高數(shù)積分公式

高數(shù)積分公式1第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容：1.第一換元積分法.2.第二換元積分法一、換元積分法2第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日換元積分法分第一換元積分法和第二換元積分法兩類。求

分析由于被積函數(shù)cos3x是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，因此不能直接用基本積分公式解驗(yàn)證確實(shí)是cos3x的元函數(shù)，上述方法正確。1.第一換元積分法例13第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日當(dāng)不定積分不能用基本積分公式直接求出，但被積表達(dá)式具有形式可作變量代換得而積分可以求出，不妨設(shè)f(u)的原函數(shù)F(u)，于是有設(shè)f(x)及連續(xù)，且則作變量代換后，有例1說明：定理1（第一換元積分法）可得4第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日在不定積分基本公式中若積分變量不是連續(xù)）則公式仍成立.例如自變量x,而是中間變量u（設(shè)運(yùn)用第一換元積分法求不定積分的步驟：(1)把被積函數(shù)分解為兩部分因式相乘的形式，其中一部分是(2)湊微分并作變量代換從而把關(guān)于積分變量x的不定積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于新積分變量u的不定積分.由定理1知：5第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日求把被積函數(shù)中的2x+1看作新變量u,即令求把被積函數(shù)中的看作新變量u，即令例2解例3解u=2x+1,得6第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日把被積函數(shù)中的看作新變量u，即令求第一換元積分法的關(guān)鍵是“湊微分”，因而第一換元積分法又稱為湊微分法。例4解熟練以后，新變量u可以省略不寫。7第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日求解求解例5例68第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日求解由上例易得例79第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日求解類似地可得求解類似地可得例8例910第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日上述例5~例9的結(jié)果可以當(dāng)公式使用，即基本積分公式（二）注意：11第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日求解求解例10和例11都是先湊微分，后利用公式17和公式19求積分的。例10例11注意12第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日求解法一此解法是先將被積函數(shù)化為部分分式，然后再湊微分求出結(jié)果。例12注意:13第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日解法二解法二是將被積函數(shù)的分母配成完全平方，再湊微分后應(yīng)用公式20求出積分結(jié)果。當(dāng)公式比較熟悉時(shí)，解法二比解法一簡單。因此，由例12可知，對(duì)被積函數(shù)靈活地進(jìn)行恒等變形，綜合應(yīng)用積分性質(zhì)和積分公式是求積分的必需的。注意：14第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日求解法一解法二同一積分可有不同的解法，其結(jié)果在形式上可能不同，但實(shí)際上它們只相差一個(gè)常數(shù)。例13注意：15第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日第一換元積分法是通過變量代換將積分我們也常常會(huì)遇到相反的情形，即適當(dāng)選擇變量代換將積分化為積分若則得另一種形式的換元積分法:設(shè)f(x)連續(xù)，的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且若則定理中關(guān)于連續(xù)性的假設(shè)是為了保證有關(guān)的原函數(shù)存在，關(guān)于的假設(shè)是為了保證能從解出t，最終消去變量t。2.第二換元積分法

定理2（第二換元積分法）化為進(jìn)行積分。16第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日運(yùn)用第二換元積分法的主要步驟:從而將關(guān)于積分變量x的不定積分化為關(guān)于積分變量t的不定積分。關(guān)鍵是存在反函數(shù)。第二換元積分法主要解決被積函數(shù)中帶根號(hào)的一類積分，去根號(hào)是選的主要思路。求令則于是例14解是作變量代換17第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日求令則因此得例15解18第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日求令此時(shí)于是由于所以于是例16解19第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日求令則為了消去t，還原為x，除了可用例16的解析法外，還可用三角形法：，即由作直角三角形(如圖),從而易得，于是xat例17解由20第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日求令，則于是根據(jù)作直角三角形（如圖），，從而xat得例18解21第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日綜合例17，例18，得公式求解第二換元積分法可以用來解決被積函數(shù)中帶有根號(hào)的某些積分：1，當(dāng)根號(hào)內(nèi)含有x的一次函數(shù)，如可分別令2，當(dāng)被積函數(shù)含有根式時(shí)，可分別作三角代換例1922第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日分部積分法是與兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)法則對(duì)應(yīng)的積分法。設(shè)函數(shù)u=u(x)，v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)為或?qū)ι鲜絻蛇吳蟛欢ǚe分，得即或上述公式叫做分部積分公式。二、分部積分法23第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日運(yùn)用分部積分公式求不定積分的主要步驟是:把被積函數(shù)f(x)分解為兩部分因式相乘的形式，其中一部分因式看作u，另一部分因式看作v′,而后套用公式，把求不定積分的問題轉(zhuǎn)化為求不定積分的問題。24第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日求應(yīng)用公式代入公式，得求設(shè)代入公式，得在上例中如果設(shè)于是有反而出現(xiàn)了比原積分更復(fù)雜的積分，可見運(yùn)用分部積分公式的關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇例1解例2解注意：25第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日一般地，選擇的原則是：2，不定積分比原不定積分容易求出。當(dāng)被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)的乘積時(shí)，我們可以按照“反、對(duì)、冪、指、三”（即反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的順序，選擇排列次序在前的函數(shù)作為u，而將排在后的另一個(gè)函數(shù)選作v′。求把lnx看作u，dx看作dv，用公式得例3解26第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日求解

當(dāng)應(yīng)用分部積分公式后得到的積分還需用分部積分公式時(shí)，可以繼續(xù)使用，直到可以求出積分結(jié)果為止。例4就是用了兩次分部積分公式后才求出積分結(jié)果的。例4注意：27第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日求解移項(xiàng)，兩邊除以2，并加積分常數(shù)，得當(dāng)兩次應(yīng)用分部積分法后又出現(xiàn)了原積分時(shí)，我們是用解方程的方法求出積分結(jié)果的。例5注意：28第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日求令代入原積分，得有時(shí)我們需要綜合應(yīng)用前面講過的各種積分方法，如例6就綜合應(yīng)用了換元積分法、分部積分法和直接積分法。例6解注意：29第二十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日1、湊微分法湊微分法用于被積函數(shù)為的形式的積分，湊微分后可直接應(yīng)用積分公式。要記住常見函數(shù)的湊微分公式。湊微分就是把微分公式反過來用。2、第二換元積分法第二換元積分法對(duì)于我們來說，主要用于去除被積函數(shù)中所含的根號(hào)。當(dāng)根號(hào)下是線性函數(shù)例如ax+b時(shí)，作冪代換當(dāng)根號(hào)下是

x

的二次函數(shù)時(shí)，則作三角代換，例如根號(hào)內(nèi)是x2－a2時(shí)，可令

x=sint作代換。3、分部積分法分部積分法用于被積函數(shù)為兩類不同類型函數(shù)乘積的積分，在用分部積分法時(shí)，其中一個(gè)因子要看作u，另一個(gè)因子要看作v′，可以按照“反、對(duì)、冪、指、三”排在前面的順序選擇u。三、小結(jié)30第三十頁，共三十一頁，2022年，8月28日作業(yè)：習(xí)題4。3