工學(xué)彎曲應(yīng)力

工學(xué)彎曲應(yīng)力第1頁/共125頁第五章彎曲應(yīng)力§5-2純彎曲時的正應(yīng)力§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力§5-4彎曲切應(yīng)力§5-6提高彎曲強度的措施目錄§5-1純彎曲第2頁/共125頁伽利略Galilei(1564-1642)此結(jié)論是否正確？第3頁/共125頁回顧與比較內(nèi)力應(yīng)力FSM目錄§5-1純彎曲第4頁/共125頁純彎曲梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力－－純彎曲梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力－－橫力彎曲§5-1純彎曲目錄第5頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄純彎曲的內(nèi)力剪力Fs=0橫截面上沒有切應(yīng)力只有正應(yīng)力。1、變形幾何關(guān)系2、物理關(guān)系3、靜力學(xué)關(guān)系彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律和計算公式第6頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力一、變形幾何關(guān)系目錄（一）實驗觀察現(xiàn)象：第7頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄施加一對正彎矩，觀察變形第8頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄觀察到縱向線與橫向線有何變化？變化的是：1、縱向線的長度2、兩橫截面的夾角3、橫截面的寬度縱向線由直線曲線各縱向線的長度還相等嗎？橫向線由直線直線各橫向線之間依然平行嗎？相對旋轉(zhuǎn)一個角度后，仍然與縱向弧線垂直。第9頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄（二）提出假設(shè)：1、平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面；橫截面繞某一軸線發(fā)生了偏轉(zhuǎn)。瑞士科學(xué)家Jacob.貝努力于1695年提出梁彎曲的平面假設(shè)第10頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄觀察縱向纖維之間有無相互作用力2、假設(shè)：縱向纖維之間沒有相互擠壓，各縱向纖維只是發(fā)生了簡單的軸向拉伸或壓縮。第11頁/共125頁凹入一側(cè)纖維縮短凸出一側(cè)纖維伸長中間一層纖維長度不變－－中性層中間層與橫截面的交線－－中性軸§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄

設(shè)想梁是由無數(shù)層縱向纖維組成觀察縱向纖維的變化在正彎矩的作用下，偏上的纖維偏下的纖維縮短，伸長。第12頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄中性層中性層－－纖維長度不變ΔL<0ΔL>0ΔL=0既不伸長也不縮短第13頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄中性軸中性軸上各點σ=0各橫截面繞中性軸發(fā)生偏轉(zhuǎn)。中性軸的位置過截面形心第14頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄中性軸的特點：平面彎曲時梁橫截面上的中性軸一定是形心主軸；它與外力作用面垂直；中性軸是與外力作用面相垂直的形心主軸。第15頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄關(guān)于中性層的歷史1620年，荷蘭物理學(xué)家、力學(xué)家比克門首先發(fā)現(xiàn)中性層；英國科學(xué)家胡克于1678年也闡述了同樣現(xiàn)象，但沒有涉及中性軸的位置問題；法國科學(xué)家納維于1826年，出版《材料力學(xué)》講義，給出結(jié)論：中性軸過截面形心。第16頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄觀察建筑用的預(yù)制板的特征，并給出合理解釋為什么開孔？為什么加鋼筋？施工中如何安放？孔開在何處？可以在任意位置隨便開孔嗎？第17頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄你能解釋一下托架開孔合理嗎？托架會不會破壞？第18頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄y的物理意義縱向纖維到中性層的距離；點到中性軸的距離。（三）理論分析：第19頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄第20頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄第21頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄第22頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄建立坐標(biāo)(a)aabbmnnmooy線應(yīng)變的變化規(guī)律與纖維到中性層的距離成正比。從橫截面上看：點離開中性軸越遠，該點的線應(yīng)變越大。第23頁/共125頁§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄胡克定理二、物理關(guān)系(b)彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律a、與點到中性軸的距離成正比；沿截面高度線性分布；b、沿截面寬度均勻分布；c、正彎矩作用下，上壓下拉；d、危險點的位置，離開中性軸最遠處.第24頁/共125頁三、靜力學(xué)關(guān)系§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄(c)FN、My、Mz中性軸過截面形心坐標(biāo)軸是主軸第25頁/共125頁正應(yīng)力公式變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系為梁彎曲變形后的曲率為曲率半徑，§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄四、彎曲正應(yīng)力計算公式1826年納維在《材料力學(xué)》講義中給出正確計算公式第26頁/共125頁正應(yīng)力分布§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄M

