八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專題講解2：乘法公式

專題02乘法公式閱讀與思考乘法公式是多項(xiàng)式相乘得出的既有特殊性、又有實(shí)用性的具體結(jié)論，在整式的乘除、數(shù)值計(jì)算、代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、代數(shù)式的證明等方面有廣泛的應(yīng)用，學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意：1．熟悉每個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征；2．正用即根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，模仿公式進(jìn)行直接的簡(jiǎn)單的套用；3．逆用即將公式反過(guò)來(lái)逆向使用；4．變用即能將公式變換形式使用；5．活用即根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探索規(guī)律，創(chuàng)造條件連續(xù)綜合運(yùn)用公式．例題與求解【例1】1,2,3,…，98共98個(gè)自然數(shù)中，能夠表示成兩個(gè)整數(shù)的平方差的個(gè)數(shù)是（全國(guó)初中數(shù)字聯(lián)賽試題）解題思路：因a2—b2=（a+b）（a—b），而a+ba—b的奇偶性相同，故能表示成兩個(gè)整數(shù)的平方差的數(shù),要么為奇數(shù),要么能被4整除．TOC\o"1-5"\h\z【例2】（1）已知a,b滿足等式x=a2+b2+20,y=4（2b—a），則x,j的大小關(guān)系是（ ）A.xWy B.xNy C.x<y D.x>y（山西省太原市競(jìng)賽試題）（2）已知a,b,c滿足a2+2b=7,b2一2c=-1,c2-6a=-17,則a+b+c的值等于（ ）A.2 B.3 C.4 D.5（河北省競(jìng)賽試題）解題思路：對(duì)于（1）,作差比較x,y的大小，解題的關(guān)鍵是逆用完全平方公式，揭示式子的非負(fù)性;對(duì)于（2）,由條件等式聯(lián)想到完全平方式,解題的切入點(diǎn)是整體考慮.【例3】計(jì)算下列各題：6(7+1)(72+1)。+1)(78+1)+1； (天津市競(jìng)賽試題)1.23452+0.76552+2.469義0.7655； (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)(12+32+52++992)—(22+42+62+ +1002).解題思路：若按部就班運(yùn)算，顯然較繁，能否用?乘法公式簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，關(guān)鍵是對(duì)待求式恰當(dāng)變形，使之符合乘法公式的結(jié)構(gòu)特征．【例4】設(shè)a+b=1,a2+b2=2，求a7+b的值. (西安市競(jìng)賽試題)解題思路：由常用公式不能直接求出a7+b7的結(jié)構(gòu)，必須把a(bǔ)7+bb表示相關(guān)多項(xiàng)式的運(yùn)算形式，而這些多項(xiàng)式的值由常用公式易求出其結(jié)果．1x2義3義4+1=52；【例5】觀察：2x3x4x5+1=11【例5】觀察：3x4x5x6+1=192；(1)請(qǐng)寫出一個(gè)具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；???(2)根據(jù)(1),計(jì)算2000x2001x2002x2003+1的結(jié)果(用一個(gè)最簡(jiǎn)式子表示).(黃岡市競(jìng)賽試題)解題思路：從特殊情況入手，觀察找規(guī)律．6設(shè)a,b,c滿足a+b+c=1,a2+b2+c2=2,a3+b3+c3=3,求：abc的值；a4+b4+c4的值.（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：本題可運(yùn)用公式解答，要牢記乘法公式，并靈活運(yùn)用．能力訓(xùn)練A級(jí).已知元2-2（m-3）元+9是一個(gè)多項(xiàng)式的平方，則m=. （廣東省中考試題）.數(shù)348-1能被30以內(nèi)的兩位偶數(shù)整除的是 ..已知元2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,那么x+y+z=.（天津市競(jìng)賽試題）.若x+y=10,x3+y3=100,則ijx2+y2=..已知a,b,x,y滿足ax+by=3,ax-by=5,則(a2+b2)(x2+y2)的值為.(河北省競(jìng)賽試題).若n滿足(n-2004)2+(2005-n)2=1,貝ij(2005-n)(n-2004)等于.TOC\o"1-5"\h\z.(1-—)(1-—)(1-—)(1-等于( )22 32 19992 20002?1999 ... 2001 1999 2001A，2000 B2000 C4000 D,4000.若M=10a2+2b2-7a+6,N=a2+2b2+5a+1,則M-N的值是( )A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.非負(fù)數(shù) D.可正可負(fù).若無(wú)一y=2,元2+y2=4,則元1992+y1992的值是（ ）A．4 B．19922 C．21992 D．41992（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）10．某校舉行春季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，由若干名同學(xué)組成一個(gè)8列的長(zhǎng)方形隊(duì)列．如果原隊(duì)列中增加120人，就能組成一個(gè)正方形隊(duì)列；如果原隊(duì)列中減少120人，也能組成一個(gè)正方形隊(duì)列．問(wèn)原長(zhǎng)方形隊(duì)列有多少名同學(xué)？ （“i杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）11.設(shè)a=109+383—2，證明：a是37的倍數(shù).（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）12．觀察下面各式的規(guī)律：(1X2+1)2=12+(1X2)2+22；(2X3+1)2=22+(2X3)2+32；(3X4+1)2=32+(3X4)2+42；寫出第2003行和第n行的式子，并證明你的結(jié)論.???1.