體能測(cè)試的數(shù)學(xué)建模

PAGEPAGE2第2頁(yè)，共15頁(yè)2012高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話(huà)、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：D 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話(huà)）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）：浙江同濟(jì)科技職業(yè)學(xué)院參賽隊(duì)員(打印并簽名)：1.吳泓學(xué)2.章鵬飛3.胡玉蘭指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：數(shù)學(xué)建模教學(xué)組日期：2012年07賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2012高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專(zhuān)用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：目錄摘要： ………………1一、 問(wèn)題重述 2二、 問(wèn)題分析 3三、 模型假設(shè) 4四、 符號(hào)說(shuō)明 4五、 模型建立及求解 4六、 給學(xué)校的建議 11七、 模型評(píng)價(jià) 11八、 附錄： 12體能測(cè)試時(shí)間安排模型摘要：體能測(cè)試作為衡量學(xué)生身體健康素質(zhì)的指標(biāo)測(cè)試，建立一個(gè)合理的指標(biāo)測(cè)試方案將對(duì)改進(jìn)學(xué)校機(jī)器設(shè)備管理以及學(xué)校的人員安排具有重大意義，為學(xué)校節(jié)約人力資源，同時(shí)也使得學(xué)生在最優(yōu)時(shí)間內(nèi)完成體能測(cè)試項(xiàng)目，節(jié)省時(shí)間資源，為此，我們通過(guò)運(yùn)用LINGO程序和MATLAB編寫(xiě)程序進(jìn)行程序求解，制定合理體能測(cè)試方案。首先，我們根據(jù)機(jī)器測(cè)試的時(shí)間和機(jī)器臺(tái)數(shù)求得所需總時(shí)間段數(shù)至少為4段。在同一個(gè)班級(jí)人數(shù)不進(jìn)行分組的前提下，將56個(gè)班級(jí)劃分為18個(gè)小組（一個(gè)小組3個(gè)班），再將人數(shù)最多的班級(jí)分為2個(gè)組，計(jì)算出每個(gè)小組測(cè)試完所有項(xiàng)目所需的時(shí)間。然后建立EXCEL-VBA規(guī)劃模型或或0-1規(guī)劃模型，將這20個(gè)小組的時(shí)間段放入每天的兩個(gè)測(cè)試時(shí)間段內(nèi)，使得全部放完這20個(gè)小組的時(shí)段所需要的總測(cè)試時(shí)間段數(shù)最少，并求得最少測(cè)試時(shí)間段數(shù)恰好為至少4段。其次，為了節(jié)省學(xué)生等待時(shí)間，我們將每個(gè)班級(jí)人數(shù)進(jìn)行分組，每組為20人，共分成102組。由于這20人最多來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同的班級(jí)，我們求得完成20人的時(shí)間只可能為425秒、430秒、435秒這三種情況。這樣將原來(lái)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為怎樣用最少時(shí)間段數(shù)放入102個(gè)435秒。通過(guò)求解分析得到的時(shí)間段數(shù)為4段，，等待時(shí)間最長(zhǎng)的同學(xué)僅需等待2.6分鐘，從而說(shuō)明了分組的必要。最后，通過(guò)程序分析給出了每項(xiàng)測(cè)試的人均時(shí)間應(yīng)該相等的結(jié)論，以及用來(lái)配置機(jī)器的臺(tái)數(shù)，并討論得出場(chǎng)地容量對(duì)所需時(shí)段和等待時(shí)間的影響。