高考數(shù)學(xué)刷題首秧第八章概率與統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)測(cè)試57坐標(biāo)系與參數(shù)方程文含解析

考點(diǎn)測(cè)試57坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考概覽本考點(diǎn)是高考必考知識(shí)點(diǎn)，題型為解答題，分值10分，中等難度考綱研讀1．認(rèn)識(shí)坐標(biāo)系的作用，認(rèn)識(shí)在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化狀況2．認(rèn)識(shí)極坐標(biāo)的基本觀點(diǎn)，會(huì)在極坐標(biāo)系頂用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的地點(diǎn)，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化3．能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程4．認(rèn)識(shí)參數(shù)方程，認(rèn)識(shí)參數(shù)的意義5．能選擇適合的參數(shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程一、基礎(chǔ)小題x＝3t2＋2，1．參數(shù)方程為(0≤t≤5)的曲線為( )y＝t2－1A．線段B．雙曲線的一支C．圓弧D．射線答案A分析化為一般方程為x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，因?yàn)閤＝3t2＋2∈[2，77]，故曲線為線段．應(yīng)選A．x＝－2＋tcos30°，2．直線(t為參數(shù))的傾斜角為( )y＝3－tsin60°A．30°B．60°C．90°D．135°1答案D分析將直線參數(shù)方程化為一般方程為x＋y－1＝0，其斜率k＝－1，故傾斜角為135°．應(yīng)選D．π3．在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)22，4作圓ρ＝4sinθ的切線，則切線的極坐標(biāo)方程是( )A．ρsinθ＝2B．ρcosθ＝2ππC．ρsinθ－3＝2D．ρcosθ－3＝2答案B分析ρ＝4sinθ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，而點(diǎn)π2，4化為直角坐標(biāo)是(2，2)，過(2，2)作圓的切線，其方程為x＝2，即ρcosθ＝2．應(yīng)選B．4．在極坐標(biāo)系中，過圓ρ＝6cosθ的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為________．答案ρcosθ＝3分析把ρ＝6cosθ兩邊同乘ρ，得ρ2＝6ρcosθ，所以圓的一般方程為2＋y2－6xx＝0，即(－3)2＋2＝9，圓心為(3，0)，故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝3．xy5．在極坐標(biāo)系中，直線ρsinπ＝2被圓ρ＝4所截得的弦長(zhǎng)為________．θ＋4答案43分析分別將直線與圓的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程為x＋y－22＝0，x2＋y2＝16，則圓心O到直線x＋y－2|－22|16－4＝23，所以弦長(zhǎng)2＝0的距離d＝＝2，半弦長(zhǎng)為2為43．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸成立極坐標(biāo)系．曲2線C的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ＋sinx＝t2，θ)＝－2，曲線C的參數(shù)方程為(t為參12y＝22t數(shù))，則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________．答案(2，－4)分析曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝－2，曲線C2的一般方程為y2＝8x，由x＋y＝－2，x＝2，(2，－4)．得所以1與2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為y2＝8xy＝－4，CC二、高考小題7．(2018·北京高考)在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ＋ρsinθ＝a(a>0)與圓ρ＝2cosθ相切，則a＝________．答案1＋2cosθ＝x，分析由ρsinθ＝y(tǒng)，可將直線ρcosθ＋ρsinθ＝a化為x＋y－a＝0，將ρ2＝x2＋y2，＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ化為x2＋y2＝2x，整理成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝1．又∵直線與圓相切，∴圓心(1，0)到直線x＋－＝0的距離＝|1－a|＝1，解得a＝1±2，∵2>0，∴a＝1＋2．a(chǎn)2x＝－1＋2t，(t8．(2018·天津高考)已知圓x2＋y2－2x＝0的圓心為C，直線2y＝3－2t為參數(shù))與該圓訂交于A，B兩點(diǎn)，則△ABC的面積為________．答案12分析由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝1，直線的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0，|1＋0－2|22則圓心到直線的距離d＝2＝2，由弦長(zhǎng)公式可得|AB|＝2×1－22＝2，則121△ABC＝×2×＝．S22239．(2017·北京高考)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)，則|AP|的最小值為________．答案1分析由ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圓心坐標(biāo)為C(1，2)，半徑長(zhǎng)為1．∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)，∴點(diǎn)P在圓C外．又∵點(diǎn)A在圓C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1．10．(2017·天津高考)在極坐標(biāo)系中，直線4ρcosπ＋1＝0與圓ρ＝2sinθ的θ－6公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．答案2π分析由4ρcosθ－6＋1＝0得23ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，故直線的直角坐標(biāo)方程為23x＋2y＋1＝0．由ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ，故圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1．圓心為(0，1)，半徑為1．∵圓心到直線23x＋2y＋1＝0的距離|2×1＋1|3＝＝＜1，42223＋2∴直線與圓訂交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．三、模擬小題11．(2018·北京通州月考)下邊直線中，平行于極軸且與圓ρ＝2cosθ相切的是( )A．ρcosθ＝1B．ρsinθ＝1C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝24答案B分析由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝1，所以圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑為1．