彈塑性波的相互作用

彈塑性波的相互作用第1頁(yè)/共111頁(yè)§4-1彈塑性加載波的

相互作用

彈性波的相互作用時(shí)，加載和卸載遵循同一應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，且應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的。

彈塑性波的相互作用時(shí)，加載和卸載遵循不同的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。且應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。第2頁(yè)/共111頁(yè)兩彈塑性波相互作用的加載過(guò)程，可概括為兩種基本類型：一種是迎面加載，另一種是追趕加載。追趕加載只發(fā)生在遞增硬化材料中，本節(jié)具體討論迎面加載問(wèn)題，對(duì)材料是遞減硬化還是遞增硬化并無(wú)限制。第3頁(yè)/共111頁(yè)

1．強(qiáng)間斷彈塑性波的迎面加載

先討論線性硬化材料的情況，這時(shí)彈性波速和塑性波速都是恒值。第4頁(yè)/共111頁(yè)設(shè)有一長(zhǎng)為的均勻等截面桿，原先處于靜止的自然狀態(tài)。兩端同時(shí)受到突加恒速?zèng)_擊載荷，其值在右端為，在左端為。于是在桿中有迎面?zhèn)鞑蓮?qiáng)間斷彈塑性拉伸波。第5頁(yè)/共111頁(yè)強(qiáng)間斷彈塑性加載波相互作用第6頁(yè)/共111頁(yè)兩波相遇前，和彈塑性簡(jiǎn)單波的情況完全一樣。圖中0，1、2、3、4各區(qū)的狀態(tài)均可作為已知，即：第7頁(yè)/共111頁(yè)兩彈性波波相遇后t2時(shí)刻應(yīng)力圖兩彈性前驅(qū)波首先相遇于a點(diǎn)。兩波相遇界面的右側(cè)有：兩波相遇界面的左側(cè)有：第8頁(yè)/共111頁(yè)在界面上應(yīng)滿足質(zhì)點(diǎn)速度相等和應(yīng)力相等條件，即有：由上述四個(gè)方程聯(lián)立求解得：

第9頁(yè)/共111頁(yè)內(nèi)反射與入射塑性波相遇后t3時(shí)刻應(yīng)力圖第10頁(yè)/共111頁(yè)入射塑性波相遇后t4時(shí)刻應(yīng)力圖第11頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性強(qiáng)間斷加載波相互作用的圖第12頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性強(qiáng)間斷加載波相互作用的圖第13頁(yè)/共111頁(yè)

2．弱間斷彈塑性波的迎面加載遞減硬化材料的彈性波速是恒值，但塑性波速不再是恒值，塑性波以連續(xù)波的形式傳播。第14頁(yè)/共111頁(yè)設(shè)有一長(zhǎng)為的遞減硬化材料等截面桿，原先處于，的狀態(tài)。右端受到漸加沖擊載荷到，在左端受到漸加沖擊載荷到后保持恒值，于是在桿中迎面?zhèn)鞑墒蹰g斷彈塑性拉伸波，在相遇前都是已知的簡(jiǎn)單波。

第15頁(yè)/共111頁(yè)弱間斷彈塑性拉伸波相互作用第16頁(yè)/共111頁(yè)相遇前都是已知的簡(jiǎn)單波，且有：第17頁(yè)/共111頁(yè)兩弱間斷彈塑性波相互作用

兩彈性前驅(qū)波首先相遇于a點(diǎn)。于d點(diǎn)相互作用完畢，對(duì)于桿的右側(cè)有

：對(duì)于桿的左側(cè)有

：第18頁(yè)/共111頁(yè)在界面上應(yīng)滿足質(zhì)點(diǎn)速度相等和應(yīng)力相等條件，即有：由上述四個(gè)方程聯(lián)立求解得，和。

第19頁(yè)/共111頁(yè)如果用來(lái)表示，則上四式可化為：

第20頁(yè)/共111頁(yè)化簡(jiǎn)合并后可得：上式可改寫為：

第21頁(yè)/共111頁(yè)弱間斷彈塑性波的迎面加載，引入來(lái)代替，就可應(yīng)用疊加原理來(lái)求解。第22頁(yè)/共111頁(yè)有限差分?jǐn)?shù)值法求解弱間斷彈塑性波相互作用把特征線ab和ac分別分成m段和n段，經(jīng)過(guò)ab線上諸分割點(diǎn)的左行特征線和經(jīng)過(guò)線ac上諸分割點(diǎn)的右行特征線將把區(qū)域劃分成許多小網(wǎng)格，而網(wǎng)格內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力可以近似地看作是均勻的。