與中性軸距離相等的點，正應(yīng)力相等；

正應(yīng)力大小與其到中性軸距離成正比；

中性軸上,正應(yīng)力等于零適用條件截面關(guān)于中性軸對稱。第27頁/共125頁常見截面的IZ和WZ圓截面矩形截面空心圓截面空心矩形截面§5-2純彎曲時的正應(yīng)力目錄第28頁/共125頁§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力

橫力彎曲橫截面不再保持為平面且由于切應(yīng)力的存在，也不能保證縱向纖維之間沒有正應(yīng)力第29頁/共125頁§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力目錄橫力彎曲正應(yīng)力彈性力學(xué)精確分析表明：對于跨度L與橫截面高度h之比L/h>>5的細長梁，用純彎曲正應(yīng)力公式計算橫力彎曲正應(yīng)力，誤差<<2%滿足工程中所需要的精度。橫力彎曲正應(yīng)力公式第30頁/共125頁橫力彎曲正應(yīng)力公式橫力彎曲最大正應(yīng)力目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力細長梁的純彎曲或橫力彎曲橫截面慣性積IYZ=0彈性變形階段公式適用范圍第31頁/共125頁注意：目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力（1）計算正應(yīng)力時，必須清楚所求的是哪個截面上的應(yīng)力，從而確定該截面上的彎矩及該截面對中性軸的慣性矩；（2）必須清楚所求的是該截面上哪一點的正應(yīng)力，并確定該點到中性軸的距離，以及該點處應(yīng)力的符號（3）特別注意正應(yīng)力沿高度呈線性分布；（4）中性軸上正應(yīng)力為零，而在梁的上下邊緣處分別是最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。第32頁/共125頁注意：目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力（5）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓;正應(yīng)力的正負號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負及梁的變形狀態(tài)來確定。（6）熟記矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩的計算式。第33頁/共125頁彎曲正應(yīng)力強度條件1.等截面梁彎矩最大的截面上2.離中性軸最遠處4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，兩方面都要考慮3.變截面梁要綜合考慮與目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第34頁/共125頁目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力強度條件應(yīng)用：

依此強度準(zhǔn)則可進行三種強度計算：?校核強度：?設(shè)計截面尺寸：?確定許可載荷：

[];maxss￡];[maxWMz￡s第35頁/共125頁FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.C截面上K點正應(yīng)力2.C截面上最大正應(yīng)力3.全梁上最大正應(yīng)力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρFSx90kN90kN1.求支反力（壓應(yīng)力）解：例題5-1目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第36頁/共125頁BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN2.C截面最大正應(yīng)力C截面彎矩C截面慣性矩目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第37頁/共125頁BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN3.全梁最大正應(yīng)力最大彎矩截面慣性矩目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第38頁/共125頁BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN4.C截面曲率半徑ρC截面彎矩C截面慣性矩目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第39頁/共125頁分析（1）（2）彎矩最大的截面（3）抗彎截面系數(shù)最小的截面

圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知材料的許用應(yīng)力例題5-2目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第40頁/共125頁（3）B截面，C截面需校核（4）強度校核B截面：C截面：（5）結(jié)論軸滿足強度要求（1）計算簡圖（2）繪彎矩圖FaFb解：目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第41頁/共125頁分析（1）確定危險截面（3）計算（4）計算，選擇工字鋼型號

某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重材料的許用應(yīng)力起重量跨度試選擇工字鋼的型號。（2）例題5-3目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第42頁/共125頁（4）選擇工字鋼型號（5）討論（3）根據(jù)計算

（1）計算簡圖（2）繪彎矩圖解：36c工字鋼目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第43頁/共125頁作彎矩圖，尋找需要校核的截面要同時滿足分析：非對稱截面，要尋找中性軸位置T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。例題5-4目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第44頁/共125頁（2）求截面對中性軸z的慣性矩

