2020屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

2020屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．【答案】D2．下列函數(shù)值中，在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）A． B． C． D．【答案】C4．不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．【答案】A5．如圖，角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B6．在四邊形中，，設(shè).若，則（）A． B． C． D．【答案】B7．已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A8．設(shè)集合是集合的子集，對(duì)于，定義，給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在的兩個(gè)不同子集，使得任意都滿足且；②任取的兩個(gè)不同子集，對(duì)任意都有；③任取的兩個(gè)不同子集，對(duì)任意都有；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A二、填空題9．已知向量，且，則_____【答案】10．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________【答案】11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則____，_____【答案】0112．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為.從四點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作為向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)___________【答案】13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若存在，使得對(duì)任意都成立，則的取值范圍為_(kāi)_________【答案】【解析】根據(jù)題意，利用數(shù)列的關(guān)系式，進(jìn)一步進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，進(jìn)一步利用函數(shù)的恒成立問(wèn)題的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若存在，使得對(duì)任意的都成立，則，設(shè)，則，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的減區(qū)間為，所以函數(shù)在時(shí)函數(shù)取最大值，由于，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)最大值為．所以的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型．14．已知函數(shù)，其中，是這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，且不共線.①當(dāng)時(shí)，面積的最小值為_(kāi)__________；②若存在是等腰直角三角形，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】①利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用求出三角形的底和高，進(jìn)一步求出三角形的面積；②利用等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用求出的最小值．【詳解】函數(shù)，其中，是這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)的交點(diǎn)間的距離為一個(gè)周期，高為．所以：．如圖所示：①當(dāng)時(shí)，面積的最小值為；②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，則，解得的最小值為．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．三、解答題15．已知數(shù)列為各項(xiàng)均未正數(shù)的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若，求的最大值.【答案】；4【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，即可求出結(jié)果．（2），即可得出結(jié)論．【詳解】解:在等比數(shù)列中，設(shè)公比為.因?yàn)樗运?即.則或.因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?所以數(shù)列的通項(xiàng)公式在等比數(shù)列中，因?yàn)樗砸驗(yàn)椋?所以.所以.因?yàn)?所以.即的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16．已知函數(shù).求函數(shù)的最小正周期；若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】；【解析】（1）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式的變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期．（2）利用函數(shù)的恒成立問(wèn)題的應(yīng)用和函數(shù)的最值的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解:因?yàn)樗缘淖钚≌芷跒椤皩?duì)恒成立”等價(jià)于“”因?yàn)樗援?dāng)，即時(shí)的最大值為.所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．17．已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為求的值；若函數(shù)存在極大值，求的取值范圍.【答案】；【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線方程得到關(guān)于的方程組，解出即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的存在極大值，確定的范圍即可．【詳解】解：因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為，所以解得，①當(dāng)時(shí)，不存在極大值，不符合題意.②當(dāng)時(shí)，.令.(i)當(dāng)，即時(shí)，不符合題意.(ii)當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè)方程兩個(gè)根為，且.的變化如表所示:極大值極小值所以為極大值.③當(dāng)時(shí)，恒成立.設(shè)方程兩個(gè)根為，且.的變化如表所示:極大值極小值所以，為極大值.綜上，若函數(shù)存在極大值，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了切線方程問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．18．在中，.求的值；若點(diǎn)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），設(shè).①求的取值范圍；②直接寫出一個(gè)的值，滿足：存在兩個(gè)不同位置的點(diǎn)，使得.【答案】；①；②答案不唯一，取值在區(qū)間上均正確【解析】（1）利用余弦定理的應(yīng)用求出的余弦值，進(jìn)一步求出正弦值；（2）①直接利用正弦定理和關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出的取值范圍；②根據(jù)共線的條件求出在區(qū)間上即可【詳解】解:在中，根據(jù)余弦定理所以因?yàn)椋寓僭谥?，根?jù)正弦定理，得因?yàn)辄c(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，所以所以的取值范圍為②答案不唯一.取值在區(qū)間上均正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．19．已知函數(shù).判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；求證：.【答案】單調(diào)遞增，理由見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，?duì)求導(dǎo)，可證恒成立，即可證明結(jié)果；（2）證明“”等價(jià)于證明“”．求的最大值即可證明．【詳解】函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).理由如下:由，得因?yàn)椋?因此.又因?yàn)?，所以恒成?所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).證明“”等價(jià)于證明“”由題意可得，.因?yàn)榱睿瑒t.所以在上單調(diào)遞減因?yàn)?，所以存在唯一?shí)數(shù)，使得，其中.極大值的變化如表所示:所以為函數(shù)的極大值.因?yàn)楹瘮?shù)在有唯一的極大值.所以因?yàn)?，所以因?yàn)樗运浴军c(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值與最值，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題屬于綜合題．20．已知集合，且中的元素個(gè)數(shù)大于等于5.若集合中存在四個(gè)不同的元素，使得，則稱集合是“關(guān)聯(lián)的”，并稱集合是集合的“關(guān)聯(lián)子集”；若集合不存在“關(guān)聯(lián)子集”，則稱集合是“獨(dú)立的”.分別判斷集合和集合是“關(guān)聯(lián)的”還是“獨(dú)立的”？若是“關(guān)聯(lián)的”，寫出其所有的關(guān)聯(lián)子集；已知集合是“關(guān)聯(lián)的”，且任取集合，總存在的關(guān)聯(lián)子集，使得.若，求證：是等差數(shù)列；集合是“獨(dú)立的”，求證：存在，使得.【答案】是關(guān)聯(lián)的，關(guān)聯(lián)子集有；是獨(dú)立的；證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)題中所給的新定義，即可求解；（2）根據(jù)題意，，，，，，進(jìn)而利用反證法求解；（3）不妨設(shè)集合，，且.記，進(jìn)而利用反證法求解；【詳解】解:是“關(guān)聯(lián)的”關(guān)聯(lián)子集有;是“獨(dú)立的”記集合的含有四個(gè)元素的集合分別為:，，，，.所以，至多有個(gè)“關(guān)聯(lián)子集”.若為“關(guān)聯(lián)子集”，則不是“關(guān)聯(lián)子集”，否則同理可得若為“關(guān)聯(lián)子集”，則不是“關(guān)聯(lián)子集”.所以集合沒(méi)有同時(shí)含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾.所以一定不是“關(guān)聯(lián)子集”同理一定不是“關(guān)聯(lián)子集”.所以集合的“關(guān)聯(lián)子集”至多為.若不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時(shí)集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；若不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時(shí)集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；若不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時(shí)集合一定不含有元素的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；所以都是“關(guān)聯(lián)子集”所以有，即，即.，即，所以.所以是等差數(shù)列.不妨設(shè)集合，，且.記.因?yàn)榧鲜恰蔼?dú)立的”的，所以容易知道中恰好有個(gè)元素.假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，即不存在，使得所以任取