第23頁(yè)/共111頁(yè)下面我們來(lái)求解sRaQ區(qū)。由簡(jiǎn)單波區(qū)特征線方程，我們可以求出a、Q、R三點(diǎn)的位置和狀態(tài)，下面我們求s點(diǎn)的位置和狀態(tài)。

第24頁(yè)/共111頁(yè)如果網(wǎng)格劃分的足夠小，則網(wǎng)格內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力可以近似地看作是均勻的。于是特征線段Rs的斜率可近似地按R點(diǎn)的狀態(tài)來(lái)確定，Qs的斜率可近似地按Q點(diǎn)的狀態(tài)來(lái)確定。

第25頁(yè)/共111頁(yè)于是可得：

第26頁(yè)/共111頁(yè)有限差分?jǐn)?shù)值法求解弱間斷彈塑性波相互作用解abdc區(qū)這類在兩條不同系的特征線上給定和

，則可在以這兩條特征線和經(jīng)過(guò)它們端點(diǎn)的另兩條特征線為界的曲線四邊形中求得單值解的問(wèn)題，常稱為Darboux問(wèn)題或特征線邊值問(wèn)題。

第27頁(yè)/共111頁(yè)三種類型的定解問(wèn)題：

Cauchy問(wèn)題(初值問(wèn)題)；

Picard問(wèn)題(混合問(wèn)題)；

Darboux問(wèn)題(特征線邊值問(wèn)題)。第28頁(yè)/共111頁(yè)

3．彈塑性加載波在固定端的反射

彈性波在剛壁(固定端)的反射，等同于兩應(yīng)力值相同彈性波的相互撞擊。和彈性波相似，彈塑性波在剛壁(固定端)的反射，也等同于兩應(yīng)力值相同彈塑性波的相互撞擊。第29頁(yè)/共111頁(yè)如果，代入下式可得：，將其代入下式得：第30頁(yè)/共111頁(yè)由，可得即：

彈塑性波在剛壁反射后應(yīng)力擾動(dòng)值加倍。

第31頁(yè)/共111頁(yè)遞減硬化彈塑性材料有限長(zhǎng)桿，其左端(X=0)固定，右端(X=L)在t=0時(shí)受一突加恒速撞擊。彈塑性波在固定端和撞擊端間來(lái)回反射而逐漸增強(qiáng)。

第32頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射在應(yīng)力波到達(dá)固定端之前，在彈性前驅(qū)波波陣面LA上，應(yīng)力、應(yīng)變、質(zhì)點(diǎn)速度分別從零突躍到Y(jié)、。第33頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射在時(shí)，幅值為Y的彈性波在固定端反射加載為塑性波，并由于材料遞減硬化特性，入射強(qiáng)間斷波反射轉(zhuǎn)化為弱間斷連續(xù)波。第34頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射第35頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射帶有(”)的區(qū)域都是恒值區(qū)，在平面上正負(fù)特征線都是直線，在狀態(tài)平面上只對(duì)應(yīng)于一點(diǎn)。

第36頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射帶有(’)的區(qū)域都是簡(jiǎn)單波區(qū)，它總是和恒值區(qū)相鄰出現(xiàn)。在狀態(tài)平面上它對(duì)應(yīng)于一線段。如果這線段是正向的，則平面上的負(fù)向特征線族為直線，而另一族特征線為曲線。第37頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射不帶(”)和(’)的區(qū)域都是混合波區(qū)，在物理平面和狀態(tài)平面上有一一對(duì)應(yīng)的區(qū)域。

第38頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射第39頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射第40頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射第41頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射第42頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射第43頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射第44頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射第45頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性波在固定端的反射第46頁(yè)/共111頁(yè)§4-2卸載波的控制方程