[關(guān)鍵詞]：等待時(shí)間高斯函數(shù)時(shí)間等級(jí)分組問(wèn)題重述每個(gè)學(xué)校都可以通過(guò)體能測(cè)試來(lái)了解各個(gè)學(xué)生的身體狀況，以此設(shè)置相應(yīng)的體育鍛煉課程，增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)。某校按照教學(xué)計(jì)劃安排各班學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，以了解學(xué)生的身體狀況。測(cè)試項(xiàng)目、測(cè)試儀器及每個(gè)學(xué)生的平均測(cè)試時(shí)間如下圖表1。在測(cè)試時(shí)，每個(gè)學(xué)生測(cè)試每個(gè)項(xiàng)目前都要錄入個(gè)人學(xué)號(hào)，平均需時(shí)5秒。儀器在每個(gè)學(xué)生測(cè)量完畢后學(xué)號(hào)將自動(dòng)后移一位，若前后測(cè)試的學(xué)生的學(xué)號(hào)相連，則可省去錄入時(shí)間，且同一班學(xué)生的學(xué)號(hào)是相連的。學(xué)校安排每天測(cè)試的兩個(gè)時(shí)間段為8：00－12：10與13：30－16：45。五項(xiàng)測(cè)試的場(chǎng)所最多能容納150個(gè)學(xué)生，且測(cè)試項(xiàng)目沒(méi)有固定的先后順序。參加體能測(cè)試的各班人數(shù)見(jiàn)下表2。學(xué)校要求同一班的所有學(xué)生在同一時(shí)間段內(nèi)完成所有項(xiàng)目的測(cè)試，并且在整個(gè)測(cè)試所需時(shí)間段數(shù)最少的條件下，盡量節(jié)省學(xué)生的等待時(shí)間。用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言表述各班測(cè)試時(shí)間安排問(wèn)題，給出該數(shù)學(xué)問(wèn)題的算法，盡量用清晰、直觀的圖表形式為學(xué)校工作人員及各班學(xué)生表示出測(cè)試時(shí)間的安排計(jì)劃，并且說(shuō)明該計(jì)劃怎樣滿(mǎn)足學(xué)校的上述要求和條件。最后，請(qǐng)對(duì)學(xué)校以后的體能測(cè)試就以下方面提出建議，并說(shuō)明理由：如引進(jìn)各項(xiàng)測(cè)量?jī)x器的數(shù)量；測(cè)試場(chǎng)所的人員容量；一個(gè)班的學(xué)生是否需要分成幾個(gè)組進(jìn)行測(cè)試等。表1測(cè)量?jī)x器數(shù)量及所用時(shí)間測(cè)試項(xiàng)目測(cè)量?jī)x器（臺(tái)）儀器的單位測(cè)試時(shí)間（秒）每人所用時(shí)間（秒）身高與體重310(每人)3.333333333立定跳遠(yuǎn)120(每人)20肺活量120(每人)20握力215(每人)7.5臺(tái)階試驗(yàn)2210(每5人)21表2體能測(cè)試的各班人數(shù)班號(hào)123456789101112131415人數(shù)414544442644422020383725454545班號(hào)161718192021222324252627282930人數(shù)442030393538382825303620243233班號(hào)313233343536373839404142434445人數(shù)413351392020443738394240375050班號(hào)4647484950515253545556

人數(shù)4243414245421939751717

