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第第#頁（共21頁）（叫解:由（口）知,當(dāng)nN6時(shí)，即3n+4n+…+（n+2）n<（n+3）n.即當(dāng)nN6時(shí),不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形：當(dāng)n=1時(shí),3W4,等式不成立；當(dāng)n=2時(shí)，32+42=52，等式成立；當(dāng)n=3時(shí),33+43+53=63，等式成立；當(dāng)n=4時(shí),34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，故34+44+54+64W74,等式不成立；當(dāng)n=5時(shí)洞n=4的情形可分析出,等式不成立.綜上，所求的n只有n=2,3.解法2：（工）證:當(dāng)x=0或m=1時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-l，且xW0時(shí),m三2,（1+x）m>l+mx.①（i）當(dāng)m=2時(shí)，左邊=1+2x+x2，右邊=l+2x,因?yàn)閤W0,所以x2>0,即左邊>右邊，不等式①成立；（ii）假設(shè)當(dāng)m=k（kN2）時(shí),不等式①成立，即（1+x）k>1+kx，則當(dāng)m=k+1時(shí)，因?yàn)閤>-1,所以1+x>0.又因?yàn)閤W0,kN2，所以kx2>0.于是在不等式（1+x）k>1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k?（1+x）>（1+kx）（1+x）=1+（k+l）x+kx2>1+（k+1）x，所以（1+x）k+1>1+（k+1）x.即當(dāng)m=k+1時(shí)，不等式①也成立.綜上所述，所證不等式成立.（口）證：當(dāng)nN6,mWn時(shí)，：（1-士）n<y,—去「7產(chǎn)而由（工），a-丸>i-』>0，n+J 口+3（印）解：假設(shè)存在正整數(shù)比三6使等式3%+4n4…十（門口十2）/二［門口十3）%成立,又由（口）可得n,…十/n|-|+.3 門口+口 四-|十二’

故當(dāng)nN6時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.下同解法1．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、

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