2020-2021學(xué)年高中新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)2平面向量的運(yùn)算教案

6.2.4向量的數(shù)量積第2課時(shí)向量的向量積教材允析本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)-必修第二冊(cè)》（人教A版）第六章《平面向量及其應(yīng)用》，本節(jié)內(nèi)容教材共分為兩課時(shí),其中第一課時(shí)主要研究數(shù)量積的概念,第二課時(shí)主要研究數(shù)量積的運(yùn)算律,本節(jié)課是第二課時(shí)，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律及其運(yùn)用。向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算（加法、減法、向量的數(shù)乘）后的又一種新的運(yùn)算，它的內(nèi)容很豐富。包括定義、幾何意義、性質(zhì)與運(yùn)算律而且在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用。向量數(shù)量積是代數(shù)、幾何與三角的結(jié)合點(diǎn)，很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。但它與向量的線性運(yùn)算有著本質(zhì)的區(qū)別,運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)量。教學(xué)目而與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握數(shù)量積的運(yùn)算律；B.利用數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值；.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)量積的運(yùn)算律；.邏輯推理：證明數(shù)量積的運(yùn)算律；.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算律求值；教學(xué)重難點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)量積的運(yùn)算律；.教學(xué)難點(diǎn)：利用數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)、求值。課前準(zhǔn)備多媒體

教學(xué)過(guò)程L j教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1.向量的數(shù)乘的運(yùn)算律—Is- f【答案】設(shè)a、b為任意向量，入、N為任意實(shí)數(shù)，則有：?⑴ 九（日a）二（九日）a⑵（九十日）a=4a+日a（、X（a+b）=丘+Ab（3）2.平面向量的數(shù)量積定義：a-b=1aIIb1cos。平面向量的數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。二、探索新知1?平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律探究：類比數(shù)的乘法運(yùn)算律，結(jié)合向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律，你能得到數(shù)量積運(yùn)算的哪些運(yùn)算律？你能證明嗎？平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律時(shí)于向量壯和窠奴人行Cl）a+I31科口"1■占"P口?u-___1—— ■通過(guò)復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)知識(shí)，引入本節(jié)新課。建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。通過(guò)探究，讓學(xué)生證明，講解向量數(shù)量積的運(yùn)算律，提高學(xué)生的解決問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力。

同理,所以,（3）通過(guò)思考，總結(jié)占十b|ass口w=|計(jì)Iqqs同理,所以,（3）通過(guò)思考，總結(jié)占十b|ass口w=|計(jì)Iqqs&遇+11|叩3"仁（九a）?b=九（a?b）=a?（九b）（2）當(dāng)九〉°時(shí)，九a與b的夾角、a與b的夾角一樣。a?（九b）=1aII九bIcosO=九IaIIbIcosO=九（a?b）A,Bl15LZ-2i任明r如圖g」-記:，任取■一點(diǎn)①祚口’,1白三%.nc=t.<>r=fl4九也同站fl■.酊0十心與廣的文曲分別為中;■心-宅力在1句世士上的投彩國(guó)情用■別為門(mén)4?Ofii.ODm與匚力何相同的堂位向員處劃Q%=|。|cas0]flOB'=Ih門(mén)口;=|p十同那hFe,國(guó)為居二加3.斷以漏=口方.于是麗；：瓦;+瓦口；=醞4國(guó),西九<0時(shí)，（九a）?b=九（a?b）=a?（九b）能一^當(dāng) /成^立0—*—F—F—? —?—?—*■—*證明（1）因?yàn)閍?b=IaIIbIcosO b?a=IbIIaIcosO所以，a?b=b?a（九a）?b=I九aIIbIcosO=九IaIIbIcosO=九（a?b）因?yàn)?，范修HJ睛K即所以冷比<嗎一拒OWS—a=C0h^；范修HJ睛K即所以冷比f(wàn)l：-rJ&pTMg-aCTHCfl；—b十口.fi-=4.。十上IDQL9=0Lb際久,口*%C印，/=flf'(W5fl：-rdC-Wifl-LTti■i-clY5■C.思考：設(shè)ab,c是向量，(/b>c=a,(b'c)一定成立嗎？為什么？【答案］(a.b>c表示與一個(gè)與c共線的向量，a?(b?c) a ac而 表示一個(gè)與共線的向量，但與不一定共線。(a?b)?c豐a?(b?c)所以結(jié)論：向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律。例1.對(duì)任意?￡R，恒有(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)(a-b)=a2-b2,對(duì)任意向量。力，是否也有下面類似的結(jié)論？(1)(a+b)2=a2+2a?b+b2(之)(a+b)(a-b)=a2-b2【解析】TOC\o"1-5"\h\z—# — —#■ —* —? — —* —T(1)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a?a+a?b+b?a+b?b=a2+2a?b+b2(2)(a+b)(a-b)=a?a-a?b+b?a-b?b—*> —fc-2 2=a-b已知a=6,b=4,夾角9=600,求(a+2b)?(a-曲通過(guò)思考，讓學(xué)生明白向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。例2. 11