與x軸平行且與圓相切的直線方程為y＝1或y＝－1，則極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝1或ρsinθ＝－1，所以選B．x＝－1＋cosα，12．(2018·合肥調(diào)研)已知圓C的參數(shù)方程為y＝1＋sinα(α為參數(shù))，當(dāng)圓心C到直線kx＋y＋4＝0的距離最大時(shí)，k的值為( )1111A．3B．5C．－3D．－5答案D分析⊙C的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C(－1，1)，又直線kx＋y＋4＝0過定點(diǎn)(0，－4)，故當(dāng)與直線kx＋＋4＝0垂直時(shí)，圓心C到直線的距離最大，ACAy11∵kCA＝－5，∴－k＝，∴k＝－．選D．55一、高考大題1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸成立極坐標(biāo)系，曲線22C的極坐標(biāo)方程為ρ＋2ρcosθ－3＝0．(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4．C由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓．由題設(shè)知，1是過點(diǎn)(0，2)且對(duì)于y軸對(duì)稱的兩條射線，曲線1的方程為y＝CBCkx＋2，x≥0，l，y軸左側(cè)的射線為l．因?yàn)锽在圓C的外面，記y軸右側(cè)的射線為－kx＋2，x<0.122故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或5l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l所在直線的距離為2，所以|－k＋2|11＝2，故k＝2k2＋14－3或k＝0．經(jīng)查驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l與C沒有公共點(diǎn)；當(dāng)4與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，l與131222C有兩個(gè)公共點(diǎn)．2當(dāng)l22A到l2所在直線的距離為2，所以|k＋2|k2＋14或k＝3．經(jīng)查驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝3時(shí)，l2與C沒有公共點(diǎn)．2424綜上，所求C1的方程為y＝－3|x|＋2．2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x＝2cosθ，(θy＝4sinθx＝1＋tcosα，為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．y＝2＋tsinα(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率．(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y2解4＋16＝1．當(dāng)cosα≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα·x＋2－tanα，當(dāng)cosα＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1．(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得對(duì)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0．①因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1，2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0．6又由①得t1＋t2＝－42cosα＋sinαα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝1＋3cos2α，故2costanα＝－2．3．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系x＝cosθ，(θxOy中，⊙O的參數(shù)方程為y＝sinθ為參數(shù))，過點(diǎn)(0，－2)且傾斜角為α的直線l與⊙交于，兩點(diǎn)．OAB求α的取值范圍；求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．解(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1．π當(dāng)α＝2時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)．π當(dāng)α≠2時(shí)，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－2．l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)2<1，解得k<－1或k>1，1＋k2πππ3ππ3π即α∈4，2或α∈2，4．綜上，α的取值范圍是4，4．(2)l的參數(shù)方程為x＝tcosα，tπ<3πy＝－2＋tsinα為參數(shù)，α<．44設(shè)，，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，B，P，則tP＝tA＋tB，且tA，B知足t2－22sinαABPtt2tt1＝0．于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα．x＝tPcosα，又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)知足y＝－2＋tPsinα，2x＝2sin2α，所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是22y＝－2－2cos2α7π3πα為參數(shù)，4<α<4．4．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x＝3cosθ，(θy＝sinθx＝a＋4t，為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．y＝1－t若a＝－1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為17，求a．解(1)曲線C的一般方程為x29＋y2＝1．當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的一般方程為x＋4y－3＝0．x＋4y－3＝0，由x2＋y2＝1，21x＝3，x＝－25，解得或24y＝0y＝25.24進(jìn)而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，－25，25．(2)直線l的一般方程為x＋4－－4＝0，故C上的點(diǎn)(3cosθ，sinθ)到l的距離為dya|3cosθ＋4sinθ－a－4|．＝17a＋9當(dāng)a≥－4時(shí)，d的最大值為．17由題設(shè)得a＋917，所以a＝8；＝17a＋1當(dāng)a＜－4時(shí)，d的最大值為．178－a＋1由題設(shè)得＝17，所以a＝－16．綜上，a＝8或a＝－16．5．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4．(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且知足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；π設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為2，3，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．