（1）求截面形心z1yz52解：目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第45頁/共125頁（4）B截面校核（3）作彎矩圖目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第46頁/共125頁（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作彎矩圖目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力梁滿足強度要求第47頁/共125頁目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第48頁/共125頁目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第49頁/共125頁目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第50頁/共125頁目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第51頁/共125頁目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第52頁/共125頁目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第53頁/共125頁目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第54頁/共125頁目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第55頁/共125頁目錄§5-3橫力彎曲時的正應(yīng)力第56頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄橫力彎曲橫截面上內(nèi)力既有彎矩又有剪力；橫截面上應(yīng)力既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。切應(yīng)力分布規(guī)律和計算公式第57頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄橫截面上的剪力產(chǎn)生切應(yīng)力橫截面上的切應(yīng)力合成剪力第58頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄1、橫截面上各點的切應(yīng)力方向平行于剪力2、切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布關(guān)于切應(yīng)力的分布作兩點假設(shè)：目標(biāo)：

距離中性軸為y的直線上各點切應(yīng)力計算公式第59頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄第60頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄2、分析微段上的應(yīng)力第61頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄3、切開微段分析第62頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄4、分析微段的平衡條件第63頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄5、計算右側(cè)截面正應(yīng)力形成的合力同理第64頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄6、微元體的平衡方程第65頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄7、切應(yīng)力計算公式

距離中性軸為y的直線上點的切應(yīng)力計算公式第66頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄各項的物理意義1、Fs

欲求切應(yīng)力的點所在截面的剪力；2、Iz

欲求切應(yīng)力的點所在截面對中性軸的慣性矩；3、b欲求切應(yīng)力的點處截面的寬度；4、Sz*橫截面上距離中性軸為y的橫線以外部分的面積A1對中性軸的靜矩。第67頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄8、切應(yīng)力分布規(guī)律最大正應(yīng)力所在的點中性軸處第68頁/共125頁FSt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。9、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計算公式亦為：其中FS為截面剪力；Sz為y點以下的面積對中性軸之靜矩；第69頁/共125頁幾種常見截面的最大彎曲剪應(yīng)力

彎曲應(yīng)力Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b

為y點處截面寬度。①工字鋼截面：;?maxAQtf結(jié)論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應(yīng)力Af—腹板的面積。;?maxAFstf第70頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄盒形薄壁梁截面第71頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力梁切應(yīng)力的分布規(guī)律a、邊緣上各點的切應(yīng)力與圓周相切。b、同一高度各點的切應(yīng)力匯交于一點。不能假設(shè)總切應(yīng)力與剪力同向；圓截面：第72頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄c、豎直分量沿截面寬度均勻分布；計算公式沿高度呈拋物線規(guī)律變化。第73頁/共125頁§5-4彎曲切應(yīng)力目錄圓環(huán)截面的最大切應(yīng)力薄壁環(huán)形截面第74頁/共125頁切應(yīng)力強度條件在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：對于細長梁的彎曲變形，正應(yīng)力的強度條件是主要的，剪應(yīng)力的強度條件是次要的。一般情況下，以正應(yīng)力設(shè)計為主，切應(yīng)力校核為輔；第75頁/共125頁

梁的跨度較短（l/h<5）；當(dāng)集中力較大時，截面上的剪力較大，需要校核切應(yīng)力強度條件。在支座附近作用較大載荷（載荷靠近支座）；鉚接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊縫、膠合面或鉚釘?shù)龋﹒BACDElPPa§5-4彎曲切應(yīng)力有些情況必須考慮彎曲切應(yīng)力第76頁/共125頁

薄壁截面梁時，也需要校核切應(yīng)力。

各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。第77頁/共125頁注意正應(yīng)力的最大值發(fā)生在橫截面的上下邊緣，該處的切應(yīng)力為零；切應(yīng)力的最大值發(fā)生在中性軸上，該處的正應(yīng)力為零。對于橫截面上其余各點，同時存在正應(yīng)力、切應(yīng)力。這些點的強度計算，應(yīng)按強度理論進行計算。第78頁/共125頁

