電磁場5.2標(biāo)量磁位及其邊值問題

標(biāo)量磁MagneticPotentialandBoundaryValue 無電流區(qū)H Hm—磁

Hpm磁位m磁位

等磁位面（線)方程為m常數(shù)，等磁位面（線H線垂直m是多值函數(shù)B A HdllHdlAlBmAHAlBHdlBmAHdl規(guī)定:積分路徑不得穿過磁屏障面BBAHdl(02I長直電流周圍的力線與等m 兩平行長直載流導(dǎo)體的兩平行長直電流周圍

兩平行長直帶電導(dǎo)線周圍磁力線與等

電力線與

m 注 ①磁位的多值性不影響B(tài)和Hmm。H C)mm②鐵磁物體表面是等磁位

H

③在磁場中可以引入等磁等磁位線與等電位線的類 線電流I位于兩鐵板之間的

線電荷位于兩導(dǎo)板之間的場 m的邊值問題H0H022m在直角坐標(biāo)系中

2m

估計氣隙磁

UmNIHUmNIHBRRmUmHB0 UeEUeE電流IJ電 RUE J PI BmPI Bm單根載流導(dǎo)線，取1m222m22

mAB m2

HdlBA

ImH m

m1e m 220m20mI231P解 1(IφI

Iφ

例設(shè)在均勻磁場H0中放置長直磁 平行平面磁場,取圓柱坐1

1 (

0 02 m

1用分離變 m3H0xH0

m

m

件 件

m10

m

m

根據(jù)場的對稱性及式（2），得通 (MρN1)cos

M

( (

11磁

22r(122

cos

4H022r(122磁場強(qiáng)

H1m1ex

22r(1122管內(nèi)磁H均勻分布H0的方向一致。系 KH1 r(11 2 管的材料越大，K越小 效能越高②導(dǎo)磁管壁越厚，即1/2越小，K越小 效能高 與靜 材料各有什么要求mHm m QHdl PBE2QEdlPD①恒定磁場的問題可以歸為求解磁位滿足的邊值問題；②使靜電場、恒定電場和恒定磁場互相恒定磁場與恒定電流場的比 3.磁位與電位的比 (無源E0EdlpH p2 mdVV4r小1.1.磁矢位A的定義（DefinitionMagneticVectorPotentialB B0 A BA也可直接從BiotSavartLaw導(dǎo)出①A是從矢量恒等式得出，是引入的輔助計算量，明確的物理意義②A適用于整個磁場區(qū)域③因 BdS AdS Adl Adl l定磁場中A滿足庫侖規(guī)

A的單位 /米AA應(yīng)用磁矢位A求解恒定磁場問題也可以分為磁矢位ABiotSavartLaw：Bx,yz

J(x,y,z)erdV J(1)dV

4V 矢量運算J(1)J1JJ B(x,y,z) JdV 0JdV)4V 4VA4 VJdVRAA4 VJdVR4V以AA 4VJdVR ①面電流與線電流引起的磁矢為 4

A

Id ②上式應(yīng)用的條件為媒質(zhì)均勻且各向同；

A( JdV)4V④從上式可以看出磁矢位的方向與電流方向一。A是什

A

JdV

：4 4 ：

W1mv22W1mv22v磁場是運動的電場。A是跑著的？：與帶電粒子的能量有：關(guān)：矢量磁A與帶電粒子的動量有關(guān)Pmv：在量子力學(xué)中，A與被認(rèn)為是更基本的量；但在電磁場中，A只是計算B的輔助量。應(yīng)用磁矢A，求空氣中長直載流細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場L解 定性分析場分布，AL在xy

A I

dz 0I dz 0 0

L(2z2)1

2L2)ln0Iln2L(L)

