上海寶山同洲模范學(xué)校2023年數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．為了了解運(yùn)動(dòng)員對(duì)志愿者服務(wù)質(zhì)量的意見，打算從1200名運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段間隔為A．40 B．20 C．30 D．122．如圖，兩點(diǎn)為山腳下兩處水平地面上的觀測(cè)點(diǎn)，在兩處觀察點(diǎn)觀察山頂點(diǎn)的仰角分別為，若，，且觀察點(diǎn)之間的距離比山的高度多100米，則山的高度為（）A．100米 B．110米 C．120米 D．130米3．如果存在實(shí)數(shù)，使成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C．或 D．或4．已知，則使得都成立的取值范圍是().A． B． C． D．5．若直線經(jīng)過點(diǎn)，則此直線的傾斜角是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．既有極小值，也有極大值 B．有極小值，但無極大值C．有極大值，但無極小值 D．既無極小值，也無極大值7．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A．2019 B．1010 C．2018 D．10118．直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，若．則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．若為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是（）A． B．C． D．10．如直線與平行但不重合，則的值為（）．A．或2 B．2 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．當(dāng)，時(shí)，執(zhí)行完如圖所示的一段程序后，______.12．某工廠生產(chǎn)三種不同型號(hào)的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為的樣本,樣本中種型號(hào)產(chǎn)品有16件,那么此樣本的容量=13．在等差數(shù)列中，公差不為零，且、、恰好為某等比數(shù)列的前三項(xiàng)，那么該等比數(shù)列公比的值等于____________．14．已知函數(shù),為的反函數(shù),則_______(用反三角形式表示).15．已知數(shù)列滿足：，，則_____.16．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列通項(xiàng)___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值．19．設(shè)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)數(shù)列，試問是否存在正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.20．已知曲線上的任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)、距離之和為，直線交曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求曲線的方程；（2）若不過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，記線段的中點(diǎn)為，求證：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（3）若直線過點(diǎn)，求面積的最大值，以及取最大值時(shí)直線的方程．21．已知圓，直線.圓與軸交于兩點(diǎn)，是圓上不同于的一動(dòng)點(diǎn)，所在直線分別與交于.（1）當(dāng)時(shí)，求以為直徑的圓的方程；（2）證明：以為直徑的圓截軸所得弦長為定值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法，結(jié)合題意可分段的間隔等于個(gè)體總數(shù)除以樣本容量，即可求解.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法，結(jié)合題意可分段的間隔，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣的定義和方法，其中解答中熟記系統(tǒng)抽樣的定義和方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

設(shè)山的高度為，求出AB=2x，根據(jù)，求出山的高度.【詳解】設(shè)山的高度為，如圖，由，有.在中，，有，又由觀察點(diǎn)之間的距離比山的高度多100，有.故山的高度為100.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)，可得，再根據(jù)基本不等式取等的條件可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，即，即，又（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的值域，考查了基本不等式取等的條件，屬于中檔題.4、B【解析】

先解出不等式的解集，得到當(dāng)時(shí)，不等式的解集，最后求出它們的交集即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，要想使得都成立，所以取值范圍是，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、D【解析】

先通過求出兩點(diǎn)的斜率，再通過求出傾斜角的值?！驹斀狻?，選D.【點(diǎn)睛】先通過求出兩點(diǎn)的斜率，再通過求出傾斜角的值。需要注意的是斜率不存在的情況。6、B【解析】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，在上為負(fù)，在上非負(fù)，在上遞減，在遞增，在處有極小值，無極大值，故選B.7、A【解析】

利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為和的形式，列方程組，解方程組求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，故，解得，故.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

可通過將弦長轉(zhuǎn)化為弦心距問題，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式和勾股定理進(jìn)行求解【詳解】如圖所示，設(shè)弦中點(diǎn)為D，圓心C(3,2),弦心距，又，由勾股定理可得，答案選A【點(diǎn)睛】圓與直線的位置關(guān)系解題思路常從兩點(diǎn)入手：弦心距、勾股定理。處理過程中，直線需化成一般式9、D【解析】

圓的圓心為O，求出圓心坐標(biāo)，利用垂徑定理，可以得到，求出直線的斜率，利用兩直線垂直斜率關(guān)系可以求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程，最后化為一般式方程.【詳解】設(shè)圓的圓心為O，坐標(biāo)為（1，0），根據(jù)圓的垂徑定理可知：，因?yàn)?，所以，因此直線的方程為，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理、兩直線垂直斜率的關(guān)系，考查了斜率公式.10、C【解析】

