量綱分析和相似原理

量綱分析和相似原理1第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日流體力學常用物理量的量綱5.1量綱分析2第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日5.1量綱分析量綱齊次性原理：完整物理方程中各項的量綱必須相同。以單位重量的流體沿流線能量守恒形式的伯努利方程為例方程左邊各項的量綱依次為對于量綱齊次的方程用方程中的任一項去除其它項，可以使方程無量綱化，從而減少方程的變量個數(shù)。3第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.Π定理（白金漢定理）對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果可以用n個變量來描述，寫成數(shù)學表達式為：f(x1,x2,x3,…,xn)=0,而這些變量含有m個基本量綱，則該現(xiàn)象可以用(n-m)個無量綱量數(shù)組的表達式來描述，即F(1,2,…n-m)=0無量綱量數(shù)組的組成方式：在n個變量中取m個量綱不同的量作為基本變量，并把基本變量與其它變量中的一個組成數(shù)組，共組成（n-m）個無量綱數(shù)組，例取x1,x2,x3為基本變量，則數(shù)組為：………..5.1量綱分析4第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日應用白金漢定理求某現(xiàn)象的無量綱數(shù)組的方法步驟：（1）列與該物理現(xiàn)象相關的全部n個變量

（2）找出基本量綱，設為m個

（3）從n個變量中選出包含全部基本量剛的m個基本變量（4）用基本變量與其它的任一個變量組成無量綱方程，并解出

n-m個無量綱數(shù)組

（5）利用無量綱數(shù)組建立描述該現(xiàn)象的方程【例5-1】不可壓粘性流體在圓管道內流體流動的壓降p與下列因素有關：管徑d、管長l、管壁粗糙度ε、管內流體密度、流體的動力粘度，以及斷面平均流速v有關。試用定理推出壓降p的表達形式。5.1量綱分析5第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日5.1量綱分析【解】（1）該流動現(xiàn)象共有7個變量p,d,l,ε,,,v（2）基本量剛為L，M，t，所以m=3（3）選出m=3個基本變量：、v、d（4）組成n-m=4個無量綱數(shù)組，求解將上述表達式寫成量綱形式解得a1=-1,b1=-2,c1=0,故6第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日解得a2=-1,b2=-1,c2=-1,故解得a3=0,b3=0,c3=-1,故解得a4=0,b4=0,c4=-1,故5.1量綱分析7第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日（5）所解問題用無量綱數(shù)表示的方程為5.1量綱分析上述公式還可以寫成對于給定長度和直徑的管道進行適當?shù)淖儞Q后有令則——達西公式。為沿程阻力系數(shù)。8第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日5.1量綱分析3.Π定理的幾點說明（1）無量綱數(shù)組的特性 ①對于確定的物理現(xiàn)象，無量綱數(shù)組個數(shù)是固定的

但是形式上不是唯一的

②無量綱數(shù)的算術運算的結果仍是無量綱數(shù)（2）作用在流體上的力壓力慣性力黏性力重力表面張力彈性力9第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日5.1量綱分析（3）流體力學中常見的無量綱數(shù)組①雷諾數(shù)②歐拉數(shù)③弗勞德數(shù)④韋伯數(shù)10第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日5.1量綱分析⑤馬赫數(shù)⑥毛細數(shù)（4）量綱分析的物理意義簡化試驗方案物理量量綱的推導校驗方程確定相似試驗條件11第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日5.2相似原理與模型實驗為使模型流動能表現(xiàn)出實型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動上預測出實型流動的結果，就必須使兩者在流動上相似，即兩個互為相似流動的對應部位上對應物理量都有一定的比例關系。（1）幾何相似（空間相似）1.相似的概念——兩流動的對應邊長成同一比例，對應角相等。線性比例系數(shù)面積比例系數(shù)體積比例系數(shù)基本比例常數(shù)12第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日（2）時間相似——對應的時間間隔成比例對圖示的兩種管內流動其平均速度變化的時間間隔成比例5.2相似原理與模型實驗13第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日（3）運動相似——速度（加速度）場相似在不同的流動空間中，對應點、對應時刻上的速度（加速度）方向一致，大小成比例速度比例常數(shù)加速度比例常數(shù)流量比例常數(shù)基本比例常數(shù)5.2相似原理與模型實驗14第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日（4）力相似——力場的幾何相似，作用在流體上的各種力的方向對應

