浙教版八年級數學上冊第3章一元一次不等式

第3章一元一次不等式3.1認識不等式用適當的式子表示下列數量關系:1.甲班有a人,乙班有b人,已知甲班比乙班少1人,怎樣表示a與b之間的關系？

2.汽車每小時行駛v千米,2小時后路程超過了160千米,怎樣表示v與160之間的關系?做一做a=b-12v>160等式：不等式：下列問題中的數量關系應該用怎樣的式子來表示:(1)如圖,是公路上對汽車的限速標志,表示汽車在該路段行駛的速度不得超過40km/h,用v(km/h)表示汽車的速度,怎樣表示v與40之間的關系?v≤40(2)根據科學家測定，太陽表面的溫度不低于6000℃.設太陽表面的溫度為t（℃），怎樣表示t與6000之間的關系？t≥6000(3)如圖，天平左盤放3個質量相等的乒乓球，右盤放5g砝碼，天平傾斜，設每個乒乓球的質量為x（g），怎樣表示x與5的數量關系？3x＞

5(4)如圖,小聰與小明玩蹺蹺板,兩人都不用力時,蹺蹺板左低、右高,小聰的身體質量為p(kg),書包的質量為2kg,小明的身體質量為q(kg),怎樣表示p,q之間的關系?q<2+px≠3（5）要使代數式有意義，x的值與3之間有什么關系？像3x>5,v≤40這樣用＜，＞，≤，≥，≠連接而成的數學式子叫做不等式．＜，＞，≤，≥，≠這些符號叫做不等號．

符號

讀法

＜

＞≤≥≠或不大于或不小于小于大于小于等于大于等于不等于知識篇

關鍵詞語

不等號第一類——明顯的不等關系比…大大于>小于<≤

至多不大于不超過≥不小于不低于

至少超過低于比…小注意“不”字哦！1、判斷下列式子哪些是不等式？若不是請說明理由。(1)2>0；(2)a2+1＞0；(3)3x2+2x；

（4）x＜2x+1；(5)x=2x-5；(6)a+b≠c；練習1(1)，（2），（4），（6）是不等式

選擇適當的不等號填空(1)2____3；(2)-____-3；(3)-a2____0；(4)a2+b2____0；(5)若x≠y,則-x____-y；＜＞≤≥≠(6)實數a,b在數軸上的位置如圖,則a+b____0

b-a____0∣a∣____∣b∣a0b＜＞＞試一試≥

選擇適當的不等號填空(1)2____3；(2)-____-3；(3)-a2____0；(4)a2+b2____0；(5)若x≠y,則-x____-y；＜＞≤≥≠(6)實數a,b在數軸上的位置如圖,則a+b____0

b-a____0∣a∣____∣b∣a0b＜＞＞試一試≥例1根據下列數量關系列不等式：（1）y的2倍與6的和比1??；（2）x2減去10不大于10；（3）設a，b，c為一個三角形的三條邊長，兩邊之和大于第三邊；（4）a是正數.2y+6<1x2-10≤10a+b>c；a+c>b；b+c>a小結：1、確定不等量關系兩邊的代數式；2、抓住關鍵詞，選準不等號.再探新知a>0①已知x1=1，x2=2，請在數軸上表示出x1，x2的位置；②x＜1表示怎樣的數的全體？③0≤x＜2表示怎樣的數的全體？210－1x1x2210－1210－1（表示所有比1小的數的全體.）（表示所有大于或等于0而小于2的所有的數的全體）想一想12034-1-2-312034-1-2-3x≥21≤x＜2(1)x≥2；

(2)1≤x＜2.動手實踐:在數軸上表示下列不等式：.aa。。.ab..ab已知實數x在數軸上的圖象如下，你能表示x的取值范圍嗎？x≤ax＞aa＜x≤ba≤x≤b你能類似地在數軸上表示,,嗎？X<a

,

x≥

aa＜x＜

b思考記憶口訣小于朝左，大于朝右。有等畫實，無等畫空。說出下列各圖所表示的不等式-5-4

-3-2

-1

0

1

2

3

4

5-5

-4

-3

-2

-1

012

3

4

5-5

-4-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5??

