié)論分別進(jìn)行分析、判斷即可得到結(jié)論.

2.（遼寧省沈陽(yáng)市東北育才學(xué)校2019屆高三聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）已知曲線(xiàn)y=/（x）在x=5處的切線(xiàn)方程

是y=—x+5,則/（5）與/'（5）分別為

A.5,—1B.—1,5

C.-1,0D.0,-1

【答案】D

【解析】由題意可得:〃5)=-5+5=0,“5)=7,

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，較為簡(jiǎn)單.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到了'(5)等于直線(xiàn)的斜

率-1，由切點(diǎn)橫坐標(biāo)為5,得到縱坐標(biāo)即/(5).

3.(廣東省中山一中等七校聯(lián)合體2019屆高三第二次(11月)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)定義在上R的連續(xù)可導(dǎo)函

數(shù)“X),若當(dāng)XH()時(shí)有獷''(%卜。，則下列各項(xiàng)正確的是

A,〃T)+〃2)>2〃0)b/(-1)+/(2)=2/(0)

C.〃T+f(2)<2〃。)D.與2/(0)大小不定

【答案】c

【解析】由題意可知，函數(shù)f(x)是R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)x#0時(shí)有對(duì)''COvO，

當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)<(),所以函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)>0,所以函數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以〃T)<〃0)J(2)<〃0),所以〃—1)+〃2)<2〃0)

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，其中解答中根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單

調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性作出比較是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔

試題.由題意可知，函數(shù)滿(mǎn)足燈''(HvO,得到當(dāng)x〉0時(shí)，函數(shù)/(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，函

數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，即可得到答案.

4.(安徽省皖中名校聯(lián)盟2019屆高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知直線(xiàn)y=2x+l與曲線(xiàn)y=ae、+x相切，

其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為

A.1B.2

C.eD.2e

【答案】A

【解析】由函數(shù)的解析式可得：y'=aex+l,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%io),由題意可得:

刈=ae%+x,Xj=0

?ae*+1=2,解得:?y0=l,據(jù)此可得實(shí)數(shù)。的值為1.

y0=+1a=1

本題選擇A選項(xiàng).

【名師點(diǎn)睛】由題意利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線(xiàn)性質(zhì)即可.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線(xiàn)的理解應(yīng)注意的問(wèn)題：

一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆.

二是直線(xiàn)與曲線(xiàn)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線(xiàn)的本質(zhì)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)不一定是曲線(xiàn)的切線(xiàn),

同樣，直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則宜線(xiàn)與曲線(xiàn)可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn).

三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式.由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積.

5.(河南省林州市第-中學(xué)2018屆高三12月調(diào)研考試)設(shè)曲線(xiàn)‘⑴+18sx("CR)上任一點(diǎn)

(%可處的切線(xiàn)斜率為8(尤)，則函數(shù)y=x2g(x)的部分圖象可以為

【解析】由函數(shù)的解析式可得了'(X)=fl.x(m&R),

則y=xg(x)=-7w:+lx*sinx(weR),該函數(shù)為奇函數(shù)，選項(xiàng)B、c錯(cuò)誤；

7T

又當(dāng)x=7t時(shí)，y=0,當(dāng)x=5時(shí)，y<0,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

本題選擇D選項(xiàng).

【名師點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì).

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.

(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

6?(河北省廊坊市省級(jí)示范校6中聯(lián)合體2019屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)若函數(shù)

/(x)=^lnxH----ax-1

2方在(1,2)上為增函數(shù)，則a的取值范圍為

eo)u生(十咖團(tuán)

A.L4-

[TO)U；Q：[TO)U[>

D.L/

【答案】B

/(x)=-——二皿.一二x+±40

【解析】依題意可得2xax'對(duì)xe(l,2)恒成立，即2a對(duì)x?l,2)恒

成立.設(shè)g(x)=afxH—,-VG(1,2).

2a

g(l)=a-二+140

V2a

g(2)=4a-5+l<0

當(dāng)a>0時(shí)，a解得

2

_5

當(dāng)"0時(shí)，g(0)」＜0,」=工＜0，二且⑶摟祗以工4恒成立.

a2a4。

eo)uK」

綜上，。的取值范圍為.'L2J

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題，其基本解題思路是：當(dāng)函數(shù)

為增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零，己知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問(wèn)

題往往轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，很好地考查了學(xué)生的計(jì)算能力.