A 磁感

BA Ze 例 應(yīng)用磁矢位分析兩線輸電線的磁場 A A

A

12 12總的

z z

A

ln 1 1

e取z軸為磁矢位參考 (bx)2A ln (bx)2 兩線輸電線的等A線方程為偏心圓方程y2(xb)2k2y2(x

(x

y2

a2E等AE等A雙線輸電線的磁場

雙線輸電線的電場磁矢位A

B0BHJB/u1Au

2A注意：A的多值問題——給定A，對應(yīng)唯一B；給B，對應(yīng)多個A如何唯一確定A？——散度、參考2AJ=0

2A0（矢量 方在直角坐標(biāo)系下，2A 可展開2A 2AJ 2A z類比

2

1

dV 4πεV 也可得磁矢位方程特解（以為磁矢位參考點 JxdV;

JydV;A

JzdV 4V

4V

4V 分界面上A的銜接條件P點作一矩形回路，則ΦmBdS(A)dS

Adl 當(dāng)L20Φm0

lAdl0 A1tA1tA1n圍繞P點作一扁圓柱，則sAdSVAdVL0

S

磁矢A的銜接條 A1tA1tA1n A2表明在媒質(zhì)分界面上磁矢位A是連續(xù)的。 H1tH2tK11(A)1(A) 12對于平行平面場 AAzez1

1 1 什么是平行平面場 矢量磁位A與標(biāo)量電的 微分方程：zz

2AA4 1

2AzVzVJzRAA1z條件

1

1 2

112121A1z A2z1/ 例 電機(jī)轉(zhuǎn)子槽內(nèi)有一線電流I，轉(zhuǎn)子的磁導(dǎo)，忽解 磁矢位A微分

2A2A y2直角坐標(biāo)系BAAexAey 由于，槽內(nèi)磁力線垂直于槽壁在xa 0yh處，B0，即

A 直角坐標(biāo)系BAAexAe 在y即

axa處，BxAyhxa處，忽略邊緣效應(yīng)，認(rèn)為x軸平行根據(jù)

HdlH2aIBx

02a

A0即 即一半徑為a的帶電長直圓柱體，J=Jez，試求導(dǎo)體內(nèi)外的磁矢位AB。采用圓柱坐標(biāo)系A(chǔ)AzezAzf)12A1

1

2A1(A2)

A()

2ClnC A()Cln通解

邊界條件A1a0 （參考磁矢位 1 11

000 000

解

a24

2

磁感

0J

BA

A

0a2J2

兩維場中磁矢位A的性質(zhì)AB線。BA

AzexAze Bxex Bxy

ByAzB線方 AzdyAzdxdAy x B線方AB線方在軸對稱場中，Aconst

為等A線。3.磁位、磁矢位與電位的比

E

(無源H

磁矢位B0

0Ep

p

lAdlS

2 dV4r

m

A 位函數(shù)與場線的nn電沿著電力 電力線平行條垂直于電力

電力SSB SSS垂直于磁力 mS

Az

磁場中的Image①鏡像法的理論依據(jù)②鏡像法的目的

唯一性定鏡像電流只能放在待求場域以外的區(qū)域求圖示載流導(dǎo)線的磁解平行平面場，有磁化電流的影

2Aμ ( 12A ( 1 A1

(A)

