無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)優(yōu)秀公開(kāi)課課件

第6章無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1數(shù)字濾波器的基本概念6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

6.1數(shù)字濾波器的基本概念

濾波的目的為了壓制輸入信號(hào)的某些頻率成分，從而改變信號(hào)頻譜中各頻率分量的相對(duì)比例濾波技術(shù)包括:濾波器設(shè)計(jì):根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)濾波過(guò)程的實(shí)現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達(dá)到對(duì)輸入信號(hào)的進(jìn)行濾波的目的數(shù)字濾波器——輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含的頻率成分的相對(duì)比例或者濾出某些頻率成分的器件經(jīng)典濾波器A、按頻率特性分類可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通。B、按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分類可分為無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)（IIR）濾波器；

有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器。(6.1.1)(6.1.2)

1、數(shù)字濾波器的分類：經(jīng)典濾波器（有用頻率與濾掉頻率占用不同頻帶）

——低通、高通、帶通、帶阻等現(xiàn)代濾波器（維納濾波器、卡爾曼濾波器等）2、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：圖6.1.2低通濾波器的技術(shù)要求通帶邊界頻率阻帶截止頻率|H(ejω)|——幅頻特性，表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率成分衰減的情況

——相頻特性，反映各頻率成分通過(guò)濾波器后時(shí)間上的延時(shí)情況

通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB(分貝)數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示，αp和αs分別定義為：(6.1.3)(6.1.4)如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：(6.1.5)(6.1.6)3、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述

IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類：

1）借助模擬filter的設(shè)計(jì)方法（1）將DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成AF的技術(shù)指標(biāo)；（2）按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計(jì)模擬低通filter的；（3）將；（4）如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通

AF的技術(shù)指標(biāo)。

2）計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法（最優(yōu)化設(shè)計(jì)法）先確定一個(gè)最佳準(zhǔn)則，如均方差最小準(zhǔn)則，最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后在此準(zhǔn)則下，確定系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。

FIR濾波器設(shè)計(jì)：窗函數(shù)法和頻率采樣法

圖6.2.1各種理想濾波器的幅頻特性1.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法濾波器的頻率特性主要取決于構(gòu)成濾波器系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

工程設(shè)計(jì)中給定的指標(biāo)往往是通帶和阻帶的衰減，它一般用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)來(lái)定義模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有αp,Ωp,αs和Ωs。其中Ωp和Ωs分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率αp是通帶Ω(=0~Ωp)中的最大衰減系數(shù)，αs是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數(shù)，對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1)(6.2.2)

濾波器的技術(shù)指標(biāo)αp,Ωp,αs和Ωs給定后，根據(jù)模方函數(shù)需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)。(6.2.5)從給定的模方函數(shù)求出所需要的系統(tǒng)函數(shù)的方法a、令s=代入模方函數(shù)得到,并求其零極點(diǎn)b、取所有在左半平面的極點(diǎn)作為的極點(diǎn)c、按需要的相位條件(最小相位,混合相位等)取一半的零點(diǎn)構(gòu)成的零點(diǎn)2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2用下式表示：(6.2.6)

圖6.2.3巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系

將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫(xiě)成s的函數(shù)：(6.2.7)

此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：(6.2.8)為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為(6.2.9)

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為式中，p=s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(6.2.10)(6.2.11)

式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：將極點(diǎn)表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項(xiàng)式，用下式表示：

(6.2.12)(6.2.13)所以，總結(jié)求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的步驟如下：

將Ω=Ωp代入(6.2.6)式中，再將|Ha(jΩp)|2代入(6.2.3)式中，得到：

將Ω=Ωs代入(6.2.6)式中，再將|Ha(jΩs)|2代入(6.2.4)式中，得到：

由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：令,則N由下式表示：(6.2.16)(6.2.14)(6.2.15)1、階數(shù)N的確定方法：由技術(shù)指標(biāo)αp,Ωp,αs和Ωs確定(6.2.3)(6.2.4)(6.2.6)如果求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。

總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,αp,Ωs和αs，用(6.2.16)式求出濾波器的階數(shù)N。

(2)按照(6.2.12)式，求出歸一化極點(diǎn)pk，將pk代入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。

(3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。(6.2.16)(6.2.12)(6.2.11)表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)