和特征線彈塑性材料在加載和卸載時(shí)遵循不同的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，因而相應(yīng)地有不同的控制方程。在處理既有加載又有卸載的彈塑性波的傳播問(wèn)題時(shí)，必須區(qū)分不同的質(zhì)點(diǎn)在不同的時(shí)刻是處于加載過(guò)程還是卸載過(guò)程。第47頁(yè)/共111頁(yè)彈塑性材料在經(jīng)歷塑性加載后的卸載應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足彈性卸載假定，即：從卸載前塑性變形所達(dá)到的應(yīng)力和應(yīng)變卸載時(shí)，不論卸載后是否又重新加載，而只要應(yīng)力不再超過(guò)，則應(yīng)力應(yīng)變間有線性關(guān)系，且其斜率等于加載曲線彈性部分的初始斜率。第48頁(yè)/共111頁(yè)一維應(yīng)力下彈性卸載的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系用字母上加一橫來(lái)表示卸載后的量，則一維應(yīng)力下彈性卸載的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可寫作：（4-1）

第49頁(yè)/共111頁(yè)對(duì)卸載區(qū)而言，和都只是X的函數(shù)，與t無(wú)關(guān)。上式對(duì)t和X分別求導(dǎo)可得：第50頁(yè)/共111頁(yè)如果X點(diǎn)和X+dX兩點(diǎn)卸載開始時(shí)的分別如圖中的a點(diǎn)和b點(diǎn)所示，某時(shí)刻t此兩點(diǎn)的卸載應(yīng)力分別如圖中i點(diǎn)和h點(diǎn)所示，則表達(dá)式中各項(xiàng)的意義如圖中所示。第51頁(yè)/共111頁(yè)卸載時(shí)桿的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程和加載時(shí)相同，連同卸載應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系就可列出卸載區(qū)的控制方程組為：第52頁(yè)/共111頁(yè)消去，則得第53頁(yè)/共111頁(yè)消去，則得第54頁(yè)/共111頁(yè)也可以表示為以位移為未知函數(shù)的兩階偏微分方程：第55頁(yè)/共111頁(yè)采用特征線法求解，可得對(duì)應(yīng)的特征線方程和特征線上相容條件。第56頁(yè)/共111頁(yè)以和為未知函數(shù)的控制方程組及其相應(yīng)的特征線方程組，與彈性波中的形式完全一致，這是彈性卸載假定的必然結(jié)果。第57頁(yè)/共111頁(yè)

追趕卸載：在半無(wú)限長(zhǎng)桿中，桿端先受到彈塑性加載，然后卸載。由于卸載擾動(dòng)的傳播比塑性加載擾動(dòng)的傳播快，后發(fā)生的卸載擾動(dòng)將追上先發(fā)生的塑性加載擾動(dòng)而相互作用的問(wèn)題。

迎面卸載：在有限長(zhǎng)桿中，由另一端傳來(lái)的卸載擾動(dòng)迎面與塑性加載擾動(dòng)相互作用的問(wèn)題。第58頁(yè)/共111頁(yè)§4-3追趕卸載一線性硬化材料的半無(wú)限長(zhǎng)桿，原來(lái)處于靜止的自然狀態(tài)，在t=0時(shí)受一突加恒值沖擊載荷，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1后又突然卸載到零。在兩桿突然相撞后又突然跳開的情況下就會(huì)遇到這類問(wèn)題。第59頁(yè)/共111頁(yè)加載擾動(dòng)和卸載擾動(dòng)都以強(qiáng)間斷波陣面的形式在桿中傳播，并且卸載擾動(dòng)的傳播快于塑性加載擾動(dòng)的傳播。第60頁(yè)/共111頁(yè)時(shí)，1區(qū)和2區(qū)的狀態(tài)有:第61頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí),卸載區(qū)3區(qū)的狀態(tài)有：第62頁(yè)/共111頁(yè)應(yīng)力雖然卸到了零，但仍有殘余變形和殘余質(zhì)點(diǎn)速度，這一點(diǎn)正是塑性變形的不可逆性的表現(xiàn)。第63頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)，卸載擾動(dòng)趕上塑性加載擾動(dòng)之后，卸載擾動(dòng)在桿的彈性恒值區(qū)中傳播，卸載擾動(dòng)波陣面通過(guò)后應(yīng)力卸到零，質(zhì)點(diǎn)速度降為零。于是在截面的兩側(cè)將有質(zhì)點(diǎn)速度的突躍差(