x＜－2x≥0-3＜x≤2練習2已知不等式－2＜x＜3.（1）寫出6個滿足不等式－2＜x＜3的x值，你能寫出多少個這樣的x值？（2）寫出滿足這個不等式的所有的整數。（3）求出此不等式的非負整數。

例2.一座小水電站的水庫水位在12～20m（包括12m，20m）時，發(fā)電機能正常工作。設水庫水位為x（m）.（1）用不等式表示發(fā)電機正常工作水位范圍，并表示在數軸上；（2）當水位在下列位置時，發(fā)電機能正常工作嗎？①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=19.用不等式和數軸給出解釋。解：正常工作范圍12≤x≤20.0246810121416182022x2x1x3x4顯然，x3，x4滿足不等式12≤x≤20

，而x1,x2不滿足，當水位在15m,19m時，發(fā)電機能正常發(fā)電，當水位在8m,10m時，發(fā)電機不能正常發(fā)電。1.填空題（1）

2a＞a

；()（2）

-a2＜

0；()注意分類性注意嚴密性×

×當a＞0時，√當a≠

0時，√拓展篇2.某水果批發(fā)市場規(guī)定：批發(fā)蘋果不少于1000千克時，可享受每千克2元的最優(yōu)惠批發(fā)價，個體水果經營戶小王攜款x元到該批發(fā)市場，除保留200元作生活費外，全部以最優(yōu)惠批發(fā)價買進蘋果。用不等式表示問題中x與已知數量間的不等關系。拓展篇一個概念：兩種步驟

三個體驗：嚴密性、分類性、數形結合備好數軸找準點分清空實定方向不等式（五種形式來表示）列表抓住關鍵詞，選準不等號收獲篇1、小明和小華在探究數學問題.小明說:“3y＜

4y.”小華認為小明說錯了,聰明的你覺得呢?拓展練習2、用不等式表示：（1）a與b的平方和大于3；（2）x與y差的平方不小于2；（3）m與2的差是非負數.3、填空（1）某食品包裝袋上標有“凈含量385克5克”，則食品的合格凈含量x的范圍是________

；

（2）寫出滿足不等式的所有正整數______；

（3）寫出滿足不等式的最小整數______.拓展練習4、絕對值大于1且小于3的整數是（）

A、2B、－2C、±2D、不能確定

5、無論x取何值，下列不等式總成立的是（）

A、x+1＞x+3B、（x-3)2≥0

C、3x＞1D、3x+2＞x+1拓展練習練習：根據下列數量關系列不等式:(1)x的４倍小于３；

(2)y減去１不大于２；

(3)x的２倍與１的和大于x；

(4)a的一半不小于－７；

(5)a與1的和是非正數.相信自己是最棒的！4x＜32x+1＞xy-1≤2a≥－7a+1≤0快速搶答第3章一元一次不等式3.2不等式的基本性質同學們，讓我們一起乘坐幸福的快車，領略一路的數學美景！等式的基本性質：如果a=b,b=c,那么a=c；如果a=b，那么a+c=b+c,a-c=b-c；

雙休日，小明進行上網、學習、體育運動的時間分別為a小時、b小時、c小時.已知a<b，b<c，則小明在上網和體育運動這兩項活動中，所花時間較多的是哪一項？體育運動abc∴a<c把a<b，b<c表示在數軸上，這個性質也叫做

不等式的傳遞性．判一判：1、若m＞0，0＞n，則m＞n.()2、若x＞y,則y＜x.()3、若p＜r,r＜h,則p＜r＜h.()

雙休日，小明、小慧分別進行1小時和0.5小時的體育運動.由于運動會臨近，他們需要對參加的體育項目進行訓練，兩人都增加了0.5小時的運動時間，請問增加運動時間之后，誰的運動時間長？小明1+0.5>0.5+0.51+1>0.5+11>0.5>>>1+(-1)__0.5+(-1)1-2__0.5-21-(-3)__0.5-(-3)1若a>b，則a+c__b+c；

a-c__b-c.>>猜想bab+ca+cccb-ca-cbacc把a>b表示在數軸上，不妨設c>0∴a+c>b+c∴a-c>b-c數形結合平移思想

不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數，所得到的不等式仍成立.如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.即選擇適當的不等號填空，并說明理由.>≥≥≤在不等式的基本性質中，a，b，c代表的可以是數字、字母，還可以是多項式。

