基本數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)高段教材中的滲透

基本數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)高段教材中的滲透第1頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四小學(xué)數(shù)學(xué)高段教材分析

—基本數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)高段教材中的滲透

沙區(qū)教研室陸紅梅第2頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）談起10個(gè)核心概念:

數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)“四基”

:

基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)第3頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四“三維目標(biāo)”:

知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。

第4頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四教育應(yīng)該追求什么？把學(xué)過的內(nèi)容遺忘以后所剩下的東西

——愛因斯坦第5頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法

比較與分類分析與綜合抽象與概括歸納與演繹集合與對應(yīng)類比假設(shè)轉(zhuǎn)化極限統(tǒng)計(jì)符號(hào)化隨機(jī)思想

……第6頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

一、比較與分類（一）比較比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)。

——烏申斯基

第7頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

1.運(yùn)用比較，揭示概念的內(nèi)涵和外延第8頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四分別找出12塊糖、4枚棋子和8根小棒的

第9頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四2.運(yùn)用比較，辨析相似或相近的概念第10頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四3.運(yùn)用比較，溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系第11頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四4.運(yùn)用比較，分析錯(cuò)誤原因2.5×4÷2.5×4=10÷2.5×4=4×4=16

2.5×4÷2.5×4=10÷10=1

×（2.5×4）÷（2.5×4）=10÷10=1

第12頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四小剛的體重是36千克，正好比媽媽的體重輕。媽媽的體重是多少千克？36÷（1-）=54（千克）

36×（1+）=48（千克）×小剛的體重是36千克，媽媽的體重比小剛重。媽媽的體重是多少千克？

第13頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四（二）分類

在比較的基礎(chǔ)上，根據(jù)事物的某一本質(zhì)屬性進(jìn)行劃分，將事物區(qū)分為具有一定從屬關(guān)系的不同等級(jí)、層次系統(tǒng)，這就是分類。分類是揭示概念外延的一種邏輯方法。

第14頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的關(guān)系

真分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)整數(shù)（分子是分母的倍數(shù)）

假分?jǐn)?shù)帶分?jǐn)?shù)（分子不是分母的倍數(shù)）

第15頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一根繩子的和米哪個(gè)長？

第16頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

二、分析與綜合分析是把整體分解為部分，把復(fù)雜的事物分解為簡單的要素后分別加以研究的一種思維方法。綜合是把對事物的各個(gè)部分的認(rèn)識(shí)聯(lián)系起來，從整體上認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)或規(guī)律的思維方法。

第17頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四1.在概念、性質(zhì)、法則及公式的教學(xué)過程中應(yīng)十分重視分析與綜合第18頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四2.在計(jì)算教學(xué)中應(yīng)十分重視分析與綜合

［2÷（+）］×（0.125-）=［2÷（+）］×0=0第19頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四3.在應(yīng)用問題教學(xué)中應(yīng)十分重視分析與綜合張老師有50分和80分的郵票各2枚，他用這些郵票能付多少種郵資？

第20頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四4.分析法和綜合法分析法：從整體（問題）入手綜合法：從部分（條件）入手第21頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四三、抽象與概括抽象就是透過現(xiàn)象，深入里層抽取事物本質(zhì)的過程和方法。概括是在認(rèn)識(shí)事物的過程中，把研究事物的某些對象的相同屬性綜合起來，作為這一類事物的特性推廣到一般的思維方法；或者是把研究對象的所有本質(zhì)屬性特征加以綜合，從而形成對該事物的整體認(rèn)識(shí)的過程。

第22頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四四、歸納和演繹從個(gè)別的、特殊的的判斷出發(fā)給出具有一般性結(jié)論的思維形式叫做歸納。

以某類事物共有的屬性作為前提，推出其中的個(gè)別事物也具有這一屬性的過程叫做演繹。

第23頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四五、集合與對應(yīng)把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個(gè)整體，就稱為一個(gè)集合，其中各事物稱為該集合的元素。

對應(yīng)指的是一個(gè)集合中的某一項(xiàng)在性質(zhì)、作用、位置上跟另一集合中的某一項(xiàng)相當(dāng)。

第24頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

對應(yīng)的基本形式有：數(shù)形對應(yīng)一方面，許多抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，借助圖形式問題直觀化、形象化、簡單化；另一方面，通過運(yùn)用數(shù)量關(guān)系的公式、法則、計(jì)算等手段，可使較復(fù)雜的平面或空間圖形轉(zhuǎn)化為較為淺顯的數(shù)量關(guān)系來處理。第25頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四教學(xué)中的滲透點(diǎn)：用好“數(shù)尺”“數(shù)線”或“數(shù)軸”，感知數(shù)與形的結(jié)合借助線段圖，直觀形象地理解抽象的數(shù)量關(guān)系借助于“面積模型”理解分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算利用直觀模型幫助學(xué)生理解小數(shù)乘除法的算理第26頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第27頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第28頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四利用直觀模型幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法的意義和算理滲透直角坐標(biāo)系思想，初步感知函數(shù)關(guān)系與圖像的結(jié)合第29頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四量量對應(yīng)集合、函數(shù)、坐標(biāo)等問題都以這一思想為基礎(chǔ)。

利用數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系來找到解題思路或線索，也是對應(yīng)思想。第30頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

有5盒巧克力，每盒裝著同樣多的巧克力，從每盒拿出15個(gè)之后，剩下的正好相當(dāng)于原來的兩盒，原來每盒有多少個(gè)巧克力?