例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解：(1)確定階數(shù)N。(2)按照(6.2.12)式，其極點(diǎn)為按照(6.2.11)式，歸一化傳輸函數(shù)為(6.2.12)(6.2.11)介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器的設(shè)計(jì)方法。圖6.2.5分別畫(huà)出階數(shù)N為奇與偶數(shù)時(shí)的切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性。其幅度平方函數(shù)用A2(Ω)表示：(6.2.19)圖6.2.5切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性3.切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法

式中，ε為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度，ε愈大，波動(dòng)幅度也愈大。Ωp稱為通帶截止頻率。令λ=Ω/Ωp，稱為對(duì)Ωp的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為當(dāng)N=0時(shí)，C0(x)=1；當(dāng)N=1時(shí)，C1(x)=x；當(dāng)N=2時(shí)，C2(x)=2x2-1；當(dāng)N=3時(shí)，C3(x)=4x3-3x。由此可歸納出高階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為

CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)(6.2.20)圖6.2.6N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線

圖6.2.6示出了階數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式特性。由圖可見(jiàn)：

(1)切比雪夫多項(xiàng)式的過(guò)零點(diǎn)在|x|≤1的范圍內(nèi)；

(2)當(dāng)|x|<1時(shí)，|CN(x)|≤1,在|x|<1范圍內(nèi)具有等波紋性；

(3)當(dāng)|x|>1時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。

按照(6.2.19)式，平方幅度函數(shù)與三個(gè)參數(shù)即ε,Ωp和N有關(guān)。其中ε與通帶內(nèi)允許的波動(dòng)大小有關(guān)，定義允許的通帶內(nèi)最大衰減αp用下式表示：下(6.2.21)因此(6.2.22)(6.2.19)

圖6.2.7切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的A2(Ω)曲線

設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示，在Ωs處的A2(Ωs)用(6.2.19)式確定：

(6.2.23)令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有(6.2.24)(6.2.25)可以解出3dB截止頻率用Ωc表示，按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中僅取正號(hào)，得到3dB截止頻率計(jì)算公式：(6.2.26)(6.2.19)

以上Ωp,ε和N確定后，可以求出濾波器的極點(diǎn)，并確定Ha(p)，p=s/Ωp。求解的過(guò)程請(qǐng)參考有關(guān)資料。下面僅介紹一些有用的結(jié)果。

設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為si=σi+jΩi，可以證明：(6.2.23)令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有(6.2.24)(6.2.25)

上式中僅取正號(hào)，得到3dB截止頻率計(jì)算公式：(6.2.26)設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為si=σi+jΩi，可以證明：(6.2.27)式中(6.2.28)(6.2.28)式是一個(gè)橢圓方程，長(zhǎng)半軸為Ωpchξ(在虛軸上)，短半軸為Ωpshξ(在實(shí)軸上)。令bΩp和aΩp分別表示長(zhǎng)半軸和短半軸，可推導(dǎo)出：(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)圖6.2.8三階切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布

設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖6.2.8所示(極點(diǎn)用X表示)。為穩(wěn)定，用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成Ha(p)，即(6.2.32)

式中c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.19)式可導(dǎo)出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到歸一化的傳輸函數(shù)為(6.2.33a)去歸一化后的傳輸函數(shù)為(6.2.33b)下面介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器設(shè)計(jì)步驟。

1)確定技術(shù)要求αp,Ωp,αs和Ωsαp是Ω=Ωp時(shí)的衰減系數(shù)，αs是Ω=Ωs時(shí)的衰減系數(shù)，它們?yōu)?6.2.34)(6.2.35)

2)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)ε。歸一化頻率由(6.2.19)式，得到：(6.2.19)

將以上兩式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到：令(6.2.36)(6.2.37)求出階數(shù)N，最后取大于等于N的最小整數(shù)按照(6.2.22)式求ε。(6.2.22)3)求歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)求Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出歸一化極點(diǎn)pk,k=1,2,:,N。(6.2.27)

將極點(diǎn)pk代入(6.2.33)式，得到：4)將Ha(p)去歸一化，得到實(shí)際的Ha(s)，即(6.2.38)(6.2.39)

例6.2.2設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減αp=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=60dB。解

(1)濾波器的技術(shù)指標(biāo)：(2)求階數(shù)N和ε：(3)求Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5時(shí)的極點(diǎn)pi，代入上式，得到：(4)將Ha(p)去歸一化，得到：(6.2.38)4.模擬濾波器的頻率變換——模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