懸臂梁由三塊木板粘接而成。跨度為1m。膠合面的許可切應(yīng)力為0.34MPa，木材的〔σ〕=10MPa，[τ]=1MPa，求許可載荷。1.畫梁的剪力圖和彎矩圖2.按正應(yīng)力強度條件計算許可載荷

3.按切應(yīng)力強度條件計算許可載荷

解：例題5-5目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第79頁/共125頁4.按膠合面強度條件計算許可載荷5.梁的許可載荷為

目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第80頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第81頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第82頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第83頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第84頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第85頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力∴正應(yīng)力強度足夠。第86頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第87頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第88頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第89頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第90頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第91頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第92頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第93頁/共125頁目錄§5-4彎曲切應(yīng)力第94頁/共125頁§5-6提高彎曲強度的措施目錄控制梁彎曲強度的主要因素是彎曲正應(yīng)力，即以

作為梁設(shè)計的主要依據(jù)。因此應(yīng)使Mmax盡可能地小，使WZ盡可能地大。第95頁/共125頁1、合理布置支座目錄FFF§5-6提高彎曲強度的措施一、降低Mmax

第96頁/共125頁合理布置支座目錄§5-6提高彎曲強度的措施第97頁/共125頁目錄2、合理配置載荷§5-6提高彎曲強度的措施安裝齒輪靠近軸承一側(cè)；第98頁/共125頁目錄§5-6提高彎曲強度的措施3、集中力分散第99頁/共125頁二.增大WZ目錄§5-6提高彎曲強度的措施第100頁/共125頁1、合理設(shè)計截面目錄§5-6提高彎曲強度的措施截面面積幾乎不變的情況下，截面的大部分分布在遠離中性軸的區(qū)域第101頁/共125頁目錄§5-6提高彎曲強度的措施抗彎截面系數(shù)WZ越大、橫截面面積A越小，截面越合理。來衡量截面的經(jīng)濟性與合理性第102頁/共125頁目錄§5-6提高彎曲強度的措施解釋根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律：矩形截面中性軸附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。第103頁/共125頁目錄§5-6提高彎曲強度的措施合理截面合理截面要求上下危險點同時達到各自的許用應(yīng)力。對于塑性材料宜設(shè)計成關(guān)于中性軸對稱的截面對于脆性材料宜設(shè)計成關(guān)于中性軸不對稱的截面且使中性軸靠近受拉一側(cè)。第104頁/共125頁目錄§5-6提高彎曲強度的措施2、合理放置截面豎放比橫放要好。第105頁/共125頁目錄§5-6提高彎曲強度的措施-----各橫截面具有同樣強度的梁3、設(shè)計等強度梁:梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力［σ］時，稱為等強度梁。Px若為等強度矩形截面，則高為同時第106頁/共125頁目錄§5-6提高彎曲強度的措施第107頁/共125頁目錄§5-6提高彎曲強度的措施工程中的等強度梁第108頁/共125頁目錄§5-6提高彎曲強度的措施工程中的等強度梁第109頁/共125頁目錄§5-6提高彎曲強度的措施工程中的等強度梁第110頁/共125頁小結(jié)1、了解純彎曲梁彎曲正應(yīng)力的推導(dǎo)方法2、熟練掌握彎曲正應(yīng)力的計算、彎曲正應(yīng)力強度條件及其應(yīng)用3、了解提高梁強度的主要措施目錄第111頁/共125頁§7-4

梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件?

梁的合理截面1、危險面與危險點分析：一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。彎曲應(yīng)力QtsssMt一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件第112頁/共125頁2、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個可能危險的點，在FS

和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講）彎曲應(yīng)力3、強度條件應(yīng)用：依此強度準(zhǔn)則可進行三種強度計算：sMQtts第113頁/共125頁4、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核剪應(yīng)力。梁的跨度較短，M

較小，而Q較大時，要校核剪應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。、校核強度：?校核強度：?設(shè)計截面尺寸：?設(shè)計載荷：彎曲應(yīng)力第114頁/共125頁解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強度。彎曲應(yīng)力q=3.6kN/mxM+AB