計(jì)算機(jī)控制附第4章課件

第六章?tīng)顟B(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器

6.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)6.2極點(diǎn)配置6.3狀態(tài)觀測(cè)器反饋：輸出反饋-狀態(tài)反饋（1）某些情況下的輸出反饋可以等價(jià)于狀態(tài)反饋，實(shí)質(zhì)上，輸出反饋是狀態(tài)反饋的特殊情況。（2）由于系統(tǒng)輸出中所包含的信息通常不是系統(tǒng)全部狀態(tài)的信息，所以輸出反饋只能看作部分狀態(tài)反饋。（3）對(duì)于系統(tǒng)性能的改善，輸出反饋可以辦到的事情，狀態(tài)反饋一定能辦到。反之則不然。（4）在沒(méi)有附加控制器的情況下，輸出反饋的效果沒(méi)有狀態(tài)反饋好。系統(tǒng)的極點(diǎn)的形式有實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種。對(duì)于實(shí)數(shù)的極點(diǎn)，在微分方程的解中就會(huì)有一個(gè)指數(shù)項(xiàng)與它相對(duì)應(yīng)。這個(gè)指數(shù)是以e為底的，它可以是不斷減少的，也可以是不斷增大的。對(duì)于復(fù)數(shù)形式的極點(diǎn)，微分方程的解就會(huì)有一個(gè)振蕩的項(xiàng)同它對(duì)應(yīng)，并且振幅會(huì)根據(jù)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部的大小不停的變化。由于每個(gè)控制系統(tǒng)有不同的微分方程，從而有不同的極點(diǎn)。不同極點(diǎn)對(duì)應(yīng)解的不同部分，這些特點(diǎn)不同的部分最終形成的宏觀結(jié)果——控制系統(tǒng)的輸出。極點(diǎn)：極點(diǎn)配置：定常線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性取決于它的傳遞函數(shù)矩陣的極點(diǎn)在復(fù)數(shù)平面上的位置。給定定常線性系統(tǒng)(A，B，C)，則在采用反饋增益矩陣K實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)就變成為(A-BK，B，C)。極點(diǎn)配置問(wèn)題就歸結(jié)為對(duì)于指定的n個(gè)期望極點(diǎn)s1，s2，…,sn，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆答佋鲆婢仃嘖。只要原系統(tǒng)(A，B，C)是能控的,則反饋增益矩陣K就可以找到。反饋增益矩陣K的求解，對(duì)于單輸入單輸出情況，已有簡(jiǎn)單的計(jì)算公式；對(duì)于多輸入多輸出情況，計(jì)算步驟復(fù)雜，往往采用計(jì)算機(jī)來(lái)處理。

狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)觀測(cè)器（stateobserver）根據(jù)系統(tǒng)的外部變量(輸入變量和輸出變量)的實(shí)測(cè)值，得出狀態(tài)變量估計(jì)值的一類(lèi)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，也稱為狀態(tài)重構(gòu)器。20世紀(jì)60年代，學(xué)者們提出狀態(tài)觀測(cè)器的概念和構(gòu)造方法，通過(guò)重構(gòu)的途徑解決了狀態(tài)的不能直接量測(cè)的問(wèn)題。狀態(tài)觀測(cè)器的出現(xiàn)，不但為狀態(tài)反饋的技術(shù)實(shí)現(xiàn)提供了可能性，而且在控制工程中也得到了實(shí)際應(yīng)用。例如：復(fù)制擾動(dòng)以實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)的完全補(bǔ)償?shù)取?.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)則閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖6.1.1所示。給定系統(tǒng)在系統(tǒng)中引入反饋控制律狀態(tài)反饋性質(zhì)(1)時(shí)，為單純的狀態(tài)變量反饋。若，則，狀態(tài)反饋就等價(jià)于輸。出反饋。若，則①利用矩陣運(yùn)算直接可推出(2)D=0時(shí)，可以求得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣②在圖6.1.1中令并改用圖6.1.2表示圖6.1.2于是，從到的傳遞函數(shù)矩陣即為證注意到系統(tǒng)和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以由