1)低通到高通的頻率變換

λ和η之間的關(guān)系為上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)則用下式轉(zhuǎn)換：(6.2.41)(6.2.40)λ和η分別是模擬低通濾波器和高通濾波器的歸一化頻率圖6.2.9低通與高通濾波器的幅度特性阻帶邊界頻率Ω's通帶邊界頻率Ω'p

模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率Ω'p，阻帶邊界頻率Ω's

，通帶最大衰減αp，阻帶最小衰減αs。

(2)確定歸一化低通技術(shù)指標(biāo)：按照(6.2.40)式，將高通濾波器的歸一化頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的歸一化頻率(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p)。

(4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照(6.2.40)式，轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(p)，為去歸一化，將p=Ωp/s代入G(p)中，得(6.2.42)(6.2.40)

解①高通技術(shù)指標(biāo)：

fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

歸一化頻率②低通技術(shù)指標(biāo)：

例6.2.3設(shè)計(jì)巴特沃斯高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。Ω/Ωp③設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故④求模擬高通H(s)：圖6.2.10帶通與低通濾波器的幅度特性

表6.2.2η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系

2)低通到帶通的頻率變換低通與帶通濾波器的幅度特性如圖6.2.10所示。通帶下邊界頻率Ωl，通帶上邊界頻率Ωu阻帶下邊界頻率Ωs1

，阻帶上邊界頻率Ωs2通帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，通帶寬度B=Ωu-Ωl

由η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到：由表6.2.2知λp對(duì)應(yīng)ηu，代入上式中，有(6.2.43)式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于(6.2.43)

將(6.2.43)式代入上式，得到：將q=jη代入上式，得到：為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)上式就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成帶通的計(jì)算公式。下面總結(jié)模擬帶通的設(shè)計(jì)步驟。(1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：通帶下邊界頻率Ωl，通帶上邊界頻率Ωu阻帶下邊界頻率Ωs1,阻帶上邊界頻率Ωs2

通帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，通帶寬度B=Ωu-Ωl與以上邊界頻率對(duì)應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：(2)確定歸一化低通技術(shù)要求：

λs與-λs的絕對(duì)值可能不相等，一般取絕對(duì)值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求。通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。

(3)設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。

(4)由(6.2.45)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。(6.2.45)

例6.2.4設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2π×200rad/s，中心頻率Ω0=2π×1000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻帶最小衰減αs=15dB。解(1)模擬帶通的技術(shù)要求：

Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6(2)模擬歸一化低通技術(shù)要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。

(3)設(shè)計(jì)模擬歸一化低通濾波器G(p)：采用巴特沃斯型，有

取N=3，查表6.2.1，得(4)求模擬帶通H(s)：3)低通到帶阻的頻率變換低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖6.2.11所示。圖6.2.11低通與帶阻濾波器的幅頻特性通帶下邊界頻率Ωl，通帶上邊界頻率Ωu

阻帶的下邊界頻率Ωs1，阻帶上邊界頻率Ωs2阻帶中心頻率Ω20=ΩuΩl，阻帶帶寬B=Ωu-Ωl

相應(yīng)的歸一化邊界頻率ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/Bηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl

表6.2.3η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系

根據(jù)η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得到：且ηu-ηl=1，λp=1，(6.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(6.2.46)式代入p=jλ，并去歸一化，可得(6.2.46)(6.2.47)(6.2.48)上式就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成帶阻的計(jì)算公式。下面總結(jié)設(shè)計(jì)帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：通帶下邊界頻率Ωl，通帶上邊界頻率Ωu阻帶下邊界頻率Ωs1，阻帶上邊界頻率Ωs2阻帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，阻帶寬度B=Ωu-Ωl它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為

ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl以及通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs。(2)確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即：取λs和-λs的絕對(duì)值較小的λs；通帶最大衰減為αp，阻帶最小衰減為αs。

(3)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通G(p)。

(4)按照(6.2.48)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。(6.2.48)

例6.2.5設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為：

Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。試設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器。解(1)模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求：

Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω20=ΩlΩu=4π+2×1000025,B=Ωu-Ωl=2π×200;ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25