'lie

a(lnx+x)-x-=0

7.(河南省豫南豫北2018屆高三第二次聯(lián)考聯(lián)評(píng)試卷)若關(guān)于x的方程'2有唯一的實(shí)

數(shù)解，則正數(shù)a=

1j_

A.-B.

23

1J_

C.一D.

49

【答案】A

1,

【解析】方法一：驗(yàn)證法.當(dāng)。=耳時(shí)，可得函數(shù)y=d—%與函數(shù)y=lnx在％=1處的切線(xiàn)是相同的.

故選A.

/■、12八Inx.1“、Inx?/、1

a(lnx+x)-—AT=0---l-l=—xf\x)----l-Lg(x)=-x

方法二：因?yàn)椤?gt;0,由2得X2。.設(shè)X2a

由題意得當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)/(%)和g(%)的圖象相切時(shí)滿(mǎn)足題意，設(shè)切點(diǎn)為(工,％)，

1_>0

五F

獷蟲(chóng)+】

毛

1_l-ln毛

則2a玄,解得

2

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查方程解的情況，解題中將方程有唯?實(shí)數(shù)解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有唯一公共

點(diǎn)的問(wèn)題，通過(guò)合理的構(gòu)造函數(shù)，經(jīng)分析得到當(dāng)兩圖象在某點(diǎn)處相切時(shí)滿(mǎn)足條件，故可用導(dǎo)數(shù)的幾何意

義求解，在設(shè)出切點(diǎn)的前提下，構(gòu)造出關(guān)于參數(shù)的方程組使得問(wèn)題得以解決.

8.(山西省呂梁市2019屆高三上學(xué)期第一次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題)定義在(0,48)上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足

5/Ie*|<3-：

fr(x)>l,42)=3,則關(guān)于X的不等式e’的解集為

A.(o.e,B.(-oo,ln2)

C.(O,ln2)D.(e2,+o>)

【答案】B

r解析】令g(x)=/(x)+L,x>0,則g<x)=f'(x)L=X,

XX*X*

.I.g*(x)=X'?1>0,二函數(shù)g(x)=/(6+工在?+8)上單調(diào)遞增.

X，X

又〃2)=m，，g(2)=/(2)+g=3.

結(jié)合題意，不等式/(e")<3—乙可轉(zhuǎn)化為〃ex)+」r<f(2)+：

即g(e")<g(2),

ee*2

.?.0<ex<2,解得x<ln2,原不等式的解集為(T[n2).

故選B.

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于含有導(dǎo)函數(shù)的不等式的問(wèn)題，在求解過(guò)程中一般要根據(jù)不等式的形式構(gòu)造出相應(yīng)的函

數(shù)，然后根據(jù)所給的不等式得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而得到構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所構(gòu)造的函數(shù)的

單調(diào)性進(jìn)行解題，其中根據(jù)題意構(gòu)造符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵.由構(gòu)造函數(shù)

g(x)=/(x)4,則有/(、)=三等從而得到函數(shù)ga)="x)+.o收)上單調(diào)

遞增.又g(2)=〃2)+4,所以不等式〃小3小可化為止)+9〃2)+；根據(jù)函數(shù)

g(x)的單調(diào)性可得0<e'<2,于是可得所求結(jié)果.

9.(安徽省蒙城縣第一中學(xué)、淮南第一中學(xué)等2018屆高三上學(xué)期“五?！甭?lián)考)已知定義在上的函數(shù)

f(x)J'(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，恒有〃水。*+/'(小2°成立，貝巾

A歷俳皿aB.，⑴疝上《)

c.zi9>zG)[北"?

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，設(shè)g(x)-/(x)smx(0<x<3),則g，(xf|x|sinx+/(x1cosx,

又由當(dāng)0cM時(shí)，恒有〃x)cosx+r(x)如x>0成立，則g'(x)=r(x)sinx+〃x)cosx>0.

