專題剖析-人教版立體幾何二輪復(fù)習(xí)

摘要：重新認(rèn)識(shí)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，解讀每一點(diǎn)知識(shí)?。￡P(guān)鍵字：專題剖析，立體幾何專題剖析------人教版立體幾何二輪復(fù)習(xí)1、三個(gè)公理和三條推論：（1）公理1：一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法。（2）公理2、如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，而且這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)都在同一條直線上。這是判斷幾點(diǎn)共線（證這幾點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)）和三條直線共點(diǎn)（證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一。（3）公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推論1：經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。公理3和三個(gè)推論是確定平面的依據(jù)。如（1）在空間四點(diǎn)中，三點(diǎn)共線是四點(diǎn)共面的_____條件（答：充分非必要）；（2）給出命題：①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，則lα；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β＝AB；③若lα，A∈l，則Aα④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共線，則α與β重合。上述命題中，真命題是_____（答：①②④）；（3）長方體中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在線段BD，A1C1上各有一點(diǎn)P、Q，在PQ上有一點(diǎn)M，且PM=MQ，則M點(diǎn)的軌跡圖形的面積為2、直觀圖的畫法（斜二側(cè)畫法規(guī)則）：在畫直觀圖時(shí)，要注意：（1）使，所確定的平面表示水平平面。（2）已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中保持長度和平行性不變，平行于軸的線段平行性不變，但在直觀圖中其長度為原來的一半。如（1）用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形為如下圖的一個(gè)正方形，則原來圖形的形狀是（）（答：A）（2）已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為_____（答：）3、空間直線的位置關(guān)系：（1）相交直線――有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。（2）平行直線――在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（3）異面直線――不在同一平面內(nèi)，也沒有公共點(diǎn)。如（1）空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點(diǎn)，則直線EG和FH的位置關(guān)系_____（答：相交）；（2）給出下列四個(gè)命題：①異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；②兩異面直線，如果平行于平面，那么不平行平面；③兩異面直線，如果平面，那么不垂直于平面；④兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線。其中正確的命題是_____（答：①③）4、異面直線的判定：反證法。如（1）“ａ、ｂ為異面直線”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ面α，ｂ面β且a∩b＝Φ；③ａ面α，ｂ面β且α∩β＝Φ；④ａ面α，b面α；⑤不存在平面α，能使ａ面α且ｂ面α成立。上述結(jié)論中，正確的是_____（答：①⑤）；（2）在空間四邊形ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，設(shè)BC+AD=2a，則MN與a的大小關(guān)系是_____（答：MN<a）；（3）若E、F、G、H順次為空間四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，且EG=3，F(xiàn)H=4，則AC2+BD2=_____（答：50）；（4）如果ａ、ｂ是異面直線，P是不在ａ、ｂ上的任意一點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①過點(diǎn)P一定可以作直線與ａ、ｂ都相交；②過點(diǎn)P一定可以作直線與ａ、ｂ都垂直；③過點(diǎn)P一定可以作平面α與ａ、ｂ都平行；④過點(diǎn)P一定可以作直線與ａ、ｂ都平行。其中正確的結(jié)論是_____（答：②）；（5）如果兩條異面直線稱作一對(duì)，那么正方體的十二條棱中異面直線的對(duì)數(shù)為_____（答：24）；（6）已知平面求證：b、c是異面直線．5、異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（中點(diǎn)平移，頂點(diǎn)平移以及補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。如（1）正四棱錐的所有棱長相等，是的中點(diǎn)，那么異面直線與所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方體AC1中，M是側(cè)棱DD1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一點(diǎn)，則OP與AM所成的角的大小為____（答：90°）；（3）已知異面直線a、b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有____條（答：2）；（4）若異面直線所成的角為，且直線，則異面直線所成角的范圍是____（答：）；6、異面直線的距離的概念：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。而和兩條異面直線都垂直的直線有無數(shù)條，因?yàn)榭臻g中，垂直不一定相交。如（1）ABCD是矩形，沿對(duì)角線AC把ΔADC折起，使AD⊥BC，求證：BD是異面直線AD與BC的公垂線；（2）如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，EF是異面直線AC與A1D的公垂線，則由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)所連接的直線中，與EF平行的直線有____條（答：1）；7、兩直線平行的判定：（1）公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；（2）線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行；（3）面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；（4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。8、兩直線垂直的判定：（1）轉(zhuǎn)化為證線面垂直；（2）三垂線定理及逆定理。9、直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；（2）直線與平面相交。其中，如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。注意：任一條直線并不等同于無數(shù)條直線；（3）直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。