(2)歸一化低通的技術(shù)要求：(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p):(4)帶阻濾波器的H(s)為6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思想：

s平面z平面

模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)1、H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓，頻率間成線性關(guān)系2、因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<1設(shè)計(jì)方法：-脈沖響應(yīng)不變法-雙線性變換法數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) 模仿模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)1、脈沖響應(yīng)不變法變換原理T—抽樣周期表明將模擬信號(hào)ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)圖6.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系2、頻譜混疊才能使數(shù)字濾波器的頻響不會(huì)發(fā)生頻譜混疊，即：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為。若在時(shí)域抽樣時(shí)滿足時(shí)域采樣定理，即模擬濾波器的頻響是帶限于折疊頻率之內(nèi)的，即圖6.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象3、模擬濾波器的數(shù)字化方法1)極點(diǎn)映射：設(shè)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：系數(shù)相同：極點(diǎn)：s平面z平面穩(wěn)定性不變：s平面z平面數(shù)字濾波器頻響與采樣間隔T成反比，故當(dāng)采樣頻率很高時(shí)，即T很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出。因此，希望數(shù)字濾波器增益與采樣間隔T無(wú)關(guān)。故作以下修正：令：則：若，則2)修正一般Ha(s)的極點(diǎn)sk是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，在

式中將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為(6.3.11)

可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為

(6.3.12)

如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(6.3.13)(6.3.14)4、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：頻率響應(yīng)混疊只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)時(shí)域逼近良好頻率變換是線性關(guān)系：5、脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)步驟1）按照給定的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，利用模擬濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)設(shè)計(jì)原型模擬濾波器，得。（如果是非低通濾波器則需進(jìn)行變換）2）把分解成部分分式求和形式，其中：是系統(tǒng)極點(diǎn)。（求出極點(diǎn)和系數(shù)）3）用變換式：對(duì)進(jìn)行變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。

例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解：首先將Ha(s)寫(xiě)成部分分式：極點(diǎn)為那么H(z)的極點(diǎn)為按照(6.3.4)式，并經(jīng)過(guò)整理，得到

轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫(xiě)成(6.3.13)式的形式，如極點(diǎn)s1,2=σ1±jΩ1,則再按照(6.3.14)式，H(z)為設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則試用脈沖響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器例6.3.2：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T=1s，則模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：

6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

為了克服脈沖響應(yīng)不變法會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊這一缺點(diǎn)，采用非線性頻率壓縮法——正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：(6.4.1)圖6.4.1雙線性變換法的映射關(guān)系1、變換原理

式中T是采樣間隔，當(dāng)Ω1從-π/T經(jīng)過(guò)0變化到π/T時(shí)，Ω則由-∞經(jīng)過(guò)0變化到+∞，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉(zhuǎn)換。雙線性變換的映射過(guò)程脈沖響應(yīng)不變法的映射過(guò)程

再通過(guò)轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：(6.4.3)(6.4.4)(6.4.2)

令s=jΩ,z=ejω，并代入(6.4.3)式中，有(6.4.5)圖6.4.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系(6.4.3)2、模擬濾波器的數(shù)字化3、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象s平面與z平面為單值變換

除了零頻率附近，與之間嚴(yán)重非線性缺點(diǎn)：

例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解首先按照?qǐng)D6.4.4寫(xiě)出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為

利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5例6.4.1圖——H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

(a)H1(z);(b)H2(z)圖6.4.6例6.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性

下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。

(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。

(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。

(4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。巴特沃斯低通濾波器切比雪夫低通濾波器脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法

例6.4.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。解(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。

取N=6。為求3dB截止頻率Ωc，將Ωp和αp代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時(shí)給阻帶衰減留一定余量，這對(duì)防止頻率混疊有一定好處。根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha(s)(6.2.17)④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，按照下式變換得到：圖6.4.7例6.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下：

取N=6。為求Ωc,將Ωs和αs代入(6.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)已經(jīng)超過(guò)。(6.2.18)

根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s)，④用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：圖6.4.8例6.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性

6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)思想：數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)為模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換為所需模擬濾波器數(shù)字濾波器

例如高通數(shù)字濾波器等。具體設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

(2)將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)(具體轉(zhuǎn)換公式參考本章6.2節(jié))。

(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。

(5)將模擬低通通過(guò)頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。

(6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。

例6.5.1設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8πrad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率ωs=0.44πrad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。解

(1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為

ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB(2)模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：令T=1，則有(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：

將Ωp和Ωs對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，這里Ωc=Ωp,(4)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計(jì)算如下：

查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入上式得到：(5)將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)：(6)用雙線性變換法將模擬高通Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：實(shí)際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即

例6.5.2設(shè)