解(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0)．4由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝cosθ．由||·||＝16得2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos(ρ>0)．OMOPCθ所以C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0)．由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面積S＝1Bα·sinα－π2|OA|·ρ·sin∠AOB＝4cos332sin2α－3－2≤2＋3．π當(dāng)α＝－12時(shí)，S獲得最大值2＋3．所以△OAB面積的最大值為2＋3．二、模擬大題6．(2018·河南名校結(jié)盟聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸成立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(3cosθ＋sinθ)＝5．9求圓C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；在圓上找一點(diǎn)A，使它到直線l的距離最小，并求點(diǎn)A的極坐標(biāo)．解(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0．因?yàn)棣?＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝2ρsinθ，即ρ＝2sinθ．ρ(3cosθ＋sinθ)＝5即3ρcosθ＋ρsinθ＝5，因?yàn)棣裞osθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝－3x＋5．曲線C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)為圓心，1為半徑的圓．設(shè)圓上點(diǎn)A(x0，y0)到直線l：y＝－3x＋5的距離最短，所以圓C在點(diǎn)A處的切線與直線l：y＝－3x＋5平行．即直線與l的斜率的乘積等于－y0－11，即×(－3)＝－1．①CAx0因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上，所以x20＋(y－1)2＝1，②03133聯(lián)立①②可解得x0＝－2，y0＝2或x0＝2，y0＝2．3133所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為－2，2或2，2．又因?yàn)閳A上點(diǎn)A到直線l：y＝－3x＋5的距離最小，3所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為2，2，點(diǎn)A的極徑為3322＋22＝3，極角θ知足tanθ＝3且θ為第一象限角，則可取πθ＝3．所以點(diǎn)A的極坐標(biāo)為π3，．3107．(2019·福建福州四校模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x＝2＋cosα，(α為參數(shù))，直線C2的方程為y＝3x．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的y＝2＋sinα正半軸為極軸成立極坐標(biāo)系．求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；11若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求|OA|＋|OB|．(1)由曲線x＝2＋cosα，為參數(shù))，得曲線解1的參數(shù)方程為(α1的一般方程Cy＝2＋sinαC為(x－2)2＋(y－2)2＝1，則C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，因?yàn)橹本€C2過原點(diǎn)，且傾斜角為π，故其極坐標(biāo)方程為θ＝π(ρ∈R)．332－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由πθ＝3，23＋2)ρ＋7＝0，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ，ρ，則ρ＋ρ＝23＋12122，ρ1ρ2＝7，11|OA|＋|OB|ρ1＋ρ223＋2∴|OA|＋|OB|＝|OA|·|OB|＝ρ1ρ2＝7．8．(2018·河南鄭州二模)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，成立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為ππ2，，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ－＝a，44且l過點(diǎn)A，曲線C1的參數(shù)方程為x＝2cosα，(α為參數(shù))．y＝3sinα求曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值；過點(diǎn)B(－1，1)與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M，N兩點(diǎn)，求|BM|·|BN|的值．解(1)由直線l過點(diǎn)Aππ可得2cos－＝，4411故a＝2，∴易得直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0．依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得曲線C1上的點(diǎn)(2cosθ，3sinθ)到直線l的距離d＝|2cosθ＋3sinθ－2||7sinθ＋φ－2|27212＝2，此中sinφ＝7，cosφ＝7，∴dmax＝7＋214＋22＝2．23π(2)由(1)知直線l的傾斜角為4，3π∴直線l1的參數(shù)方程為x＝－1＋tcos4，y＝(t為參數(shù))．3πy＝1＋tsin41x2y2又易知曲線C的一般方程為4＋3＝1，把直線l1的參數(shù)方程代入曲線C1的一般方程可得7t2＋72t－5＝0，2設(shè)M，N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，t，121210的幾何意義可知|BM|·|BN|＝|t1210∴tt＝－7，依照參數(shù)tt|＝7．9．(2018·山西太原二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C過點(diǎn)P(a，1)，其參數(shù)方1x＝a＋2t，程為(t為參數(shù)，a∈R)，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸成立極坐標(biāo)系，y＝1＋2t曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0．求曲線C1的一般方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線C和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝2|PB|，務(wù)實(shí)數(shù)a的值．12(1)1的參數(shù)方程為x＝a＋2t，x－＋1＝0，2的極解消參得一般方程為－Cy＝1＋2t，yaC12坐標(biāo)方程為2θ＋4cosθ－ρ＝0，兩邊同乘222ρcosρ得ρcosθ＋4ρcosθ－ρ＝0，得y2＝4x．所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x．2(2)曲線C的參數(shù)方程可轉(zhuǎn)變?yōu)閤＝a＋2t，(t為參數(shù)，a∈R)，代入曲線C：122y＝1＋2t21221y＝4x，得2t－2t＋1－4a＝0，由＝(－