問(wèn)題分析針對(duì)問(wèn)題一，為使整個(gè)測(cè)試所需時(shí)間段最小和學(xué)生等待時(shí)間最短，我們通過(guò)對(duì)機(jī)器臺(tái)數(shù)、每個(gè)項(xiàng)目測(cè)試時(shí)間和場(chǎng)地容量等因素的分析計(jì)算，我們將56個(gè)班級(jí)總?cè)藬?shù)劃分成20個(gè)小組，其中最后2個(gè)班級(jí)單獨(dú)分為兩個(gè)小組。并且，每個(gè)小組內(nèi)的班級(jí)人數(shù)盡可能的比較接近，這樣來(lái)減少學(xué)生等待的時(shí)間。通過(guò)程序分析計(jì)算得出每個(gè)小組測(cè)試所需要的最少時(shí)間，然后將20個(gè)小組的時(shí)間段進(jìn)行合理組合，以便得到最少的時(shí)間段數(shù)能包含這所有的20個(gè)時(shí)間段。針對(duì)問(wèn)題二，在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上，保證時(shí)間段數(shù)最少的情況下，當(dāng)考慮每組內(nèi)學(xué)生之間的錄入時(shí)間時(shí)，由于每個(gè)儀器錄入學(xué)號(hào)的平均需時(shí)為5秒，如果前后測(cè)試的學(xué)生學(xué)號(hào)相連就可省去錄入時(shí)間，故在測(cè)試時(shí)盡量減少錄入時(shí)間就要使每組學(xué)生的學(xué)號(hào)相連，以達(dá)到錄用時(shí)間最少的效果，所以我們將同一班級(jí)人數(shù)進(jìn)行合理的分組。如下圖所示：臺(tái)階測(cè)試臺(tái)階測(cè)試1210秒握力測(cè)試儀15秒/人（二臺(tái)）立定跳遠(yuǎn)20秒/人（一臺(tái)）。身高與體重10秒/人（三臺(tái)）臺(tái)階測(cè)試2210秒肺活量20秒/人（一臺(tái)）五名五名圖1體能測(cè)試示意圖針對(duì)問(wèn)題三，綜合考慮問(wèn)題一二，在問(wèn)題一二的程序上，我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的改動(dòng)，從而比較得出最佳測(cè)量?jī)x器數(shù)量；測(cè)量場(chǎng)所人員容量，班級(jí)的分組情況等。模型假設(shè)1、在測(cè)試過(guò)程中各個(gè)測(cè)試儀器都能正常工作；2、每個(gè)學(xué)生在轉(zhuǎn)換測(cè)試項(xiàng)目時(shí)所用的時(shí)間不計(jì)；3、每個(gè)班級(jí)在安排測(cè)試的時(shí)間前都能保證到達(dá)測(cè)試地點(diǎn)；4、學(xué)生在測(cè)試完所有項(xiàng)目測(cè)試后能迅速離開(kāi)，并不再占用場(chǎng)所空間；5、測(cè)試不受天氣等各種因素的影響；6、臺(tái)階試驗(yàn)測(cè)試儀在測(cè)試人數(shù)不足5人時(shí)也可進(jìn)行測(cè)試；7、忽略人員進(jìn)入和離開(kāi)測(cè)試場(chǎng)地所用時(shí)間；符號(hào)說(shuō)明1、把身高與體重、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力、臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)試分別稱(chēng)為A、B、C、D、E項(xiàng)測(cè)試；2、——第輪測(cè)試所花費(fèi)的時(shí)間；3、——第個(gè)班級(jí)。4、——第個(gè)班級(jí)的人數(shù)5、表示第個(gè)組合所需時(shí)間。6、表示第個(gè)時(shí)間段長(zhǎng)度模型建立及求解由于56個(gè)班級(jí)的總?cè)藬?shù)為2036，假設(shè)每臺(tái)機(jī)器不停止工作，所有人完成A測(cè)試至少需要2036×10÷3+56×5=7066.67（s）。同理可得所有人完成B、C、D、F項(xiàng)測(cè)試至少需要的時(shí)間分別為41000、41000、15550、43036秒。那么，至少需要43036秒才能讓所有人完成全部的測(cè)試項(xiàng)目。由于時(shí)間段長(zhǎng)上午為15000秒、下午11700秒，因此至少需要2天4個(gè)時(shí)間段才能完成所有人的測(cè)試項(xiàng)目，即時(shí)間段的下屆為4段。