上海華東師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

上海華東師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若不等式對(duì)于一切正數(shù)、恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為

（

）A

2

B

C

D

參考答案：D2.在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)，最后確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第四象限，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)后判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.3.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z（1﹣i）=2（i是虛數(shù)單位），則z=(

) A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i參考答案：A考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．解答： 解：∵z（1﹣i）=2，∴z（1﹣i）（1+i）=2（1+i），∴z=1+i．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．4.已知都是負(fù)實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：答案：B5.f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若對(duì)任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），則a的取值范圍是（）A． B． C．[3，+∞） D．（0，3]參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的值域；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．

【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先求出兩個(gè)函數(shù)在[﹣1，2]上的值域分別為A、B，再根據(jù)對(duì)任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），集合B是集合A的子集，并列出不等式，解此不等式組即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍，注意條件a＞0．【解答】解：設(shè)f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），在[﹣1，2]上的值域分別為A、B，由題意可知：A=[﹣1，3]，B=[﹣a+2，2a+2]∴∴a≤又∵a＞0，∴0＜a≤故選：A【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)中檔題．考查函數(shù)的值域，難點(diǎn)是題意的理解與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．同時(shí)也考查了同學(xué)們觀(guān)察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，6.已知點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，且點(diǎn)到雙曲線(xiàn)右準(zhǔn)線(xiàn)的距離是到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的等差中項(xiàng)，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為

A．

B．

C．

D．參考答案：C7.在銳角ABC中，若C=2B，則的范圍是（

）A.（0，2）

B.

C.

D.

參考答案：C8.已知F是拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則||FA|2﹣|FB|2|的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】K8：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，求得直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求得x1=3，x2=，然后根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，答案可得．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（1，0），則直線(xiàn)方程為y=（x﹣1），代入拋物線(xiàn)方程得3x2﹣10x+3=0∴x1=3，x2=，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知||FA|2﹣|FB|2|=|（3++2）（3﹣）|=，故選B．9.已知?jiǎng)t的最小值為（

）A.2

B.1

C.

D.參考答案：B10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈[﹣2，2]，則輸出的S屬于（）A．[﹣6，﹣2] B．[﹣5，﹣1] C．[﹣4，5] D．[﹣3，6]參考答案：D【分析】根據(jù)程序框圖，結(jié)合條件，利用函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：若0≤t≤2，則不滿(mǎn)足條件輸出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，則滿(mǎn)足條件，此時(shí)t=2t2+1∈（1，9]，此時(shí)不滿(mǎn)足條件，輸出S=t﹣3∈（﹣2，6]，綜上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第

象限．參考答案：

四

12.已知函數(shù)f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是

參考答案：.①②④略13.已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則的值為_(kāi)___________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】-1設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）y'|x=m==1解得，m=1切點(diǎn)（1，n）在曲線(xiàn)y=lnx的圖象上

∴n=0，而切點(diǎn)（1，0）又在直線(xiàn)y=x+a上∴a=-1故答案為-1．【思路點(diǎn)撥】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)切點(diǎn)既在曲線(xiàn)y=lnx-1的圖象上又在直線(xiàn)y=x+a上，即可求出b的值．14.函數(shù)f（x）=lnx﹣x+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化；函數(shù)的零點(diǎn)．專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合．分析：要求函數(shù)的零點(diǎn)，只要使得函數(shù)等于0，移項(xiàng)變成等號(hào)兩個(gè)邊分別是兩個(gè)基本初等函數(shù)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，看出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解答：解：∵f（x）=lnx﹣x+2=0∴x﹣2=lnx令y1=lnx，y2=x﹣2根據(jù)這兩個(gè)函數(shù)的圖象在同一個(gè)坐標(biāo)系中的位置關(guān)系知，兩個(gè)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴原函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是把一個(gè)函數(shù)變化為兩個(gè)基本初等函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法得到結(jié)果，屬基礎(chǔ)題．15.函數(shù)相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且最小值為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是___________.參考答案：16.已知?jiǎng)t的值為

.參考答案：3略17.若a>0，則的最小值是____________．參考答案：5三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.△ABC三內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若,求△ABC面積的最大值.參考答案：(Ⅰ)由正弦定理知,,,其中R為△ABC外接圓半徑,則.即.

（2分）又∵,,即,

（4分）.,∴.又∵B為的內(nèi)角,∴.

（6分）(Ⅱ)解法一:由余弦定理,即,,則,

（9分）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，,故的最大值為.

（12分）解法二:由正弦定理,得,同理得,

（8分）====,

（11分）故當(dāng),即時(shí),的面積有最大值為.

（12分）19.（本小題滿(mǎn)分13分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程及其離心率；（Ⅱ）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線(xiàn)（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)钠椒志€(xiàn)為時(shí)，求直線(xiàn)的斜率．參考答案：（Ⅰ）,;（Ⅱ）（Ⅰ）把點(diǎn)代入，可得．故橢圓的方程為，橢圓的離心率為．……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：．當(dāng)?shù)钠椒志€(xiàn)為時(shí)，由和知：軸．記的斜率分別為．所以，的斜率滿(mǎn)足……6分設(shè)直線(xiàn)方程為，代入橢圓方程并整理可得，．

設(shè)，則

又，則，．……8分

所以=

…………11分即．

．

……………13分20.（本小題共14分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上且過(guò)點(diǎn)，離心率是．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)的方程.參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為.由已知可得………………3分解得，.故橢圓的方程為．………6分（Ⅱ）由已知，若直線(xiàn)的斜率不存在，則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的方程為，此時(shí)，顯然不成立．…………7分若直線(xiàn)的斜率存在，則設(shè)直線(xiàn)的方程為．則整理得．………………9分由

．設(shè)．故，①

．②………………10分因?yàn)椋矗邰佗冖勐?lián)立解得．

………………13分

所以直線(xiàn)的方程為和．……………14分21. 已知函數(shù) （I）若函數(shù)滿(mǎn)足f（1）=2，且在定義域內(nèi)f（x）≥bx2+2x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍； （II）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（III）當(dāng)參考答案：

解：（Ⅰ）由f（1）=2，得a=1，又x＞0，∴x2+x﹣xlnx）≥bx2+2x恒成立?1﹣﹣≥b，令g（x）=1﹣﹣，可得g（x）在（0，1]上遞減，在[1，∞）上遞增，所以g（x）min=g（1）=0，即b≤0.

----------------------------------------------（4分）（Ⅱ）f′（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），令f′（x）≥0得：2a≥，設(shè)h（x）=，當(dāng)x=e時(shí)，h（x）max=，∴當(dāng)a≥時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增…（5分）若0＜a＜，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣，g′（x）=0，x=，x∈（0，），g′（x）＜0，x∈（，+∞），g′（x）＞0，∴x=時(shí)取得極小值，即最小值．而當(dāng)0＜a＜時(shí)，g（）=1﹣ln＜0，f′（x）=0必有根，f（x）必有極值，在定義域上不單調(diào)∴a≥

.---------------------------------------------------------------（8分）（Ⅲ）由（I）知g（x）=1﹣在（0，1）上單調(diào)遞減，∴＜x＜y＜1時(shí)，g（x）＞g（y）即＜而＜x＜y＜1時(shí)，﹣1＜lnx＜0，∴1+lnx＞0，∴＜

.------------------------------------------------------------（12分）

略22.（本小題滿(mǎn)分13分）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（Ⅰ）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的