則函數(shù)g（x）在［ogj上為增函數(shù)，

g|1）>g'—；/（l）sinl>/：—：sin—=/'—^lx—f（l）sinl>—/）—：

又因?yàn)?>巴,所以⑴，即八J\6）6J⑷2,即八J2,6上

6

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中涉及導(dǎo)數(shù)的公式的逆用，利用

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，試題有一定的綜合性，

屬于中檔試題，解答時(shí)根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性比較大小是解題的關(guān)鍵.

10.（重慶市（區(qū)縣）2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試11月調(diào)研測(cè)試卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

/（X）=—x3+—（1-Sa）x2+|2a:-o）x+l

32,若在區(qū)間（0,3）內(nèi)存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.（0,3）

C.（”）U（L3）

【答案】C

【解析】/'（引=/+。一%）x+2aLa=（x-a）［x-（2a-l"

令fr（x）=0,則x=a或x=2a-1.

若a=1，則a=2a-"（X）>0在R±怛成"涵數(shù)/⑺在R上單調(diào)遞增，所以/⑺沒(méi)有極值點(diǎn);

若a>1,則a<2。一1,由于人》）在區(qū)間（0,3）內(nèi)存在極值點(diǎn)，所以“<3二.1<a<3；

若a<1,則a>2a—1,由于人外在區(qū)間（0,3）內(nèi)存在極值點(diǎn)，所以a>Q二°<a<1.

綜上所述或1<。<3,

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用，比較。與2。一1的大小，分a>林口a<l進(jìn)行討論.

11.（廣東省汕頭市達(dá)濠華僑中學(xué)、東廈中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

/lx|=aln.Y-ix-（。力€1<.若不等式/（62》對(duì)所有的人?-0,0］,都成立，貝Ua的

取值范圍是

A.［e,+oo)B.］，+8

-2\

C.—,e2D.［e'+oo)

【答案】B

【解析】由Hnx-bx,Nx得對(duì)任意840,xe(e,e2］都成立，故alnx—xNO,即

“(司=巴1

aN.對(duì)旌k看］都成立.構(gòu)造函數(shù)〃(％)=.,其中xe(e,g］,則(lnx),故當(dāng)

22

xe(e,^］時(shí)〃'(x)>0,即〃(x)單調(diào)遞增，最大值為〃卜2)=5,故“之務(wù).

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問(wèn)題.由于題目有兩個(gè)變量，一個(gè)是6有范圍，

另一個(gè)是％有范圍，最終求的是。的范圍.所以分成兩個(gè)步驟來(lái)走，先根據(jù)b的范圍，消去分后，再利

用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合x(chóng)的取值范圍，最終來(lái)求解a的取值范圍.屬于難題.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a2二對(duì)xe(e,e2］都

lax、」

Y

成立，令M光)=正『利用導(dǎo)數(shù)求得〃(力的單調(diào)性及最大值，由此求得。的取值范圍.

f(x］=^+—

12.(四川省攀枝花市2019屆高三第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題)曲線(xiàn)x在點(diǎn)(1,/。))處的切線(xiàn)

與直線(xiàn)x+丁一2=0垂直,則實(shí)數(shù)a=.

【答案】1

/(x)=+--_n

【解析】曲線(xiàn)X在點(diǎn)(1,/。))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)X+J-2=口垂直，...切線(xiàn)斜率為1,

,Wx-r,"(1)=2一。=1,解得a”

故答案為i.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)斜率，屬于難題.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率,

主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

⑴已知切點(diǎn)H/J(玉"求斜率4，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)左=/'(Xo);

（2）已知斜率k求切點(diǎn)：即解方程/（百）=人

（3）已知切線(xiàn)過(guò)某點(diǎn)（玉?（不是切點(diǎn)）求切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)利用

左=：（?）_/（二）=/,?。?/p>

再一天求解.

-lnxO<x<l

/a）=h5

-sx>1

13.（陜西省安康市安康中學(xué)2019屆高三第三次月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)〔X,若

0<a<6且滿(mǎn)足aI-yIbj,則/伍）+bf^a）的取值范圍是.

【答案】0，g+l）

【解析】由，???—lna=L由。<—lna<l得