(A 根據(jù) 由 H

IsinαIsinαI由

μ1Icosαμ1Icosαμ2IIII

回憶靜

I212

I

2

磁場鏡像

I21 I2

2回憶靜電場鏡像法 q12 q1

1采用靜電比擬：1

1 q 例：I位于空氣解：鏡像電

線電流I位于無限大鐵板上方的鏡像空氣B線 2

直鐵磁平I0

II

I 0

流源與其鏡像號。鐵中H約等

B I

于0，但B不等于 2(

e1 2 2鐵磁

B

I

(20

0

22

I 鏡像電II21III 2I空氣中磁

（各自特點 一對反一對反向電流傳輸線一對同向電流傳輸線作1.自感（Self- 鏈的磁鏈的比值稱為自感 BdSs

（t)＝NLI

iLLi外自感

LIi載流導(dǎo)內(nèi)的磁Ii載流導(dǎo)內(nèi)的磁i 外的磁自感系數(shù)L只與載流回路尺寸以及2.互感（Mutual 21

M21I1

I I 1

對于多回路系ψ1L1I1M12I2M13I3ψkMk1I1Mk2I2...LkIk ①自感始終為正，互感可正可負(fù)。（為什么

12I I 2

M213電感的計電感的計算是場的計算，一般步驟 設(shè)IHBΦL(L,L 例試求圖示長為 的同軸電纜的自感L1、外自感(1B0

d d 0Ild

2L 0Ild0lln

同軸電纜截11 I11

2、內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感(0lHdlI

2 112 112H ,匝數(shù)11

NII21I2磁通dΦBdS

11因此

Nd

10Il

d

0I11 11

22 內(nèi)自

0l 3(2BI

0I223 2223 dΦi2BdSBI

22匝數(shù)NI

3332232Li2I

3NBld 2

l

l(220( )

3

2 總自 LL0Li1例 試求半徑為R的兩平行傳輸線自感

L

,

L2LL

B 0 2(D

DR1

(Dx)

兩線傳輸 L0llnD 總自感L2LL

D 解法二由A 0

DRA

2 0I

2 DR 兩線傳輸I DR

AdlA1lA2 ln L0lL

0llnD 例 試求圖示兩對傳輸線的互感解 設(shè)傳輸線AB帶電，求穿過CD回路的磁導(dǎo)線A作用

B00 0 B作用

Illn兩對傳輸線的互

0IllnAD

M0llnAD

AC

AC 1)鐵板放在兩線圈的下方,互感增加否鐵板放在兩線圈之間，互感、自感是否增？如何繞制無感電阻（設(shè)回1通以電I1，則空間任意點的磁矢位A 4

I1dl1 穿過回2通2Φ21 2

I1dl1)dl 2 2互

Φ21

計算回路的外自I集中在導(dǎo)線的軸線l1上，磁通穿過表面輪l2所限定的面電流I在l2上產(chǎn)生的磁矢位為A

I1dl1l2交鏈的磁通Φ

l12 12

線圈的自 L0 L0

4.用類比法求LLCe。例試求長為 的同軸電纜的外自。 解 B

L

μ0

dρ

μ0 lnρ2 I2πρE

2 ρ2

同軸電纜截面1 lnρ2面1靜電場2C 2 lnρ2

ULLCe

2πρ

dρ

π 磁場能MagneticEnergy1.恒定磁場中的能量（Magnetic 媒質(zhì)為線性、均勻、各向同性，自感和互感系數(shù)為常數(shù)磁場建立無限緩慢（不考慮渦流及輻射設(shè) t I

I (0m kk kk

(0m t時刻，k回路中的感應(yīng)電動勢 dkkdm dt dt即dA()Idt dm(mI)dtImdm AnmkndA1kkk2nk 用電感系數(shù)表示能K=1單個回路

1ψI

1LI

L IK=2兩個回路

1ψI1ψ 1I(LIMI)1I(LIMI2 1LI21LI2MI

=自有能量+互有能 WmWm22LI2 12 MijI ii1i2.磁能密度(EnergyDensity kkW

I

1

J Adl

1

A2 2

2k

Sk

2k11

A

1

Akk2 2kk由矢量恒等式(HAAHH得W

H1 A1

dSr2

1

(H

dS

H

r 22 Wm1HBdV2 磁能密

w1m2m

HB

1H22

1

J磁場能量是以密度形 在空間試求長度為l,通有電流I的同軸電纜磁場能量與自

環(huán)路定H1I

e 11

0

同軸電纜截

2 WHWHBdV 2

H1H1

I2l 0

ln212 1

4

1L

0l1ln2I 24 1作3.3.磁場力的計算(Magnetic FlIdl

例試求兩輸電線間的相互作用力設(shè)電流集中在導(dǎo)線幾何軸線

I I 212導(dǎo)線1在12B0I IlB

I le 導(dǎo)線2在導(dǎo)線1處產(chǎn)生I

B e fIlB l(e) f1f2 為相互排．試求載流導(dǎo)板間的相互作用．定性A板處的磁場BA板受力

(eyF IdlBS

Ib(e)z0z0

(e)

bI20(e) 0(e)y問 力計算是復(fù)雜的矢量