高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第7節(jié)解三角形應(yīng)用舉例習(xí)題理含解析新人教A

第7節(jié)解三角形應(yīng)用舉例最新考綱能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)方法解決一些與丈量、幾何計(jì)算相關(guān)的實(shí)質(zhì)問題.知識(shí)梳理仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視野和目標(biāo)視野的夾角，目標(biāo)視野在水平視野上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視野下方叫俯角(如圖1).方向角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方向角.如B點(diǎn)的方向角為α(如圖2).3.方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.5.解決與平面幾何相關(guān)的計(jì)算問題重點(diǎn)是找清各量之間的關(guān)系，進(jìn)而應(yīng)用正、余弦定理求解.[微點(diǎn)提示]1.不要搞錯(cuò)各樣角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.在實(shí)質(zhì)問題中，可能會(huì)碰到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣辦理起來既清楚又不簡單出現(xiàn)錯(cuò)誤.1基礎(chǔ)自測判斷以下結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)東北方向就是北偏東45°的方向.( )從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.( )0，π(3)俯角是鉛垂線與視野所成的角，其范圍為2.( )(4)方向角與方向角其實(shí)質(zhì)是同樣的，均是確立察看點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的地點(diǎn)關(guān)系.( )分析(2)α＝β；(3)俯角是視野與水平線所組成的角.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(必修5P11例1改編)如下圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一丈量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就能夠計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為( )A.502mB.503mC.252mD.2522m分析由正弦定理得ABAC＝，sin∠ACBsin∠CBA又∵∠＝30°，CBA22∴＝ACsin∠ACB50×2＝50(m).＝ABsin∠CBA122答案A3.(必修5P15練習(xí)T3改編)如下圖，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝________.分析由已知得∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形，13AD＝3a，所以在Rt△ADB中，AB＝2AD＝2a.3答案2a4.(2019·雅禮中學(xué)月考)如圖，兩座燈塔A和B與海岸察看站C的距離相等，燈塔A在察看站南偏西40°，燈塔B在察看站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的( )A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東80°D.南偏西80°分析由條件及圖可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，3所以燈塔A在燈塔B的南偏西80°.答案D5.(2017·浙江卷)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)辦的“割圓術(shù)”能夠估量圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到隨意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精準(zhǔn)到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果當(dāng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________.分析如圖，連結(jié)正六邊形的對(duì)角線，將正六邊形分紅六個(gè)邊長為1的正三角形，進(jìn)而S61233＝6×2×1×sin60°＝2.33答案2226.(2018·福州模擬)如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝3，AB＝32，AD＝3，則BD的長為________.分析因?yàn)閟in∠22⊥，＝，且BAC3ADACπ22所以sin2＋∠BAD＝3，22所以cos∠BAD＝3，在△BAD中，由余弦定理，得BD＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD2（32）2＋32－2×32×3×3＝3.4答案3考點(diǎn)一求距離、高度問題多維研究角度1丈量高度問題【例1－1】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后抵達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.分析由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.BC又AB＝600m，故由正弦定理得sin45°＝sin30°，解得BC＝3002(m).3在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×3＝1006(m).答案1006規(guī)律方法1.在辦理相關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是重點(diǎn).在實(shí)質(zhì)問題中，可能會(huì)碰到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣辦理起來既清楚又不簡單搞錯(cuò).3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎲栴}.【訓(xùn)練1】如圖，丈量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)能夠選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高5AB等于( )A.56B.153C.52D.156分析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.BC30由正弦定理得sin30°＝sin135°，所以BC＝152.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.答案D角度2丈量距離問題【例1－2】如下圖，某旅行景點(diǎn)有一座景色艷麗的山岳，山上有一條筆挺的山路BC和一條索道，小王和小李打算不坐索道，而是花2個(gè)小時(shí)的時(shí)間進(jìn)行徒步登攀，已知∠ABCAC＝120°，∠＝150°，＝1km，＝3km.假定小王和小李徒步登攀的速度為每小時(shí)1ADCBDAC250米，請(qǐng)問：兩位爬山喜好者可否在2個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山岳？