比較下列大小8＿＿128×4＿＿12×48÷4＿＿12÷48×(－4)＿＿12×(－4)8÷(－4)＿＿12÷(－4)＜＜＜＞＞想一想：從上面的變化,，你發(fā)現了什么?探索學習猜想如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc，＞；如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc，＜；

不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個正數，所得的不等式仍成立；

不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個負數，必須改變不等號的方向，所得的不等式成立.如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc，＞；如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc，＜

；即選擇適當的不等號填空，并說明理由.>>>

等式

不等式基本性質1基本性質2基本性質3若a＜b，b＜c，則a＜c如果a＞b,那么a+c＞b+c，a-c＞b-c

如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c若a=b,b=c,則a=c等式與不等式的基本性質的區(qū)別與聯(lián)系特殊值法:設a=-1，則2a=-2.

∵-2＜-1，

∴2a＜a.例1.已知a<0，試比較2a與a的大小.作差法:∵2a－a=a＜0，∴2a＜a.

如圖,在數軸上分別表示2a和a的點(a＜0).2a位于a的左邊，所以2a＜a.0a2a∣a∣∣a∣數形結合法:例1.已知a<0，試比較2a與a的大小.利用不等式基本性質2：∵a＜0，∴a+a＜0+a，即2a＜a.例1.已知a<0，試比較2a與a的大小.∵2＞1，a＜0，∴2a＜a.不等式的基本性質3：例1已知a<0，試比較2a與a的大小.試比較2a與a的大小.變式：已知a<0，當a>0時,當a=0時,當a<0時,例12a>a；2a=a=0；2a<a.

若x>y，比較2-3x與2-3y的大小，并說明理由.解：∵x>y，∴-3x<-3y，（不等式的基本性質3）∴2-3x<2-3y.（不等式的基本性質2）若x>y，且(a-3)x<(a-3)y，求a的取值范圍.解：∵x>y，且(a-3)x<(a-3)y，∴a-3<0（不等式的基本性質3），∴a<3（不等式的基本性質2）.能力拓展若x>y，請比較(a-3)x與(a-3)y的大小.變式訓練解：當a>3時，當a＝3時，當a＜3時，

比較等式與不等式的基本性質.

例如,等式是否有與不等式的基本性質1類似的傳遞性？不等式是否有與等式的基本性質類似的移項法則？你可以用列表的方式進行對比.感悟與反思

等式

不等式基本性質1

傳遞性基本性質2

移項法則基本性質3若a=b，b=c，則a=c若a＜b,b＜c,則a＜c如果a＞b,那么a+c＞b+c，a-c＞b-c如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c比較等式與不等式的基本性質如果a=b，且c≠0，那么ac=bc，

=如果a＞b,且c＞0,那么ac＞bc,＞

.如果a＞b,且c＜0,那么ac＜bc,＜

.小明和小華在探究數學問題.小明說：“3y＞4y”.小華認為小明說錯了，應該是3y＜4y，聰明的你覺得呢?誰做對了?解：當y＞0時,3y＜4y；

當y＜0時，3y＞4y.當y=0時,3y=4y；

第3章一元一次不等式3.3一元一次不等式不等式的基本性質:不等式的基本性質1：若a<b，b<c，則a<c.不等式的基本性質2：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c；如果a<b，那么a+c<b+c，a-c<b-c.不等式的基本性質3：如果a>b，且c>0，那么ac>bc,如果a>b，且c<0，那么ac<bc復習回顧；.一元一次方程:方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的指數是一次，這樣的方程叫做一元一次方程.1、方程的兩邊都是整式2、只有一個未知數3、未知數的指數是一次特點：（1）x=4；

（2）3y=30；；（4）1.5a+12=0.5a+1.

（3）2x+13=x2例如：火眼金睛（1）x>4；

（2）3y>30；；（4）1.5a+12≤0.5a+1.

（3）2x+13<x2請你找出這些不等式有哪些共同的特征？火眼金睛（1）x>4；

（2）3y>30；⑷1.5a+12≤0.5a+1.