)，也就是說(shuō)將發(fā)生內(nèi)撞擊。第64頁(yè)/共111頁(yè)卸載擾動(dòng)趕上塑性加載擾動(dòng)時(shí)，將相互作用引起二次應(yīng)力波即內(nèi)反射波。第65頁(yè)/共111頁(yè)卸載擾動(dòng)與塑性加載擾動(dòng)相互作用后的具體情況將視兩擾動(dòng)相遇處(

)兩側(cè)的殘余質(zhì)點(diǎn)速度的差值大小而定。

，二次應(yīng)力波幅值將小于屈服限Y；，二次應(yīng)力波中將包含塑性波。第66頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí),4區(qū)的狀態(tài)可確定如下：第67頁(yè)/共111頁(yè)

根據(jù)處應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度的連續(xù)條件：于是可得第68頁(yè)/共111頁(yè)應(yīng)變?cè)谔帒?yīng)變發(fā)生間斷。第69頁(yè)/共111頁(yè)在處應(yīng)變發(fā)生間斷，該間斷面稱為駐定間斷面。第70頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)第71頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)第72頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)第73頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)第74頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)第75頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)第76頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)第77頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)，卸載擾動(dòng)與塑性加載擾動(dòng)相互作用。第78頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)，卸載擾動(dòng)與塑性加載擾動(dòng)相互作用。第79頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)，卸載擾動(dòng)與塑性加載擾動(dòng)相互作用。第80頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)，卸載擾動(dòng)與塑性加載擾動(dòng)相互作用。第81頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)，卸載擾動(dòng)與塑性加載擾動(dòng)相互作用。第82頁(yè)/共111頁(yè)

思考

線性硬化材料，卸載擾動(dòng)和塑性加載擾動(dòng)都是強(qiáng)間斷的追趕卸載以及卸載擾動(dòng)是強(qiáng)間斷，但塑性加載擾動(dòng)是弱間斷(連續(xù)波)的追趕卸載；遞減硬化材料，卸載擾動(dòng)是強(qiáng)間斷，但塑性加載擾動(dòng)是弱間斷(連續(xù)波)的追趕卸載以及卸載擾動(dòng)和塑性加載擾動(dòng)都是弱間斷的追趕卸載。第83頁(yè)/共111頁(yè)§4-4迎面卸載迎面卸載問(wèn)題就是兩異號(hào)應(yīng)力波迎面相互作用而發(fā)生相互卸載的問(wèn)題。第84頁(yè)/共111頁(yè)一線性硬化材料的有限長(zhǎng)桿，原來(lái)處于靜止的自然狀態(tài)。其左端受到突加恒速壓縮沖擊載荷，而右端受到突加恒速拉伸沖擊載荷，于是迎面?zhèn)鞑?yīng)力異號(hào)的兩強(qiáng)間斷彈塑性波。第85頁(yè)/共111頁(yè)應(yīng)力異號(hào)的兩彈塑性波迎面相遇時(shí)的卸載問(wèn)題。兩彈性前驅(qū)波相遇于a點(diǎn)，相互作用后形成5區(qū)，其中應(yīng)力和速度分別為：第86頁(yè)/共111頁(yè)應(yīng)力異號(hào)的兩彈塑性波迎面相遇時(shí)的卸載問(wèn)題。在圖上此狀態(tài)對(duì)應(yīng)于5點(diǎn)。

注意和追趕卸載的不同。

第87頁(yè)/共111頁(yè)應(yīng)力異號(hào)的兩彈塑性波迎面相遇時(shí)的卸載問(wèn)題。左行內(nèi)反射卸載波ab與右行塑性加載波ob迎面相遇于b點(diǎn)。

第88頁(yè)/共111頁(yè)b點(diǎn)的左側(cè)在卸載波通過(guò)后應(yīng)力卸到零，質(zhì)點(diǎn)速度將等于

。這樣將由于b點(diǎn)兩側(cè)存在質(zhì)點(diǎn)速度差()而發(fā)生內(nèi)撞擊。如果，內(nèi)撞擊所產(chǎn)生的兩個(gè)內(nèi)反射應(yīng)力波將都在彈性范圍內(nèi)。第89頁(yè)/共111頁(yè)應(yīng)力異號(hào)的兩彈塑性波迎面相遇時(shí)的卸載問(wèn)題。第90頁(yè)/共111頁(yè)如果或，則內(nèi)撞擊后所發(fā)生的內(nèi)反射波將仍然包含塑性波，但其強(qiáng)度削弱了。第91頁(yè)/共111頁(yè)應(yīng)力異號(hào)的兩彈塑性波迎面相遇時(shí)的卸載問(wèn)題（）。Ｒ第92頁(yè)/共111頁(yè)§4-5