在不對(duì)單個(gè)班級(jí)進(jìn)行分組的前提下，由于第五項(xiàng)每次可以測(cè)5名學(xué)生，且有兩臺(tái)機(jī)器，則對(duì)不同班級(jí)的總?cè)藬?shù)，用matlab編程求得圖形（見(jiàn)附錄一）可得班級(jí)人數(shù)與測(cè)試完臺(tái)階所需人數(shù)與時(shí)間的對(duì)照：班級(jí)人數(shù)為x1時(shí)測(cè)試臺(tái)階實(shí)驗(yàn)所需時(shí)間計(jì)算公式為：t=*210+5定義：在只進(jìn)行第五項(xiàng)測(cè)試時(shí)，把所有人數(shù)可能不同但測(cè)試完第五項(xiàng)所需時(shí)間相同的班級(jí)稱(chēng)為一個(gè)時(shí)間等級(jí)。例如：班級(jí)人數(shù)為25和35的兩個(gè)班級(jí)分別做完第五項(xiàng)測(cè)試所用時(shí)間均為635秒，那么按照，這兩個(gè)班級(jí)為同一時(shí)間等級(jí)。命題1：假設(shè)同一班級(jí)的人數(shù)不在進(jìn)行分組，若每次同時(shí)進(jìn)入測(cè)試場(chǎng)地的班級(jí)數(shù)為3，且每個(gè)班級(jí)的人數(shù)不小于17人時(shí)，那么有：同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)地的3個(gè)班級(jí)全部完成B項(xiàng)、C項(xiàng)、E項(xiàng)測(cè)試所需時(shí)間與這3個(gè)班級(jí)完成所有五項(xiàng)測(cè)試所需時(shí)間相同。證明：假設(shè)同時(shí)入場(chǎng)的班級(jí)分別為,其人數(shù)分別為.現(xiàn)讓這三個(gè)班級(jí)分別去做第B、C、E項(xiàng)測(cè)試，這三個(gè)班級(jí)都已經(jīng)完成各自的測(cè)試稱(chēng)為第一輪；第一輪測(cè)試完成后，讓班去做第C項(xiàng)測(cè)試，讓班去做E項(xiàng)測(cè)試，讓班去做B項(xiàng)測(cè)試，這三個(gè)班級(jí)都已經(jīng)完成各自的測(cè)試稱(chēng)為第二輪；第二輪結(jié)束后，依次類(lèi)推，讓班去做E項(xiàng)測(cè)試，讓班去做B項(xiàng)測(cè)試，讓班去做C項(xiàng)測(cè)試，這三個(gè)班級(jí)都已經(jīng)完成各自的測(cè)試稱(chēng)為第三輪。B項(xiàng)測(cè)試C項(xiàng)測(cè)試E測(cè)試第一輪第二輪第三輪在第一輪中，班的第一個(gè)學(xué)生在做完B項(xiàng)測(cè)試后，該同學(xué)完全可以利用等待該班第二位同學(xué)的B項(xiàng)測(cè)試的時(shí)間去進(jìn)行A項(xiàng)測(cè)試（共需要10+5秒），而當(dāng)他測(cè)試完B時(shí)，班第二位同學(xué)依然在進(jìn)行B項(xiàng)測(cè)試，而此時(shí)班的第一個(gè)同學(xué)再去做D項(xiàng)測(cè)試，由于班的人數(shù)不小于17，因此班還有部分同學(xué)尚未完成第B項(xiàng)測(cè)試。班的第二個(gè)同學(xué)完全按照該班第一個(gè)同學(xué)的路線進(jìn)行，以此類(lèi)推。那么該班級(jí)除了后兩位同學(xué)，其余均可以在n1班全部測(cè)完B項(xiàng)之前，也完成A、E項(xiàng)的測(cè)試。倒數(shù)后兩位可以在第二輪開(kāi)始，即n1進(jìn)行C項(xiàng)測(cè)試時(shí)，離開(kāi)n1班隊(duì)列去做完A、D項(xiàng)測(cè)試，然后回到對(duì)列繼續(xù)等待C項(xiàng)測(cè)試。由于B項(xiàng)測(cè)試的機(jī)器為三臺(tái)，D項(xiàng)測(cè)試的機(jī)器為二臺(tái)，完全足夠，并且在第一輪中和班分別做B、C項(xiàng)的時(shí)間均為20秒每人，班的同學(xué)的路線與班相似。對(duì)于班也可以在第一、二、三輪測(cè)試的間隙完成A、B的測(cè)試。另外B、C測(cè)試需要20秒，而E測(cè)試序言210秒，但可以同時(shí)測(cè)試5人且有2臺(tái)機(jī)器，那么人均耗時(shí)約為21秒。