青海西寧市普通高中2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，正方形的邊長為2cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長是（）cm．A．12 B．16 C． D．2．已知點A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），則△ABC的面積為A．3 B．2 C．1 D．3．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A． B． C． D．4．若實數(shù)滿足，則的最小值為()A．4 B．8 C．16 D．325．設(shè)為直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則6．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則和分別是（）A． B． C． D．7．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．8．在中，角的對邊分別是，若，則角的大小為（）A．或 B．或 C． D．9．已知數(shù)列且是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知數(shù)列、、、、，可猜想此數(shù)列的通項公式是（）.A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列中，為的前項和，若，則____．12．直線與直線的交點為，則________.13．函數(shù)的最小正周期為______________.14．已知，則_________．15．已知向量為單位向量，向量，且，則向量的夾角為__________．16．在四面體ABCD中，平面ABC，，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c；已知．（1）求角B的大??；（2）若外接圓的半徑為2，求面積的最大值．18．已知關(guān)于的不等式．（1）若不等式的解集為，求實數(shù)的值；（2）若不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍．19．已知無窮數(shù)列，是公差分別為、的等差數(shù)列，記（），其中表示不超過的最大整數(shù)，即.（1）直接寫出數(shù)列，的前4項，使得數(shù)列的前4項為：2，3，4，5；（2）若，求數(shù)列的前項的和；（3）求證：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是.20．在一次人才招聘會上，有A、B兩家公司分別開出了它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；B公司允諾第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資增加基礎(chǔ)上遞增5%，設(shè)某人年初被A、B兩家公司同時錄取，試問：（1）若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作年，則他在第年的月工資收入分別是多少?（2）該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（不計其它因素），該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么?（3）在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元（精確到1元），并說明理由.21．某校200名學(xué)生的數(shù)學(xué)期中考試成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是.（1）求圖中m的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這200名學(xué)生的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表）和中位數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；（3）若這200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中，某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)x與英語成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)y之比如下表所示，求英語成績在的人數(shù).分?jǐn)?shù)段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1:22:16:51:21:1

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)直觀圖與原圖形的關(guān)系，可知原圖形為平行四邊形，結(jié)合線段關(guān)系即可求解.【詳解】根據(jù)直觀圖，可知原圖形為平行四邊形，因為正方形的邊長為2cm，所以原圖形cm，，則，所以原平面圖形的周長為，故選：B.【點睛】本題考查了平面圖形直觀圖與原圖形的關(guān)系，由直觀圖求原圖形面積方法，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由兩點式求得直線的方程，利用點到直線距離公式求得三角形的高，由兩點間距離公式求得的長，從而根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】∵點A（1，0），B（0，1），∴直線AB的方程為x+y–1=0，，又∵點C（–2，–3）到直線AB的距離為，∴△ABC的面積為S=．故選A．【點睛】本題主要考查兩點間的距離公式，點到直線的距離公式、三角形面積公式以及直線方程的應(yīng)用，意在考查綜合運用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.3、A【解析】

設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【點睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項和、通項公式基本量的計算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4、B【解析】

由可以得到，利用基本不等式可求最小值.【詳解】因為，故，因為，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為8，故選B.【點睛】應(yīng)用基本不等式求最值時，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數(shù)式中沒有積為定值或和為定值，則需要對給定的代數(shù)變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結(jié)構(gòu).求最值時要關(guān)注取等條件的驗證.5、B【解析】A中，也可能相交；B中，垂直與同一條直線的兩個平面平行，故正確；C中，也可能相交；D中，也可能在平面內(nèi).【考點定位】點線面的位置關(guān)系6、C【解析】

通過識別圖像，先求，再求周期，將代入求即可【詳解】由圖可知：，，將代入得，又，，故故選C【點睛】本題考查通過三角函數(shù)識圖求解解析式，屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】，，，故選A．8、B【解析】

通過給定條件直接利用正弦定理分析，注意討論多解的情況.【詳解】由正弦定理可得：，，∵，∴為銳角或鈍角，∴或．故選B．【點睛】本題考查解三角形中正弦定理的應(yīng)用，難度較易.出現(xiàn)多解時常借助“大邊對大角，小邊對小角”來進(jìn)行取舍.9、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義可確定是以為首項，為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式，進(jìn)而求得；由數(shù)列的單調(diào)性可知；分別在和兩種情況下討論可得的取值范圍.【詳解】由題意得：，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列為遞增數(shù)列，即①當(dāng)時，，，即只需即可滿足②當(dāng)時，，，即只需即可滿足綜上所述：實數(shù)的取值范圍為故選：【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，涉及到等差和等比數(shù)列定義的應(yīng)用、等比數(shù)列通項公式的求解、對數(shù)運算法則的應(yīng)用等知識；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)單調(diào)性得到關(guān)于變量和的關(guān)系式，進(jìn)而通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為變量與關(guān)于的式子的最值的大小關(guān)系問題.10、D【解析】