的列向量的線性組合表示。

定理6.1.1對(duì)于任何實(shí)常量矩陣，系統(tǒng)完全能控的充要條件是系統(tǒng)完全能控。

的列向量可以由()的的線性組合表示。列向量依此類(lèi)推，不難看出≤的線性組合表示。這意味著的列向量可以由的列向量

完全能控能觀，引入反饋例6.1.1系統(tǒng)

：不難判斷，系統(tǒng)仍然是能控的，但已不再能觀測(cè)。則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

定理6.2.1給定系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充完全能控。要條件6.2.1極點(diǎn)配置定理6.2極點(diǎn)配置對(duì)式(6.2.2)引入狀態(tài)反饋則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中，顯然有系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為同時(shí)，由指定的任意個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn)可求得期望的閉環(huán)特征方程通過(guò)比較系數(shù)，可知

且對(duì)任意，有非奇異變換陣使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解必要性：采用反證法，設(shè)不完全能控，則必解：因?yàn)槔?.2.1給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為求狀態(tài)反饋增益陣，使反饋后閉環(huán)特征值為系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，通過(guò)狀態(tài)反饋控制律能配置閉環(huán)特征值。任意6)算法2：直接配置1)將帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程，求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式

其中,是反饋矩陣的函數(shù)2)計(jì)算理想特征多項(xiàng)式3)列方程組

并求解。

其解,即為所求例6.2.2同例6.2.1。解：設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣k為因?yàn)榻?jīng)過(guò)狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為的根據(jù)要求的閉環(huán)期望極點(diǎn)，可求得閉環(huán)期望特征多項(xiàng)式為比較兩多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)，有：8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得：即得狀態(tài)反饋增益矩陣為:

與例6.2.1的結(jié)果相同6.2.3討論狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的維數(shù)，但是閉環(huán)傳遞函數(shù)的階次可能會(huì)降低，這是由分子分母的公因子被對(duì)消所致。(1)對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不會(huì)移動(dòng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。(2)若系統(tǒng)是不完全能控的，可將其狀態(tài)方程變換成如下形式：(3)

其中，的特征值不能任意配置。(4)系統(tǒng)綜合往往需要將不穩(wěn)定的極點(diǎn)，移到

s平面的左半部，這一過(guò)程稱為系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

只有的全部特征值都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)才能穩(wěn)定。6.3狀態(tài)觀測(cè)器問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造一個(gè)新的系統(tǒng)(或者說(shuō)裝置)，利用原系統(tǒng)中可直接測(cè)量的輸入量和輸出量作為它的輸入信號(hào)，并使其輸出信號(hào)滿足所以,只有當(dāng)時(shí)，上式中的才能有唯一解即只有當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)時(shí),狀態(tài)向量才能由以及它們的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合構(gòu)造出來(lái)。6.3.2全維狀態(tài)觀測(cè)器開(kāi)環(huán)狀態(tài)估計(jì)器：構(gòu)造一個(gè)與原系統(tǒng)完全相同的模擬裝置(1)開(kāi)環(huán)狀態(tài)估計(jì)器的缺點(diǎn)：需要初始條件相同（實(shí)際中難以滿足）抗干擾性差、對(duì)參數(shù)敏感性不強(qiáng)因而實(shí)際應(yīng)用中的主要是閉環(huán)狀態(tài)估計(jì)器在閉環(huán)狀態(tài)估計(jì)器中，還有一種降維觀測(cè)器。其估計(jì)誤差滿足在負(fù)共軛特征值成對(duì)出現(xiàn)的條件下，可選擇矩陣來(lái)任意配置的特征值。定理6.4.2若n維線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完能觀，則存在狀態(tài)觀測(cè)器例6.4.1為例6.2.1的系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)全維狀態(tài)觀測(cè)器，并使觀測(cè)器的極點(diǎn)為，。解:系統(tǒng)完全能觀測(cè)的，可構(gòu)造任