(即從B點(diǎn)出發(fā)抵達(dá)C點(diǎn))解在△中，由題意知，∠＝∠＝30°，ABDADBBAD所以AB＝BD＝1km，因?yàn)椤螦BD＝120°，由正弦定理得ABAD3sin＝，解得AD＝∠ADBsin∠ABDkm，6在△ACD中，222由AC＝AD＋CD－2AD·CD·cos150°，23得9＝3＋CD＋23×2CD，233－3負(fù)值舍去)，即CD＋3CD－6＝0，解得CD＝km(2BC＝BD＋CD＝33－1km，2兩個(gè)小時(shí)小王和小李可徒步登攀1250×2＝2500米，33－136－15即2.5千米，而2<2＝2＝2.5，所以兩位爬山喜好者能夠在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山岳.規(guī)律方法1.選定或確立要?jiǎng)?chuàng)立的三角形，第一確立所求量所在的三角形，若其余量已知?jiǎng)t直接求解；如有未知量，則把未知量放在另一確立三角形中求解.2.確立用正弦定理仍是余弦定理，假如都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.【訓(xùn)練2】海輪“和睦號(hào)”從A處以每小時(shí)21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號(hào)”在A處北偏東45°的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105°的方向以每小時(shí)9海里的速度行駛，則海輪“和睦號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為________小時(shí).分析設(shè)海輪“和睦號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為x小時(shí)，如圖，則由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°.由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos120°，整理，得36x2－9x－10＝0，25解得x＝3或x＝－12(舍).72所以海輪“和睦號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為3小時(shí).答案

23考點(diǎn)二丈量角度問題【例2】已知島A南偏西38°方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島嶼北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰巧用0.5小時(shí)能截住該走私船？5333參照數(shù)據(jù)：sin38°≈14，sin22°＝14解如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC＝0.5x，AC＝5，依題意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得222°，BC＝AB＋AC－2AB·ACcos1202所以BC＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.5×3AC·sin∠BAC253又由正弦定理得sin∠ABC＝BC＝7＝14，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，8故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰巧用0.5小時(shí)截住該走私船.規(guī)律方法1.丈量角度問題的重點(diǎn)是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)質(zhì)問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出相關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)質(zhì)問題的解.2.方向角是相關(guān)于某點(diǎn)而言的，所以在確立方向角時(shí)，一定先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.【訓(xùn)練3】如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°分析依題意可得＝2010m，＝305m，ADAC又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠＝AC2＋AD2－CD2（305）2＋（2010）2－502＝CAD2AC·AD2×305×20106000260002＝2，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.答案B考點(diǎn)三正(余)弦定理在平面幾何中的應(yīng)用92π︵【例3】(2019·洛陽二模)如圖，已知扇形的圓心角∠AOB＝3，半徑為42，若點(diǎn)C是AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合).︵若弦BC＝4(3－1)，求BC的長；求四邊形OACB面積的最大值.解(1)在△OBC中，BC＝4(3－1)，OB＝OC＝42，所以由余弦定理得cos∠＝OB2＋OC2－BC23＝，BOC2OB·OC2π所以∠BOC＝6，︵π22于是BC的長為6×42＝3π.(2)設(shè)∠AOCθ，θ∈3BOC3θ，＝0，2π，則∠＝2π－四邊形OACB△AOC△BOC112π－θS＝S＋S＝2×42×42sinθ＋2×42×42·sin3＝24sinθ＋83cosθ＝163sinπθ＋6，2π因?yàn)棣取?，3，ππ5π所以θ＋6∈6，6，當(dāng)θ＝π時(shí)，四邊形的面積獲得最大值163.3OACB規(guī)律方法1.把所供給的平面圖形拆分紅若干個(gè)三角形，而后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解.2.找尋各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交錯(cuò)使用公共條件，求出結(jié)果，求解時(shí)要靈巧利用平面幾何10的性質(zhì)，將幾何性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)聯(lián)合起來.【訓(xùn)練4】(2019·成都診療)如圖，在平面四邊形中，已知＝π，＝2π，＝6.ABCDA2B3AB2π在AB邊上取點(diǎn)E，使得BE＝1，連結(jié)EC，ED.若∠CED＝3，EC＝7.求sin∠BCE的值；求CD的長.解(1)在△中，由正弦定理，知BE＝CE，BECsin∠BCEsinB2π因?yàn)锽＝3，BE＝1，CE＝7，3所以sin∠BCE＝BE·sinB221.CE＝＝714(2)因?yàn)椤希剑?π，所以∠＝∠，CEDB3DEABCE357所以cos∠DEA＝1－sin2∠DEA＝1－sin2∠BCE＝1－28＝14.π因?yàn)锳＝2，所以△AED為直角三角形，又AE＝5，所以ED＝AE＝5＝27.7cos∠DEA514在△CED中，2221CD＝CE＋DE－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×－2＝49.所以CD＝7.11[思想升華]利用解三角形解決實(shí)質(zhì)問題時(shí)：(1)要理解題意，整合題目條件，畫出表示圖，成立一個(gè)三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方向角、方向角等觀點(diǎn)；(3)三角函數(shù)模型中，要確立相應(yīng)參數(shù)和自變量范圍，最后還要查驗(yàn)問題的實(shí)質(zhì)意義.[易錯(cuò)防備]在三角形和三角函數(shù)的綜合問題中，要注意邊角關(guān)系互相限制，推理題中的隱含條件.基礎(chǔ)穩(wěn)固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題在相距2km的A，B兩點(diǎn)處丈量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為( )A.6kmB.2kmC.3kmD.2km分析如圖，在△中，由已知可得∠＝45°，∴AC＝2，ABCACBsin60°sin45°3∴AC＝22×2＝6(km).答案A2.