并有以上的命題討論我們知道若三個(gè)班級(jí)的人數(shù)相差不大，則比較節(jié)約時(shí)間，因此我講56個(gè)班級(jí)分組，每組的班級(jí)同時(shí)入場(chǎng)。表3組號(hào)班級(jí)編號(hào)對(duì)應(yīng)的人數(shù)第1組（525556）（191717）第2組（273536）（202020）第3組（8917）（202020）第4組（122428）（252524）第5組（25235）（302826）第6組（322918）（333230）第7組（262030）（363533）第8組（113843）（373737）第9組（212239）（383838）第10組（405310）（393838）第11組（421934）（403939）第12組(13148)(414141)第13組（464951）（424242）第14組（47741）（434242）第15組（61637）（444444）第16組（4350）（444445）第17組（131415）（454545）第18組（24544）（455050）第19組（54）（252525）第20組（33)（171717）按照表3，可以分一下兩種情況討論：情況一：若該組中的三個(gè)班級(jí)人數(shù)為x1、x2、x3均處于同一時(shí)間等級(jí)，則完成第一輪測(cè)試所需時(shí)間為：=210×+5（這里[]是上取整數(shù)函數(shù)）；這是因?yàn)槿舭嗉?jí)人數(shù)x1x2x3處于同一時(shí)間等級(jí)，則顯然有：20×210×；再加上第一位同學(xué)錄入學(xué)號(hào)的5秒，則完成第一輪總共所需時(shí)間為：=210×+5同理可得第二、三輪時(shí)間分別為=210×+5和=210×+5;則完成三輪測(cè)試所需的時(shí)間為：=++=+15（1）由上面的分組我們可以知道除了第7、19兩組，其他分組均出在同一時(shí)間等級(jí)，可按照上述（1）式計(jì)算完成時(shí)間（結(jié)果見(jiàn)表5）情況二：若三個(gè)班級(jí)不全處于同一時(shí)間等級(jí)，則由于人數(shù)不同有多種情況出現(xiàn)，具體情況時(shí)具體計(jì)算這里不給出計(jì)算公式。表3中有兩組的班級(jí)不同一時(shí)間等級(jí)，這兩組為第6組和第19組。現(xiàn)在分別計(jì)算器完成時(shí)間：表4第二項(xiàng)測(cè)試第三項(xiàng)測(cè)試第五項(xiàng)測(cè)試每輪測(cè)試所需要的時(shí)間（秒）班級(jí)編號(hào)（人數(shù)）所需時(shí)間（秒）班級(jí)編號(hào)（人）所需時(shí)間（秒）班級(jí)編號(hào)（人）所需時(shí)間（秒）第一輪26（36）72520(35)70530(33)845845第二輪30(33)66526（36）72520(35)845845第三輪20(35)70030(33)66526（36）10551055由表4得完成三輪測(cè)試所需的總時(shí)間T=845+845+1055=2745秒。同理可得第19組完成三輪測(cè)試所需的總時(shí)間T=4695秒。表組號(hào)班級(jí)編號(hào)對(duì)應(yīng)的人數(shù)測(cè)試所需時(shí)間第1組（525556）（191717）1275第2組（273536）（202020）1275第3組（8917）（202020）1275第4組（122428）（252524）1905第5組（25235）（302826）1905第6組（322918）（333230）1905第7組（262030）（363533）2745第8組（113843）（373737）2535第9組（212239）（383838）2535第10組（405310）（393838）2535第11組（421934）（403939）2535第12組(13148)(414141)3165第13組（464951）（424242）3165第14組（47741）（434242）3165第15組（61637）（444444）3165第16組（4350）（444445）3165第17組（131415）（454545）3165第18組（24544）（455050）3165第19組（54）（252525）1590第20組（33)（171717）1086現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：將上述19個(gè)時(shí)間按照某種組合方式全部填入每天的兩個(gè)時(shí)間段，從而使得所需的總時(shí)間段數(shù)最少。