利用賦值法逐項排除可得出結(jié)果.【詳解】對于A選項，，不合乎題意；對于B選項，，不合乎題意；對于C選項，，不合乎題意；對于D選項，當(dāng)為奇數(shù)時，，此時，當(dāng)為偶數(shù)時，，此時，合乎題意.故選：D.【點睛】本題考查利用觀察法求數(shù)列的通項，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】因為，所以，又因為所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以由等比數(shù)列的求和公式得，解得【點睛】本題考查利用等比數(shù)列的定義求通項公式以及等比數(shù)列的求和公式，屬于簡單題．12、【解析】

（2,2）為直線和直線的交點，即點（2,2）在兩條直線上，分別代入直線方程，即可求出a，b的值，進(jìn)而得a+b的值?！驹斀狻恳驗橹本€與直線的交點為，所以，，即，，故.【點睛】本題考查求直線方程中的參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題。13、【解析】

利用函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為，得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案為：．【點睛】本題主要考查函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為．14、.【解析】

在分式中分子分母同時除以，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為正切來進(jìn)行計算.【詳解】由題意得，原式，故答案為.【點睛】本題考查弦的分式齊次式的計算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要應(yīng)用于以下兩種題型：（1）弦的次分式齊次式：當(dāng)分式是關(guān)于角的次分式齊次式，在分子分母中同時除以，可以將分式化為切的分式來求解；（2）弦的二次整式：當(dāng)代數(shù)式是關(guān)于角弦的二次整式時，先除以，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角弦的二次分式齊次式，然后在分式分子分母中同時除以，可實現(xiàn)弦化切.15、【解析】因為，所以，所以，所以，則.16、【解析】

易得四面體為長方體的一角,再根據(jù)長方體體對角線等于外接球直徑,再利用對角線公式求解即可.【詳解】因為四面體中,平面,且,.故四面體是以為一個頂點的長方體一角.設(shè)則因為四面體的外接球的表面積為,設(shè)其半徑為,故.解得.故四面體的體積.故答案為：【點睛】本題主要考查了長方體一角的四面體的外接球有關(guān)問題,需要注意長方體體對角線等于外接球直徑.屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)利用正弦定理與余弦的差角公式運算求解即可.(2)根據(jù)正弦定理可得,再利用余弦定理與基本不等式求得再代入面積求最大值即可.【詳解】解：（1）在中,由正弦定理得,得,又∴.即,∴,又,∴．（2）結(jié)合（1）由正弦定理可知,由余弦定理可知,所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,所以面積的最大值為．【點睛】本題主要考查了正余弦定理與三角形面積公式在解三角形中的運用.同時考查了根據(jù)基本不等式求解三角形面積的最值問題.屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）不等式的解集為說明和1是的兩個實數(shù)根，運用韋達(dá)定理，可以求出實數(shù)的值；（2）不等式的解集為，只需，或即可，解不等式組求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）若關(guān)于的不等式的解集為，則和1是的兩個實數(shù)根，由韋達(dá)定理可得，求得．（2）若關(guān)于的不等式解集為，則，或，求得或，故實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題考查了已知一元二次不等式的解集求參問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力19、（1）的前4項為1，2，3，4，的前4項為1，1，1，1；（2）；（3）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)定義，選擇，的前4項，盡量選用整數(shù)計算方便；（2）分別考慮，的前項的規(guī)律，然后根據(jù)計算的運算規(guī)律計算；（3）根據(jù)必要不充分條件的推出情況去證明即可.【詳解】（1）由的前4項為：2，3，4，5，選、的前項為正整數(shù)：的前4項為1，2，3，4，的前4項為1，1，1，1；（2）將的前項列舉出：；將的前項列舉出：；則；（3）充分性：取，此時，將的前項列舉出：，將前項列出：，此時的前項為：，顯然不是等差數(shù)列，充分性不滿足；必要性：設(shè)，，當(dāng)為等差數(shù)列時，因為，所以，又因為，所以有：，且，所以；，，不妨令，則有如下不等式：；當(dāng)時，令，則當(dāng)時，，此時無解；當(dāng)時，令，則當(dāng)時，，此時無解；所以必有：，故：必要性滿足；綜上：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是【點睛】本題考查數(shù)列的定義以及證明，難度困難.對于充分必要條件的證明，需要對充分性和必要性同時分析，不能取其一分析；新定義的數(shù)列問題，可通過定義先理解定義的含義，然后再分析問題.20、（1）在A公司第年收入為；在B公司連續(xù)工作年收入為；（2）應(yīng)選擇A公司，理由見詳解；（3）827；理由見詳解.【解析】

（1）先分別記該人在A公司第年收入為，在B公司連續(xù)工作年收入為，根據(jù)題中條件，即可直接得出結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，分別計算前的和，即可得出結(jié)果；（3）先令，將原問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）記該人在A公司第年收入為，在B公司連續(xù)工作年收入為，由題意可得：，，，；（2）由（1），當(dāng)時，該人在A公司工資收入的總量為：（元）；該人在B公司工資收入的總量為：（元）顯然A公司工資總量高，所以應(yīng)選擇A公司；（3）令，則原問題即等價于求的最大值；當(dāng)時，，若，則，即，解得；又，所以，因此，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以是數(shù)列的最大項，（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多元.【點睛】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.21、（1）（2）平均分為，中位數(shù)為（3）140人【解析】

（1）由題得，解方程即得解；（2）利