如下圖，為了丈量某湖泊雙側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)第一選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)，而后給出了三種丈量方案：①丈量A，C，b；②丈量a，b，C；③丈量A，B，a.則必定能確立A，B間的距離的全部方案的序號(hào)為( )12A.①②B.②③C.①③D.①②③分析關(guān)于①③能夠利用正弦定理確立獨(dú)一的A，B兩點(diǎn)間的距離，關(guān)于②直接利用余弦定理即可確立A，B兩點(diǎn)間的距離.答案D3.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后抵達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處察看燈塔，其方向是南偏東70°，在B處察看燈塔，其方向是北偏東65°，那么，C兩點(diǎn)間的距離是()BA.102海里B.103海里C.203海里D.202海里分析如下圖，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，BCAB依據(jù)正弦定理得sin30°＝sin45°，解得BC＝102(海里).答案A4.(2019·深圳模擬)一架直升飛機(jī)在200m高度處進(jìn)行測繪，測得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°，則塔高為( )4004003A.3mB.3m132003200C.3mD.3m分析如下圖.在Rt△ACD中可得CD＝20033＝BE，ABBE在△ABE中，由正弦定理得sin30°＝sin60°，200200400則AB＝3，所以DE＝BC＝200－3＝3(m).答案A如圖，從氣球A上測得正前面的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于( )A.240(3－1)mB.180(2－1)mC.120(3－1)mD.30(3＋1)m分析如圖，14∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在Rt△中，＝AD＝60＝603(m)，ACDCDtan∠ACDtan30°在Rt△ABD中，BD＝AD60＝60＝60(2－3)(m)，＝tan∠ABDtan75°2＋3∴＝－＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m).BCCDBD答案C二、填空題如圖，在△ABC中，B＝45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD＝5，AC＝7，DC＝3，則AB＝________.分析在△ACD中，由余弦定理可得49＋9－2511cosC＝2×7×3＝14，3則sinC＝14.在△ABC中，由正弦定理可得ABACsinC＝sinB，53ACsinC7×1456則AB＝sinB＝2＝2.256答案2如圖，某住所小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)進(jìn)出口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小道CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘.若這人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米.15分析連結(jié)OC，由題意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.在△中，由余弦定理得2＝2＋2－2··cos60°，即＝507.CODOCCDODCDODOC答案5078.如下圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等候營救.信息中心立刻把信息見告在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前去B處營救，則cosθ的值為________.分析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得2227.BC＝AB＋AC－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20由正弦定理，得ABBC＝sin∠ACBsin∠BAC∠＝AB21?sin·sin∠BAC＝7.ACBBC27由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝7.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)21cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝14.答案

211416三、解答題9.如圖，航空丈量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛翔高度為10000m，速度為50m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)母叨葹槎嗌倜祝?取2＝1.4，3＝1.7)解如圖，作CD垂直于AB的延伸線于點(diǎn)D，由題意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB30°，AB＝50×420＝21000(m).又在△ABC中，BCAB＝，sinAsin∠ACB所以BC＝21000×sin15°＝10500(6－2).12因?yàn)镃D⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10500(6－2)×2＝10500(3－1)27350(m).故山頂?shù)母叨葹?0000－7350＝2650(m).3π在△ABC中，A＝4，AB＝6，AC＝32，點(diǎn)D在BC邊上，AD＝BD，求AD的長.解設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別是a，b，c，由余弦定理，得2＝b2＋c2－2bccos∠＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π＝18＋36－(－aBAC436)＝90，17所以a＝310.又由正弦定理，得sinB＝bsin∠BAC310＝＝，a31010π由題設(shè)知0<B<4，所以cosB＝1－sin2B＝1－131010＝10.在△ABD中，因?yàn)锳D＝BD，所以∠＝∠，所以∠＝π－2.ABDBADADBB由正弦定理，得＝AB·sinB＝6sinB＝3＝.ADsin（π－2B）2sinBcosBcosB10能力提高題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2018·衡水質(zhì)檢)某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀察儀器的垂直彈射高度：在C處(點(diǎn)C在水平川面下方，O為CH與水平川面ABO的交點(diǎn))進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平川面上兩個(gè)察看點(diǎn)A，B兩地相距100米，∠BAC＝60°，此中A到C的距離比B到C的距離遠(yuǎn)40米.A地測得該儀器在C處的俯角為∠OAC＝15°，A地測得最高點(diǎn)H的仰角為∠HAO＝30°，則該儀器的垂直彈射高度CH為( )A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米222分析由題意，設(shè)AC＝x米，則BC＝(x－40)米，在△ABC內(nèi)，由余弦定理：BC＝BA＋CA2BA·CA·cos∠BAC，18即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420(米).在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CH＝AC.sin∠CAHsin∠AHCsin∠CAH可得CH＝AC·＝1406(米).sin∠AHC答案B12.校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