一致，大小成比例。如圖所示力比例常數(shù)密度比例常數(shù)基本比例常數(shù)5.2相似原理與模型實驗15第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日用基本比例常數(shù)表示的其他比例常數(shù)質量比例常數(shù)力比例常數(shù)壓強比例常數(shù)運動粘度比例常數(shù)動力粘度比例常數(shù)5.2相似原理與模型實驗16第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.相似原理描述流體運動和受力關系的是流體運動微分方程，兩流動要滿足相似條件就必須同時滿足該方程，并且單值條件必須相似，包括幾何條件、物理條件、邊界條件、初始條件等。【例5-2】以不可壓縮流體定常流動的N-S微分方程為例導出相似準則?！窘狻縉-S微分方程在x方向上的投影為與其相似的流動中流體質點的方程為(a)(b)5.2相似原理與模型實驗17第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日由相似準則必然有將（c）代入（b）,并整理后有(c)(d)式（a）和（d）相比較有(e)說明各相似倍數(shù)不是任意選取的，而是受上式約束的。5.2相似原理與模型實驗18第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日將式（e）后三項分別去除第一項，則有，即，即，即不可壓定常流相似，他們的弗勞德數(shù)、歐拉數(shù)、雷諾數(shù)必相等相似原理可表述為：兩種流動現(xiàn)象相似的充分必要條件是：能夠用同一微分方程描述同一種類的現(xiàn)象；并且滿足單值條件相似；有單值條件中的物理量組成相似準則相等5.2相似原理與模型實驗這些無量綱數(shù)組稱為相似準則或相似判據(jù)19第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日3.相似原理的應用應用相似原理進行試驗研究的步驟：（1）分析導出的相似準則，判斷決定性準則

（2）根據(jù)選定的相似準則設計實驗方案

（3）確定實驗中要測量的物理量，測定相似準則中的物理量（4）將實驗結果換算到實物系統(tǒng)中4.相似原理和量綱分析的比較相似理論：從微分方程出發(fā)導出無量綱數(shù)組

得到的相似準則具有確定的物理意義量綱分析：對試驗涉及的物理現(xiàn)象進行分析得到無量綱判據(jù) 通常不考慮無量綱數(shù)的物理意義，應用范圍比相

似理論要廣泛5.2相似原理與模型實驗20第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日1.全面力學相似試驗所有的相似準則都分別相等的相似試驗實際的工程應用中很難保證所有的相似準則都相等，例如粘性不可壓定常流動，要求模型和原型中的Re和Fr同時相等即若采用的流動介質相同，則為了保證Fr數(shù)相等與保證Re相等的條件矛盾5.2相似原理與模型實驗21第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.近似模化法在重力起主要作用的流動中，使實物和模型的Fr數(shù)相等（1）弗勞德?；ㄗブ饕?，簡化相似條件適合于管內粘性流動的阻力損失的研究，保證Re數(shù)相等（2）雷諾?；ㄟm合于雷諾數(shù)很小或很大的“自?；绷鲃?，流動與雷諾數(shù)關系不大，此時可只考慮壓強與慣性力的比值歐拉數(shù)相等。（3）歐拉?；?.2相似原理與模型實驗22第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日【例5-3】管徑d=50mm的輸油管，裝有彎頭、開關等局部阻力裝置，安裝前需要測定壓強損失，在實驗室用空氣進行試驗。已知20℃時油的密度ρ油=889.6kg/m3;油的粘度ν油=10-6m2/s;空氣的密度ρ氣=1.2kg/m3;空氣的的粘度ν氣=15.7x10-6m2/s。試確定（1）當輸油管中油的流速為2m/s時，實驗室中空氣在管內的流速為多少？（2）通過空氣測得管道壓強損失Δp氣=7747N/m2，油液通過輸油管時的壓強損失Δp油為多少？5.2相似原理與模型實驗【解】（1）管內流動粘性力起主要因素，雷諾數(shù)必須相等23第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日5.2相似原理與模型實驗由于管道直徑相同（2）要對壓力進行相似，必須滿足歐拉數(shù)相等24第二十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日3.方程分析法

利用描述物理現(xiàn)象的微分方程組和全部單值條件導出相似準則。常用的方程分析法有：相似轉換