設(shè)表示所需的時(shí)間段總數(shù)，表示表5中第個(gè)組合所需時(shí)間，表示第個(gè)時(shí)間段長(zhǎng)度，其中=1，2，...19；=1，2，顯然有：=，進(jìn)一步假設(shè)0-1變量:=，其中=1，2，...19；=1，2，即得到0-1規(guī)劃模型一：min,=1;=1,2,...,19;;=1，2，上述模型中：第一個(gè)約束表示每個(gè)組能且只能安排在某一時(shí)段;第二個(gè)約束表示安排進(jìn)任一時(shí)段的所有組的測(cè)試總時(shí)間必不大于該時(shí)段長(zhǎng)度。解得結(jié)果如下見(jiàn)表6：表6組號(hào)班級(jí)號(hào)班級(jí)人數(shù)測(cè)試時(shí)間安排第一天上午第1組（525556）（191717）8:00:00～8:21:15第4組（122428）（252524）8:21:15～8:53:00第8組（113843）（373737）8:53:00～9:35:15第9組（212239）（383838)9:35:15～10:17:30第12組(13148)(414141)10:17:30～11:10:15第13組（464951）（424242）11:10:15～11:53:00下午第2組（273536）（202020）13:30:00～13:51:15第3組（8917）（202020）13:51:15～14:12:30第7組（262030）（363533）14:12:30～14:58:15第14組（47741）(434342)14:58:15～15:51:00第15組（61637）（444444）15:51:00～16:43:45第二天上午第6組（322918）(333230)8:00:00～8:31:45第10組（405310）（393838）8:31:45～9:14:00第11組（421934）（403939）9:14:00～9:46:15第16組（4350）（444445）9:46:15～10:39:00第17組（131415）（454545）10:39:00～11:31:45第19組（54）（252525）11:31:45～11:58:15下午第5組（25235）（302826）13:30:00～14:01:45第18組（24544）（455050）14:01:45～14:54:30第20組（33）（171717）14:54:30～15:12:36由結(jié)果可知整個(gè)測(cè)試所需時(shí)間段數(shù)最少為4段。由于已知所需時(shí)段的下限也是4，故以上結(jié)果為最優(yōu)方案。對(duì)于以上的方案，基于假設(shè)2、3、4，每個(gè)組最后一名離開(kāi)的同學(xué)（在該組中等待時(shí)間最長(zhǎng)）等待時(shí)間完全由分組情況決定，與該組進(jìn)入次序無(wú)關(guān)。當(dāng)班級(jí)人數(shù)較多時(shí)，若不對(duì)同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生分組會(huì)使得學(xué)生的等待時(shí)間較長(zhǎng)。為了減少學(xué)生的等待時(shí)間，可以將同一個(gè)班級(jí)人數(shù)予以分組進(jìn)入場(chǎng)地進(jìn)行測(cè)試?，F(xiàn)在考慮對(duì)同一班級(jí)學(xué)生進(jìn)行分組的情況。命題2：若每次同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)地的人數(shù)為20人為最優(yōu)人數(shù)（證明見(jiàn)附錄二），且這20人學(xué)號(hào)順序相連，則完成這20人全部的5項(xiàng)測(cè)試最少需要425秒，且可以達(dá)到425秒。證明：首先證明至少425秒。因?yàn)榧词共豢紤]其他4項(xiàng)，只做完第五個(gè)項(xiàng)目，這20人就需要425秒（見(jiàn)表1）。其次證明可以達(dá)到425秒。