Taylor圓柱

撞擊試驗(yàn)

Taylor圓柱撞擊理論研究的是圓柱彈體對(duì)半無(wú)限靶板的垂直撞擊問(wèn)題。

Taylor圓柱撞擊理論的重要意義在于能夠通過(guò)彈體的變形粗略確定材料動(dòng)態(tài)屈服極限。第93頁(yè)/共111頁(yè)假定：彈體是理想剛塑性材料；靶板是完全剛性材料；靶板僅有彈性變形。第94頁(yè)/共111頁(yè)理想剛塑性材料：0第95頁(yè)/共111頁(yè)理想剛塑性圓柱彈體的初始長(zhǎng)度為L(zhǎng)，以較大的初始速度撞擊半無(wú)限剛性靶板。第96頁(yè)/共111頁(yè)

彈體撞擊靶板瞬間，撞擊端面壓力急劇升高到材料屈服極限，在撞擊端產(chǎn)生彈性壓縮波向彈體內(nèi)傳播。

彈性壓縮波的速度為

，彈性壓縮波的強(qiáng)度為材料動(dòng)態(tài)屈服應(yīng)力

；彈性壓縮波后質(zhì)點(diǎn)速度為。第97頁(yè)/共111頁(yè)撞擊端面應(yīng)力繼續(xù)增長(zhǎng)進(jìn)入塑性范圍，塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力也是。塑性區(qū)向彈體內(nèi)部擴(kuò)展速度等于彈、塑性區(qū)分界面向左方傳播的速度，塑性區(qū)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)速度等于0。第98頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)時(shí)，彈性壓縮波到達(dá)自由端后產(chǎn)生拉伸卸載波。拉伸卸載波向回傳播，拉伸卸載波前方應(yīng)力為、質(zhì)點(diǎn)速度為，拉伸卸載波后應(yīng)力為0，質(zhì)點(diǎn)速度為。第99頁(yè)/共111頁(yè)當(dāng)拉伸卸載波到達(dá)彈、塑性區(qū)分界面時(shí)，整個(gè)彈體除了撞擊端外，其質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度都是。這時(shí)，彈體又以的速度向彈、塑性分界面進(jìn)行第二次撞擊。第100頁(yè)/共111頁(yè)

第二次撞擊同樣也會(huì)產(chǎn)生彈性壓縮波、塑性波以及反射拉伸卸載波，彈、塑性分界面不斷向左移動(dòng)，結(jié)果使得彈體彈性部分變短，塑性部分變長(zhǎng)。

如此重復(fù)，在每一次新的撞擊中，撞擊速度都會(huì)不斷降低，撞擊速度依次為

、

、

、…、

、…，其中第101頁(yè)/共111頁(yè)彈體撞擊靶板所產(chǎn)生的彈性波在彈體內(nèi)往返傳播形成一系列撞擊的過(guò)程，是一個(gè)不連續(xù)的分階段進(jìn)行的過(guò)程。但由于彈性波速度很大，彈性波在彈體上往返一次所需時(shí)間很短，在這么短的時(shí)間內(nèi)可以把分段進(jìn)行的不連續(xù)撞擊過(guò)程，近似看作一種連續(xù)過(guò)程。第102頁(yè)/共111頁(yè)設(shè)是彈性區(qū)的長(zhǎng)度，是塑性區(qū)的長(zhǎng)度，是無(wú)應(yīng)力彈性區(qū)向靶板運(yùn)動(dòng)的速度，是彈塑性分界面向左擴(kuò)展的速度，它們都是時(shí)間t的函數(shù)。第103頁(yè)/共111頁(yè)

彈性波在彈體上往返一次所需時(shí)間:

在這段時(shí)間內(nèi)，塑性區(qū)和彈性區(qū)的增量分別為：彈性波在彈體上往返一次時(shí)間彈體彈性部分速度變化為:第104頁(yè)/共111頁(yè)用導(dǎo)數(shù)代替差分，上述各式為：