云南省昆明市石林彝族自治縣北大村鄉(xiāng)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

云南省昆明市石林彝族自治縣北大村鄉(xiāng)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=mq－np，下面說法錯誤的是

A．若a與b共線，則a⊙b=0

B．a(chǎn)⊙b=b⊙a(bǔ)

C．對任意的R，有（a）⊙b=（a⊙b）D．（a⊙b）2+（a·b）2=|a|2|b|2參考答案：B由定義知：a⊙b=mq－np：所以選項(xiàng)A正確；又b⊙a(bǔ)=pn-mq≠a⊙b=mq－np，所以選項(xiàng)B錯誤；（a）⊙b=，(a⊙b)=(mq－np)=所以對任意的R，有（a）⊙b=（a⊙b），選項(xiàng)C正確；（a⊙b）2+（a·b）2=(mq－np)2+(mp+nq)2=，|a|2|b|2=，所以（a⊙b）2+（a·b）2=|a|2|b|2，因此D正確。3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．12 B．18 C．24 D．30參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體是三棱柱消去一個同底的三棱錐，根據(jù)三視圖判斷三棱柱的高及消去的三棱錐的高，判斷三棱錐與三棱柱的底面三角形的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入棱柱與棱錐的體積公式計算．【解答】解：由三視圖知：幾何體是三棱柱消去一個同底的三棱錐，如圖：三棱柱的高為5，消去的三棱錐的高為3，三棱錐與三棱柱的底面為直角邊長分別為3和4的直角三角形，∴幾何體的體積V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故選：C．4.已知函數(shù)的部分圖像如圖，當(dāng)，滿足的的值為

（

）A

B

C

D

參考答案：D5.已知，且，下列不等式成立的是A．

B．C．

D．參考答案：D6.給出下列說法：①“”是“”的充分不必要條件；②命題“，”的否定是“，”；③小趙、小錢、小孫、小李到4個景點(diǎn)旅游，每人只去一個景點(diǎn)，設(shè)事件A為“4個人去的景點(diǎn)不相同”，事件B為“小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)”，則；④設(shè)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)的估計值是6587.（注：若，則，）其中正確說法的個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】①求出使的x即可判斷；②全稱命題的否定是特稱命題，根據(jù)書寫規(guī)則來判斷；③利用條件概率的計算公式計算即可；④利用正太分布的對稱性計算即可.【詳解】解：①由，故“”是“”的充分不必要條件，①正確；②命題“，”的否定是“，”，②錯誤；③由條件概率的計算公式得，③正確；④由已知落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)的估計值是，④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查充分性必要性的判斷，考查條件概率的求解，考查正太分布對稱性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.7.已知集合,則

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀一定是(

)(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等邊三角形

(D)等腰直角三角形參考答案：A9.已知復(fù)數(shù)z=1+i，則下列命題中正確的個數(shù)為（）①；②；③z的虛部為i；④z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第一象限．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】利用復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、虛部與復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系即可判斷出正誤．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=1+i，①，正確；②，正確；③z的虛部為1；④z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)（1，1）在第一象限．可得：①②④正確，③錯誤．故選：C．10.歐拉公式eix=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占用非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】e2i=cos2+isin2，根據(jù)2∈，即可判斷出．【解答】解：e2i=cos2+isin2，∵2∈，∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），∴e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第二象限．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的歐拉公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（文）定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，下面五個關(guān)于的命題：①是周期函數(shù)；②圖像關(guān)于對稱；③在上是增函數(shù)；④在上為減函數(shù)；⑤，其中的真命題是

．（寫出所有真命題的序號）

參考答案：①②⑤12.角的終邊過P,則角的最小正值是

．參考答案：試題分析：由任意角的三角函數(shù)定義，，所以，時，角的最小正值是．考點(diǎn)：1．任意角的三角函數(shù)；2．三角函數(shù)誘導(dǎo)公式．13.某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為且圓心角為的扇形，此圓錐的母線長為

，體積為

.參考答案：3

14.在區(qū)間[0，p]中，三角方程cos7x=cos5x的解的個數(shù)是

．參考答案：7解：7x=5x+2kπ，或7x=－5x+2kπ，(k∈Z)Tx=kπ，x=kπ(k∈Z)，共有7解．15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：與圓：切于點(diǎn)2，2，則的值構(gòu)成的集合是

．參考答案：{，9}依題意，，且，聯(lián)立方程組解得或，即或，從而或；16.（13分）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為，點(diǎn)Q在橢圓C上且滿足條件：=2，–2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)A、B為橢圓上不同的兩點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，若(∈R)且，試問：是否為定值．若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由。參考答案：解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，∵e=，∴a=2c∴，．又–2