第31頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四量率對應(yīng)通過問題中具體數(shù)量與抽象分率之間的對應(yīng)來分析問題和解決問題的思想。第32頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四函數(shù)對應(yīng)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，對于x的每一個(gè)變化的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，y就叫做x的函數(shù)。第33頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四依次表現(xiàn)在以下幾方面：（1）變量思想的滲透

3=□8+4=□5=□

（2）用字母表示數(shù)滲透函數(shù)思想第34頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四（3）函數(shù)思想在正反比例教學(xué)中的滲透正比例和反比例就是兩種特殊的函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的表示方法：數(shù)值表示（表格）圖像表示解析表示（關(guān)系式）第35頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四圓的直徑和周長。

=π（一定），所以，圓的直徑和周長成正比例。三角形的面積一定，它的底和高。底×高÷2=面積底×高=面積×2（一定），所以，它的底和高成反比例。正方形的邊長和面積。邊長×邊長=面積=邊長（不一定），所以，正方形的邊長和面積不成正比例。第36頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四某地一位學(xué)生通過長期的觀察和記錄，發(fā)現(xiàn)蟋蟀叫的次數(shù)與氣溫之間有如下的近似關(guān)系，即蟋蟀一分鐘叫的次數(shù)除以7再加3等于當(dāng)時(shí)的氣溫。如果用a表示蟋蟀一分鐘叫的次數(shù)，用b表示當(dāng)時(shí)的氣溫，則可以寫出如下關(guān)系式：b=a÷7+3。第37頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

六、類比

類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去的思想。波利亞：類比是一個(gè)偉大的引路人，它是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉。

第38頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四一個(gè)多面體有兩個(gè)全等的面互相平行，并且不在這兩個(gè)面上的所有棱都互相平行，那么這個(gè)多面體就叫做柱體。這兩個(gè)全等的互相平行的面叫做柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的距離叫做擬柱體的高。柱體統(tǒng)一的體積計(jì)算公式是V=Sh。第39頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四七、假設(shè)假設(shè)就是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾加在適當(dāng)調(diào)整，最后找到正確答案的一種解題思想方法。第40頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四分?jǐn)?shù)應(yīng)用題雞兔同籠問題

判斷題“一種冰箱先提價(jià)20%，然后又降價(jià)20%，現(xiàn)價(jià)與原價(jià)價(jià)格相等”

第41頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四八、轉(zhuǎn)化為了謀求一個(gè)問題的解決，通過變形，將它歸結(jié)為一類較熟知的簡單的問題，再通過對簡單問題的解決，把解的結(jié)果作用于原問題，從而使原問題獲得解決，這種解決問題的思想方法成為轉(zhuǎn)化，也叫化歸。轉(zhuǎn)化思想的基本形式有：化生為熟、化難為易、化繁為簡、化整為零、化曲為直等。第42頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

數(shù)學(xué)家往往不是對問題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，甚至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)得到解決的問題。

——

路莎·彼得第43頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

九、極限

事物是從量變到質(zhì)變的，極限方法的實(shí)質(zhì)正是通過量變的無限過程達(dá)到質(zhì)變。極限作為“質(zhì)變的關(guān)節(jié)點(diǎn)”，是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)。

《莊子·天下》：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。劉徽：割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割以至于不可割，則與圓合體無所失矣。

第44頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四十、統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)是指由若干有關(guān)聯(lián)的要素構(gòu)成具有特定功能的有機(jī)整體，統(tǒng)計(jì)思想方法便是要求人們從系統(tǒng)要素相互關(guān)系的觀點(diǎn)，從系統(tǒng)與要素之間、要素與要素之間，以及系統(tǒng)與外部環(huán)境之間的相互關(guān)聯(lián)和相互作用中考慮問題，描述或推斷出客觀事物在數(shù)量上的特點(diǎn)。

第45頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四由此延伸，把幾個(gè)概念通過聯(lián)系來整體把握，由具體到抽象，再由抽象到具體，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，更好地理解和掌握概念及其相互關(guān)系，這也是統(tǒng)計(jì)思想方法的體現(xiàn)。

第46頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

奇數(shù)