（3）2x+13<x2請你從下列式子中找出與上面不等式有共同的特征的不等式。

；（2）X

>2；(3)x＜2x+1；(1)a2+1＞0(4)y=2y-5；（5）ｘ+ｙ>-3.一元一次不等式的定義：

2x5<3+x不等號的兩邊都是整式，而且只含有一個未知數，未知數的最高次數是一次，這樣的不等式叫做一元一次不等式.2x53+x分式整式不是一元一次不等式

一元一次不等式的定義：

不等號的兩邊都是整式，而且只含有一個未知數，未知數的最高次數是一次，這樣的不等式叫做一元一次不等式.特點：

（1）不等號的兩邊都是整式；

（2）只含有一個未知數；

（3）未知數的最高次數是1次.我們把能使不等式成立的未知數的值的全體叫做不等式的解集，簡稱不等式的解。把x=5代入不等式3x<18，不等式成立嗎？那能否說能使不等式成立的值就是x=5?這樣的值有很多請同學們把他們在數軸上指出來x<6，不等式3x<18的解是想一想X=6,x=7呢？表示小于6的實數的全體.練一練：1.下列說法正確的是（）（D）是的一個解（B）的解是（A）是的解（C）是的唯一解D2.求下列各不等式的解集：(1)x+5<3；(2)-3x>30；(3)4x<10；-35x≥1.2.(4)解:先在不等式的兩邊都加上-9x,得7x-9x-2≤3.解不等式7x-2≤9x+3,把解表示在數軸上，并求出不等式的負整數解.例1再在不等式的兩邊都加上2,得7x-9x≤3+2.合并同類項,得-2x≤5.兩邊都除以-2,得x≥-2.5.不等式的解表示在數軸上，如圖.-2.5不等式的負整數解是x=-1和x=-2.把不等式中的任何一項的符號改變后，從不等號的一邊移到另一邊，所得到的不等式仍成立.也就是說，在解不等式時，移項法則同樣適用.1.解下列一元一次不等式.（1）3x－1≥2x＋4（2）5x－2>11x＋3（3）

6x－1>9x－41、解不等式0.5x-3>-14-2.5x，把解表示在數軸上，并求出適合不等式的最大負整數和最小正整數。解：3x>-11x>10-1-2-3-4最大負整數解x=-1，最小正整數解x=1課外延伸2.如果x=2是不等式（a-2）x<4a+2的一個解，試求a的最小整數值.解：2（a-2）<4a+2

2a-4<4a+2

2a-4a<2+4

-2a<6

a>-3∴a的最小整數值為-2.3.如果兩個不等式3x＜-6與（a+1）x>1的解集相同，試求a的值.解：由3x＜-6，得x＜-2.∵（a+1）x>1的解集為x＜-2，∴解：∵自然數解只有1個，

∴原不等式的解不可能是x大于某一個數，

∴a+1>0，得又∵這個自然數必為0，

∴，而a+1≥0

∴2≤a+1，∴a≥1，

即a的取值范圍是a≥1.4.如果關于x的不等式（a+1）x<2的自然數解有且只有一個，試求a的取值范圍.第3章一元一次不等式3.4一元一次不等式組問題1:不等式-x＞-2的解是()A.x＞2B.x＞-2C.x＜2D.x＜-2問題2:C不等式()的解表示在數軸上,如圖.A.x＞-1B.x＜-1C.x≤-1D.x≥-1

-2

-1012D一個長方形足球訓練場的長為x（m）,寬為70m.如果它的周長大于350m,面積小于7560m2，你能確定x的取值范圍嗎?問題3:2(x+70)＞350，70x＜7560.定義:

一般地，由幾個含同一未知數的一元一次不等式所組成的一組不等式,叫做一元一次不等式組.在現實生活中，我們會遇到一個未知數需要同時滿足若干個不等式的情況.辨一辨下列式子中,哪些是一元一次不等式組?不是不是√√√√畫一畫

組成不等式組的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解.4210-13

利用數軸求出滿足不等式組的x的值的公共部分.注:當它們沒有公共部分時,則稱這個不等式組無解.

-2-1

0

12-2-1

0

1-2-1

0

1

2

-1

01

2將下列一元一次不等式組中的兩個不等式表示在同一條數軸中.畫一畫

-2-1

0

1

2-2-1

01-2-1012

-101