通過(guò)思考，讓學(xué)生明白向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。解：原式=a.a-3a.b+2b.a一6b.b-1- -*f f=1a|2-a?b-61b|2=1aI2-1aIIb1cos0-61bI2=62-6x4xcos60°-6x42=-72例3.已知1aI=3,1bI=4,且“與b不共線，當(dāng)k為何值時(shí)，向量a+五與a-kb互相垂直？解：a+無(wú)與a-kb互相垂直的充要條件是(a+kb)(akb)=0，即a2一k2b2=0，因?yàn)閍2=32=9,b2=42=16。k=±3所以9一16k2=0，解得 4。3 .3k=±— --二1一：也就是說(shuō)，當(dāng) 4時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直。通過(guò)例題進(jìn)一步鞏固向量數(shù)量積的運(yùn)算律，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.給出下列判斷：①若a2+岳=0,則a=b=0；②已知a,b,c是三個(gè)非零向量，若a+b=0,則Ia-cI=Ib-cI；③a,b共線a-b=IaIIbI；④IaIIbI<a'b；⑤a-a-a=IaI3；⑥a2+b2三2a-b；⑦向量a,b滿足：a-b>0,則a與b的夾角為銳角；⑧若a,b的夾角為口則IbIcos。表示向量b在向量a方向上的投影長(zhǎng).其中正確的是： .【解析】由于a2三0,b2三0,所以，若a2+b2=0,則a=b=0,故①正確；通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)

若a+b=0,則a=—b,又a,b,c是三個(gè)非零向量，所以a-c=b-c,所以a?c1=1b-c1,②正確；a,b共線a-b=±lalib1,所以③不止確；對(duì)于④應(yīng)有l(wèi)allbl三a-b;對(duì)于⑤，應(yīng)該是a-a-a=a12a;⑥a2+b2三21allbl三2a-b,故正確；當(dāng)a與b的夾角為0時(shí)，也有a.b>0,因此⑦錯(cuò)；【答案】①②⑥.若非零向量a,b滿足lal=3lbl=la+2bl,則a與b夾角的余弦值為.【解】設(shè)a與b夾角為,因?yàn)閘al=3lbl,所以lal2=9lb\2,又lal=a+2bl,所以al2=lal2+4lbl2+4a?b=lal2+4b2+4lal?lbl-cos0=13lbl2+12lbl2cosB,即9lbl2=13lbl2+12lb\2cos0,故有cos0=—3.【答案】-3.已知al=3,lbl=2,向量a,b的夾角為60°,c=3a+5b,d=ma-3b,求當(dāng)m為何值時(shí)，c與d垂直？【解析】 由已知得a?b=3X2Xcos60°=3.由c-Ld,知c?d=0,即c*d=(3a+5b)?(ma—3b)用意識(shí)。

=3ma2+(5m—9)a,b—15b2=27m+3(5m—9)—60=42m-87=0,二m=29,即m=29時(shí)，c與d垂直.四、小結(jié).理解數(shù)量積的定義；.向量數(shù)量積的運(yùn)算律；五、作業(yè)習(xí)題6.2 11（1）,18題通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。教學(xué)反思在整個(gè)探求過(guò)程中，充分利用“舊知識(shí)”及“舊知識(shí)形成過(guò)程”并利用它探求新知識(shí)。這樣的過(guò)程，既是學(xué)生獲得新知識(shí)的過(guò)程，更是培養(yǎng)學(xué)生能力的過(guò)程。我感覺(jué)不足的有：（1）教師應(yīng)該如何準(zhǔn)確的提出問(wèn)題在教學(xué)中，教師提出的問(wèn)題要具體、準(zhǔn)確，而不應(yīng)該模棱兩可。（2）教師如何把握