（〃+b）n展開式中的系數(shù)，當(dāng)n=1,2,3…時(shí)可以寫成“楊輝三角”的形式（如下圖），借助“楊輝三角”（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開賽試題）求出1.019的值為（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開賽試題）TOC\o"1-5"\h\zi 2 i1 3 3 11 4 6 4 11 5 10105 1.如圖,立方體的每一個(gè)面上都有一個(gè)自然數(shù),已知相對(duì)的兩個(gè)面上的兩數(shù)之和都相等,如果13,9,3的對(duì)面的數(shù)分別為a,b,c，貝Ua2+b2+c2-ab-bc一ac的值為（天津市競(jìng)賽試題）.已知X,J,z滿足等式X+y=5,z2=町+y-9,則2X+3y+4z=..一個(gè)正整數(shù)，若分別加上100與168,則可得兩到完全平方數(shù)，這個(gè)正整數(shù)為.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002，則多項(xiàng)式a2+b2+c2一ab一bc一ac的值為（）A.0 B.1 C.2D.3.把2009表示成兩個(gè)整數(shù)的平方差的形式,則不同的表示法有（ ）A.16種 B. 14種 C. 12 種D. 10 種（北京市競(jìng)賽試題）.若正整數(shù)x,y滿足x2-y2=64，則這樣的正整數(shù)對(duì)（x,y）的個(gè)數(shù)是（）A.1BA.1B.2C.3D.4（山東省競(jìng)賽試題）.已知a—b=3，則a3-b3-9ab的值是（ ）A．3 B．9 C．27D．81（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）.滿足等式m2+1954=n2的整數(shù)對(duì)（m,n）是否存在？若存在，求出（m,n）的值；若不存在，說(shuō)明理由.10．?dāng)?shù)碼不同的兩位數(shù)，將其數(shù)碼順序交換后，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，這兩個(gè)兩位數(shù)的平方差是完全平方數(shù)，求所有這樣的兩位數(shù)．（天津市競(jìng)賽試題）11.若x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求證：x2003+y2003=a2003+b2003.12．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，如4二22—02,12=42—22,20=62—42,因此4,12,20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù).（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（浙江省中考試題）（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正值）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？（浙江省中考試題）ar)?*.ahc="1-(as+6,Ir3)+(a-b+CQ'+y+l—ubIk-ac)=tX3-1x1x(2+t)-1.《2)將②式兩邊平方，得1一//-8+2。'〃+2#/+2/0,?3??? +/=4-2匕*'+從/+儲(chǔ)/)=4-2「(&6+加一—2aA(a+64r)J=4-2[(+)'-2義看Xl]?1專題02乘法公式例173提示，滿足條件的整數(shù)是奇數(shù)或是4的倍數(shù).例2(DB/-y=(/+4a+4)-(62一防十16)=0:+2>+Sf(2)B3個(gè)等式相加得:Q-3>十(什1產(chǎn)+《<-1>=0,。=3力—-1,cy1?a+fr+c=3—1+1=3.例3(1)7”<2)4(3)-5050例4y關(guān)示：由a+b=l,a*+y=2得々6工一十.利用 +產(chǎn)”=Q'+￡)01+〃)-aW<T1+3|)可分別求得a4-6J=-1-ta+6,=孑?cf—d=芋?a-6"=MMS26yt71了""=y.例S(D設(shè)〃為自然數(shù).則川(n+】)5+2〉5+3)+1=(/+3刁+1)’(2)由①得.2000X2001X2002X2003+1=4006001\TOC\o"1-5"\h\z(a?6+c=l, ①例6(D設(shè)<a'+"+/=2. ②①'一②.得a6+6c?十—J,■:a'+〃+/-3d6c=Q4力c)(a"一廿一d-ab—bc-0或6 2.26,28 3.2 4.405?34 6.0 7.D 8,A 9.CI。.原有136或904名同學(xué).設(shè)｛::d' I均為正整數(shù)?且加>?、僖虎诘?〃廣一力)4240=2*X3X5.“后都是8的倍數(shù)，則，…熊被4整除.小一二?一一"均能被4糧除.淚、 .或：1m-〃=4 ，m-n12.?]〃=12.fm=16.?7〃=28蚊J=4.8a*=/—120=904或8.r=rrf—120=136..因?yàn)閍-im+38"-2=(1。9-1)+(3片一：999999999+37X(38’+38+1),而9999999X111111111=9X3X37037037=27571001IX)!=37X(27X1001001).所以37999999999,且37137X(38381.一此a是37的倍數(shù)..第2003行式子為82003’+(2003X2(h20G42=(2003X2004+1):.第一行式子為：/+?(?-D'—(〃一】1??〃?-+1V.證明略B級(jí)L1.09476提示：由13；a9+b3—《得g—6=4,6c=-6.c-a=I013 4.156 5.DC提示：G+6Gr-.v)i2009=7X7X41有6個(gè)正因數(shù)?分別是1.7-41.49,287和2009,因此對(duì)應(yīng)的方程組為：，.八y=-],-7.一:1.一49?287?—289?1?了?r?；3二87.20091IJL2D09..-287.-49.-41.-7.-1.2!O.2o-,49.41.7,1.故(了修)共有12組不同的表示.B8.C.提示,不行在符合條件的整數(shù)對(duì)(〃八n).因?yàn)?954不能被4整除, _.設(shè)所求兩位數(shù)為劉，由L1知存⑨■一瓦二工晨為卷數(shù)兀阻好=HM9：且+8|戈A-B\.而一8—言亂A十&?3語(yǔ)(A+B-11t.rA+B-ll+\4-B=L =_1.解得/：=?'或可=:即所求兩位數(shù)為位一"obLb=0TOC\o"1-5"\h\z產(chǎn)+］，=u+