我們假設(shè)這20人的學(xué)號(hào)次序?yàn)閺?到20，則讓學(xué)號(hào)為1到5的學(xué)生測(cè)試第一臺(tái)臺(tái)階試驗(yàn)機(jī)，與此同時(shí)學(xué)號(hào)為6到10的同學(xué)測(cè)試第二臺(tái)臺(tái)階實(shí)驗(yàn)機(jī)，讓學(xué)號(hào)為11到15的同學(xué)測(cè)試肺活量，讓學(xué)號(hào)為16到20的學(xué)生測(cè)試立定跳遠(yuǎn)，。如第一輪下圖所示：臺(tái)階測(cè)試1臺(tái)階測(cè)試2肺活量立定跳遠(yuǎn)臺(tái)階測(cè)試1臺(tái)階測(cè)試2肺活量立定跳遠(yuǎn)學(xué)號(hào)

12345學(xué)號(hào)678910學(xué)號(hào)1112131415學(xué)號(hào)1617181920這樣11～15號(hào)與16～20號(hào)同時(shí)測(cè)完（都用了105秒）。兩個(gè)交換測(cè)試項(xiàng)目每次同時(shí)測(cè)完(都用了105秒)，這兩輪共用了210秒，而測(cè)試臺(tái)階的兩個(gè)組由于要用215秒，因此第二輪進(jìn)行臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)試的組還在繼續(xù)測(cè)試。過(guò)程如第二輪下圖所示：臺(tái)階測(cè)試1臺(tái)階測(cè)試2臺(tái)階測(cè)試1臺(tái)階測(cè)試2肺活量立定跳遠(yuǎn)學(xué)號(hào)

12345學(xué)號(hào)678910學(xué)號(hào)1617181920學(xué)號(hào)11121314156～10，16～20這兩組在等待了5秒后有同時(shí)去做臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)試，由于學(xué)號(hào)剛好能銜接，不需要輸入學(xué)號(hào)時(shí)間。做完臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)試的兩組去做剩余項(xiàng)的測(cè)試。過(guò)程如下圖所示：臺(tái)階測(cè)試1臺(tái)階測(cè)試2肺活量立定跳遠(yuǎn)臺(tái)階測(cè)試1臺(tái)階測(cè)試2肺活量立定跳遠(yuǎn)學(xué)號(hào)

1617181920學(xué)號(hào)1112131415學(xué)號(hào)12345學(xué)號(hào)678910這樣4組恰好同時(shí)離開(kāi)，總共所需時(shí)間為：215+210=425.這里指出，這4個(gè)組完成身高體重測(cè)試、握力測(cè)試均是利用間隙時(shí)間完成（討論類(lèi)似于命題1）。若進(jìn)入的20人來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同班級(jí)，但來(lái)自同一班級(jí)的學(xué)生學(xué)號(hào)相連。對(duì)于這種情況我們給出命題3：若進(jìn)入20人來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同班級(jí)，但來(lái)自同一班級(jí)的學(xué)生學(xué)號(hào)相連。這時(shí)測(cè)試完這20人只需要430或435秒。命題3的證明類(lèi)似于命題2，需要430還是435秒取決于兩個(gè)班學(xué)生的銜接位置。由命題2、3我們發(fā)現(xiàn)同時(shí)入場(chǎng)的20人至多來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同的班級(jí)，時(shí)間至多需要435秒。這樣將所有班級(jí)人數(shù)以20為單位劃分，不足的部分下一個(gè)班級(jí)的前幾位同學(xué)自動(dòng)銜接。這樣遠(yuǎn)問(wèn)題等價(jià)于長(zhǎng)度為435秒的小段去填上、下午的測(cè)試時(shí)間段，使得總時(shí)間段數(shù)最少。按照以上方法，我們將這56個(gè)班級(jí)