∴cos∠F1QF2=．由|F1F2|2=|QF1|2+|QF2|2–2|QF|·|QF2|cos∠F1QF2得a=2，c=1，b2=3∴橢圓C的方程為．

……5分（Ⅱ）依題意可知，點(diǎn)M為由點(diǎn)O向直線AB所作的垂線的垂足．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)（1）當(dāng)x1=x2時，直線OA、OB的斜率分別為±1，解方程組得x=±．∴．

……6分（2）當(dāng)x1≠x2時，設(shè)AB的直線方程為：y=kx+m，代入得(3+4k2)x2+8mkx+4m2–12=0x1+x2=，x1·x2=

……8分∵，∴=∴7m2=12(k2+1)

∴

……11分又∵．綜上所述．

……13分17.在等腰△ABC中，D是腰AC的中點(diǎn)，若，則__________．參考答案：【分析】設(shè),可得，，由，可得的值，可得答案.【詳解】解：如圖設(shè)，由題意易得得：，在中，由正弦定理，在中有，兩式相除可得，可得,有，可得，可得，可得可得，由，可得，故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考察解三角形中的正弦定理，及兩角和的余弦公式等，綜合性大，難度較大.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C.參考答案：解：(1)因?yàn)锳∩B＝{2}，所以4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0，即a＝－8，b＝－5，所以A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．(2)因?yàn)锳∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}，所以(A∪B)∩C＝{2}．19.

某礦產(chǎn)品按純度含量分成五個等級，純度X依次為A、B、C、D、E．現(xiàn)從一批該礦產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20件，對其純度進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下： （I）若所抽取的20件礦產(chǎn)品中，純度為D的恰有3件，純度為E的恰有2件，求a、b、c的值； （II）在（I）的條件下，從純度為D和E的5件礦產(chǎn)品巾任取兩件（每件礦產(chǎn)品被取出的可能性相同），求這兩件礦產(chǎn)品的純度恰好相等的概率．參考答案：略20.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)；（2）若函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，求證：．參考答案：解：（1），當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)

在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當(dāng)時在上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時，在上有一個極值點(diǎn)．

…………4分（注：分類討論少一個扣一分．）（2）∵函數(shù)在處取得極值，∴，

…………5分∴，

令，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．

…………8分（3）證明：，令，則只要證明在上單調(diào)遞增，………9分又∵，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增．∴，即，∴在上單調(diào)遞增，即，∴當(dāng)時，有．

………………12分略21.（13分）設(shè)f（x）=ex（lnx﹣a）（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．（1）若y=f（x）在x=1處的切線方程為y=2ex+b，求a、b的值；（2）若[，e]是y=f（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】綜合題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），結(jié)合y=f（x）在x=1處的切線方程為y=2ex+b列式求得a，b的值；（2）由[，e]是y=f（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間，可知f′（x）=≤0在[，e]上恒成立，即≤0在[，e]上恒成立，構(gòu)造函數(shù)[，e]，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g（x）在[，e]上的最小值得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=ex（lnx﹣a），∴f′（x）=，∵y=f（x）在x=1處的切線方程為y=2ex+b，∴k=f′（1）=e（ln1+）=2e，∴a=﹣1，∴f（x）=ex（lnx+1），∴f（1）=e，又∵（1，e）也在y=2ex+b上，∴e=2e+b，則b=﹣e；（2）∵y=f（x）在[，e]上單調(diào)遞減，∴f′（x）=≤0在[，e]上恒成立，即≤0在[，e]上恒成立，令[，e]，∴g′（x）=，當(dāng)x∈[，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，e]時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，又∵g（e）=1+，g（）=﹣1+e，∴g（）＞g（e），∴．∴要使≤0在[，e]上恒成立，只需a≥e﹣1，即a的取值范圍是[e﹣1，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了利用分離參數(shù)證明恒成立問題，是中檔題．22.（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=600，AB=EC=2,AE=BE=．（1）求證：平面EAB⊥平面ABCD；（2）求二面角A-EC-D的余弦值．參考答案：解法1：（1）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接EO,CO∵，AB=2

∴△ABC為等腰三角形∴,EO=1

又∵AB=BC，∠ABC=600∴△ABC為等邊三角形

∴,又EC=2∴

即，平面ABCD，且平面EAB

∴平面EAB⊥平面ABCD，

…………6 分（2）過A作AH⊥CE于H點(diǎn)，過H作HM//CD,又Rt△EDO解得DE=，

所以即,所以