兩直線斜率相等，且截距不相等?！驹斀狻拷馕觯河深}意得，，解得或2，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)兩直線重合，故.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

模擬程序運(yùn)行，可得出結(jié)論．【詳解】時(shí)，滿足，所以．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，考查條件結(jié)構(gòu)，解題時(shí)模擬程序運(yùn)行即可．12、1．【解析】

解：A種型號(hào)產(chǎn)品所占的比例為2/(2+3+5)=2/10，16÷2/10=1，故樣本容量n=1，13、4【解析】

由題意將表示為的方程組求解得，即可得等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為﹑、，則公比可求【詳解】由題意可知，，又因?yàn)?，，代入上式可得，所以該等比?shù)列的前三項(xiàng)分別為﹑、，所以.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列的基本量計(jì)算，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題14、【解析】

先將轉(zhuǎn)化為，，然后求出即可【詳解】因?yàn)樗运运运园雅c互換可得即所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是反函數(shù)的求法，較簡單15、【解析】

從開始，直接代入公式計(jì)算，可得的值.【詳解】解：由題意得：，，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的性質(zhì)，相對(duì)簡單.16、【解析】分析：在已知遞推式兩邊同除以，可得新數(shù)列是等差數(shù)列，從而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，再得．詳解：∵，∴兩邊除以得，，即，∵，∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴，∴．故答案為．點(diǎn)睛：在求數(shù)列公式中，除直接應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式外，還有一種常用方法：對(duì)遞推式化簡變形，可構(gòu)造出新數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再由等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)論．這是一種轉(zhuǎn)化與化歸思想，必須掌握．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)本題可令求出的值，然后令求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先可令，然后根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和?！驹斀狻?1)當(dāng)，，得.當(dāng)時(shí)，，,兩式相減，得，化簡得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，所以。(2)由(1)可知，令，則①，兩邊同乘以公比，得到②，由①②得：所以?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法以及數(shù)列前項(xiàng)和的方法，求數(shù)列通項(xiàng)常用的方法有：累加法、累乘法、定義法、配湊法等；求數(shù)列前項(xiàng)和常用的方法有：錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、公式法、分組求和法等，屬于中等題。18、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】

分析：（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式得結(jié)果，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，最后根據(jù)，利用兩角差的余弦公式求結(jié)果.【詳解】詳解：（Ⅰ）由角的終邊過點(diǎn)得，所以.（Ⅱ）由角的終邊過點(diǎn)得，由得.由得，所以或.點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的兩種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.19、(1)；.(2)(3)存在，或者，【解析】

（1）令，得，故，代入等式得到，計(jì)算得到.（2）利用錯(cuò)位相減法得到前N項(xiàng)和.（3），假設(shè)存在正整數(shù)，，使成等差數(shù)列，則，解得或者.【詳解】（1）令，得，所以將代入，得所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即.（2）兩式相減得到化簡得到.（3），假設(shè)存在正整數(shù)，，使成等差數(shù)列則，即，因?yàn)?，為正整?shù)，所以存在或者，使得成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法，綜合性大，技巧性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20、（1）（2）證明見解析；（3）或【解析】

（1）利用橢圓的定義可知曲線為的橢圓，直接寫出橢圓的方程．（2）設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過韋達(dá)定理求解KOM，然后推出直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值．（3）設(shè)直線方程是與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)面積公式，代入根與系數(shù)的關(guān)系，利用換元和基本不等式求最值.【詳解】（1）由題意知曲線是以原點(diǎn)為中心，長軸在軸上的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則有，所以，∴.（2）證明：設(shè)直線的方程為，設(shè)則由可得，即∴，∴，，，∴直線的斜率與的斜率的乘積=為定值（3）點(diǎn)，由可得，，解得∴設(shè)當(dāng)時(shí)，取得最大值.此時(shí)，即所以直線方程是【點(diǎn)睛】本題考查橢圓定義及方程、韋達(dá)定理的應(yīng)用及三角形面積的范圍等問題，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題．21、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）討論點(diǎn)的位置，根據(jù)直線的方程，直線的方程分別與直線方程聯(lián)立，得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)以及半徑，即可得出該圓的方程；（2）討論點(diǎn)的位置，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)以及半徑，再由圓的弦長公式化簡即可證明.【詳解】（1）由圓的方程可知，①當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，如下圖所示當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為由，解得直線的方程為由，解得則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的方程為