如（1）下列命題中，正確的是Ａ、若直線平行于平面內(nèi)的一條直線b,則1C1C１C1C1C1C1C1C１C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1A7cm8cm12cm四面體EFGH的表面積為T，則eq\f(T,S)等于______（答：eq\f(1,9)）。提醒：全面積（也稱表面積）是各個(gè)表面面積之和，故棱柱的全面積＝側(cè)面積＋2×底面積；棱錐的全面積＝側(cè)面積＋底面積。25、體積：（1）棱柱：體積＝底面積×高，或體積＝直截面面積×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的體積＝底面積×側(cè)棱長；三棱柱的體積（其中為三棱柱一個(gè)側(cè)面的面積，為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離）。如（1）設(shè)長方體的三條棱長分別為a、b、c，若長方體所有棱的長度之和為24，一條對(duì)角線長度為5，體積為2，則等于__（答：eq\f(11,4)）；（2）斜三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，側(cè)棱AA1和AB、AC都成45°的角，則棱柱的側(cè)面積為___，體積為___（答：；）。（2）棱錐：體積＝×底面積×高。如（1）已知棱長為1的正方體容器ABCD—A1B1C1D1中，在A1B、A1B1、B1C1的中點(diǎn)E、F、G處各開有一個(gè)小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對(duì)容積的影響忽略不計(jì)）是_____（答：）；（2）在正三棱錐A-BCD中，E、F是AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，若BC=，則正三棱錐A-BCD的體積為__（答：）；（3）已知正三棱錐底面邊長為，體積為，則底面三角形的中心到側(cè)面的距離為___（答：）；（4）在平面幾何中有：Rt△ABC的直角邊分別為a,b，斜邊上的高為h，則。類比這一結(jié)論，在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩點(diǎn)互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱錐P—ABC的高為h，則結(jié)論為______________（答：）．特別提醒：求多面體體積的常用技巧是割補(bǔ)法（割補(bǔ)成易求體積的多面體。補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是（答：1：2：3）和等積變換法(平行換點(diǎn)、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等.如（1）用平面去截三棱錐，與三條側(cè)棱交于三點(diǎn)，若，，則多面體的體積為_____（答：7）；（2）直三棱柱ABC—A1B1C1的體積為，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積為（答：）；（3）如圖的多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABC∥DEFG，平面BEF∥ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則該多面體的體積為________（答：4）26、正多面體：（1）定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體。（2）正多面體的種類：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。其中正四面體、正八面體和正二十面體的每個(gè)面都是正三角形，正六面體的每個(gè)面都是正方形，正十二面體的每個(gè)面都是正五形邊，如下圖：正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體27、球的截面的性質(zhì)：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；球心和截面圓的距離d與球的半徑R及截面圓半徑r之間的關(guān)系是r＝。提醒：球與球面的區(qū)別（球不僅包括球面，還包括其內(nèi)部）。如（1）在半徑為10的球面上有三點(diǎn)，如果，則球心到平面的距離為______（答：）；（2）已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，則球心到平面ABC的距離為______（答：12）28、球的體積和表面積公式：V＝。如（1）在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，面積分別為49cm2、400cm2，則球的表面積為______（答：）；（2）三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積。（答：表面積，體積）；（3）已知直平行六面體的各條棱長均為3，，長為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為為______（答：）；29、立體幾何問題的求解策略是通過降維，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，具體方法表現(xiàn)為：（1）求空間角、距離，歸到三角形中求解；（2）對(duì)于球的內(nèi)接外切問題，作適當(dāng)?shù)慕孛妯D―既要能反映出位置關(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系。如（1）甲球與某立方體的各個(gè)面都相切，乙球與這個(gè)立方體的各條棱都相切，丙球過這個(gè)立方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為_____（答：1∶2∶3）；（2）若正四面體的棱長為，則此正四面體的外接球的表面積為_____（答：）；（3）已知一個(gè)半徑為的球中有一個(gè)各條棱長都相等的內(nèi)接正三棱柱，則這一正三棱柱的體積是_____（答：）；（3）求曲面上兩點(diǎn)之間的最短距離，通過化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點(diǎn)間的距離。如已知正方體的棱長為1，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，則的最小值是_____（答：）；30、你熟悉下列結(jié)論嗎？⑴三個(gè)平面兩兩相交得到三條交線，如果其中的兩條交線交于一點(diǎn)，那么第三條交線也經(jīng)過這一點(diǎn)；⑵從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；⑶AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，AC和AB的射影成，設(shè)∠BAC=,則coscos=cos；⑷如果兩個(gè)相交平面都與第三個(gè)平面垂直，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面；⑸若長方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2+cos2+cos2=1；若長方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2。如（1）長方體中若一條對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三個(gè)面中的二個(gè)面所成的角為30°、45°，則與第三個(gè)面所成的角為____________（答：30°）；（2）若一條對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則的關(guān)系為____________。（答：）⑹若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則。如若正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積