2的倍數(shù)偶數(shù)倍數(shù)3的倍數(shù)

5的倍數(shù)倍數(shù)和因數(shù)質(zhì)數(shù)因數(shù)合數(shù)

1

第47頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四十一、

符號(hào)化

用符號(hào)化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號(hào)）來描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，這就是符號(hào)化思想。

第48頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一就在于如何做好“數(shù)學(xué)的符號(hào)語言”與“數(shù)學(xué)的非符號(hào)語言”之間的轉(zhuǎn)化。

——鄭毓信什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯。

——羅素第49頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四符號(hào)意識(shí)能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)，來表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。

知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，另外可以獲得一個(gè)結(jié)論，獲得的結(jié)論具有一般性。

第50頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)首先，讓學(xué)生在解決問題中經(jīng)歷符號(hào)化的過程，理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的作用。第51頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四學(xué)生已經(jīng)明確了用第幾組第幾個(gè)來確定自己在教室中的位置。師：下面，請各小組的小組長站起來，匯報(bào)你在教室中的位置是第幾組第幾個(gè)，同學(xué)們把它們記錄在練習(xí)本上。（12個(gè)小組長匯報(bào)，學(xué)生記錄，但明顯地跟不上小組長匯報(bào)的速度，開始嚷嚷“太快了”“慢一點(diǎn)兒”）師：你們?yōu)槭裁床粚懥?？有什么體會(huì)？生1：說得太快了，我們跟不上。生2：每一個(gè)人都要寫第幾組第幾個(gè)太麻煩了。（學(xué)生紛紛點(diǎn)頭“就是的”“就是的”）第52頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四師：大家都會(huì)用第幾組第幾個(gè)來確定自己在教室中的位置，但感覺到在書寫時(shí)有些麻煩。能用一種簡明的方式表示嗎？自己想一想，再把你的想法與小組內(nèi)的同學(xué)交流一下。（學(xué)生思考、交流，教師請5人板書）生1：1.2生2：1/2生3：一組第二個(gè)生4：1.B生5：表格法（略）師：同學(xué)們都能夠開動(dòng)腦筋，想出這么多種辦法，非常好?，F(xiàn)在比較一下，你認(rèn)為哪種方法最簡明？第53頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四生1：第一種最簡明。生2：第二種也簡明。生3：第一種和第二種一樣簡明。師：大家同意他們的看法嗎？（同學(xué)們紛紛表示贊同）師：我們一起來看第一種。對于這種方法，你認(rèn)為還有什么不合理的地方嗎？生1：跟小數(shù)1.2太像了。生2：第二種像2月1日，我媽媽給我簽字就是這樣寫的。師：這種方法可以怎樣改進(jìn)一下呢？生：把小數(shù)點(diǎn)改成逗號(hào)就行了。（教師板書“，”）師：怎樣表示出它們是一對數(shù)呢？在這一對數(shù)的兩邊打上括號(hào)，表示它們是一對數(shù)。（邊說邊板書）

……

第54頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四教學(xué)片段

教師在大屏幕上展示了整齊摞在一起的4本相同的《中外童話》，并出示式子4a。師：請同學(xué)們想一想，在這里，a可以表示什么？4a又可以表示什么？學(xué)生思考片刻，紛紛發(fā)表自己見解。生1：a可以表示1本《中外童話》的價(jià)錢，4a表示4本《中外童話》的總價(jià)。生2：a還可以表示1本《中外童話》的頁數(shù)，4a就表示4本《中外童話》的總頁數(shù)。生3：a也可能表示的是1本書的厚度，4a表示的就是這4本書的總厚度。生4：如果1本《中外童話》的字?jǐn)?shù)用a表示，那么4本《中外童話》的總字?jǐn)?shù)就能用4a表示。第55頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四師：同學(xué)們說得真好！（屏幕上的4本《中外童話》消失了，4a被放大，占據(jù)了整個(gè)畫面）大家可以聯(lián)系自己的生活實(shí)際再想一想，4a還可以表示什么呢？生1：可以用a表示1千克蘋果的價(jià)錢，4a表示的就是4千克蘋果的總價(jià)。生2：我用a表示1張課桌桌面的面積，4a就表示4張課桌拼在一起的桌面總面積。生3：我們1個(gè)學(xué)習(xí)小組有4個(gè)同學(xué)，那么4a就表示a個(gè)小組一共有多少個(gè)同學(xué)。生4：……（下課鈴聲響了，學(xué)生意猶未盡，還圍著老師說個(gè)不停）第56頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四其次，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)時(shí)，在獨(dú)立思考和與人交流時(shí)，都能經(jīng)常地、主動(dòng)地甚至創(chuàng)造性地使用符號(hào)。第57頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四已知三角形的面積為40平方厘米，三角形的底為16厘米，求三角形的高是多少厘米？

圓的半徑從2厘米增加到