高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用133導數(shù)實際應用課堂探究新人教B選修22講解

高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用導數(shù)的實質(zhì)應用講堂研究新人教B版選修2-2研究一利潤(利潤)最大問題利用導數(shù)解決利潤(利潤)最大問題，重點是要成立利潤(利潤)的函數(shù)關系式，爾后借助導數(shù)研究該函數(shù)的最大值，注意函數(shù)定義域的限制以及實質(zhì)意義．【典型例題1】某企業(yè)準備在兩個項目上投資．已知在A項目上投資的利潤(萬元)與投資額(萬元)的平方根成正比，且當投資額為9萬元時，投資利潤為2萬元；在B項目上的x投資利潤g(t)(萬元)與投資額t(萬元)的關系式是g(t)＝3ln10＋1.已知該企業(yè)現(xiàn)準備在兩個項目上共投資350萬元，試求該企業(yè)的最大總利潤．思路分析：設在A項目上的投資額為x(萬元)，則在B項目上的投資額為(350－x)萬元，爾后將利潤表示為x的函數(shù)再用導數(shù)求解．解：設該企業(yè)在A項目上的投資額為x萬元，依題意，在A項目上的利潤為f(x)＝kx，22又當x＝9時，f(9)＝2，即k9＝2，因此k＝3，于是f(x)＝3x.這時在B項目上的投資額為350－x萬元，則在B項目上的利潤為g(350－x)＝350－x＋1.3ln10于是該企業(yè)的總利潤為h(x)＝(x)＋(350－)＝2x＋3ln360－x，其中0＜＜350.fgx310x21101于是h′(x)＝·2＋3·－x·－3x3601013360－x－9x＝3x－360－x＝3xx＝x＋24x－15，3xx令h′(x)＝0，得x＝15，即x＝225，當0＜x＜225時，h′(x)＞0；當225＜x＜350時，h′(x)＜0，因此h(x)在x＝225處獲取極大值，即最大值，213527最大值為h(225)＝3225＋3ln10＝10＋3ln2，27故該企業(yè)最大總利潤為10＋3ln2萬元．研究二花銷最低(用料最省)問題1將花銷或用料表示為某個變量的函數(shù)，爾后研究該函數(shù)的最值情況．多半情況下，用料最省問題會波及幾何體的表面積問題，這時要注意聯(lián)合平面幾何，立體幾何中有關的公式求解．【典型例題2】為了在夏季降平易冬季供暖時減少能源耗費，房子的屋頂和外墻需要建筑隔熱層．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建筑成本為6萬元．該建筑物每年的能源耗資花銷C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)知足關系：C(x)k8萬元．設f(x)為隔熱層建筑費＝3＋5(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源耗資花銷為x用與20年的能源耗資花銷之和．求k的值及f(x)的表達式；隔熱層修筑多厚時，總花銷f(x)達到最小，并求最小值．思路分析：依照題設條件結(jié)構(gòu)函數(shù)關系，再應用導數(shù)求最值．解：(1)設隔熱層厚度為xcm，k由題設，每年能源耗資花銷為C(x)＝3x＋5.又C(0)＝8，∴k＝40，因此C(x)＝40，而建筑花銷C1(x)＝6x，進而隔熱層建筑費3x＋540800用與20年的能源耗資花銷之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×3x＋5＋6x＝3x＋5＋6x(0≤x≤10)；24002，令f′(x)＝0，(2)f′(x)＝6－x＋5240025即x＋52＝6，得x1＝5，x2＝－3(舍去)．當0＜x＜5時，f′(x)＜0，當5＜x＜10時，f′(x)＞0.800故5是f(x)的最小值點，對應的最小值為f(5)＝6×5＋15＋5＝70，即當隔熱層修筑5cm厚時，總花銷達到最小值70萬元．研究三面積、體積最大問題求面積、體積的最大值問題是生活、生產(chǎn)中的常有問題，解決這類問題的重點是依照題設確定出自變量及其取值范圍，利用幾何性質(zhì)寫出頭積或體積對于自變量的函數(shù)，爾后利用導數(shù)的方法來解．【典型例題3】用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，若是所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．思路分析：可設容器的底面的短邊長為xm，那么長邊的長以及高即可用x表示出來，進而獲取容積與x的函數(shù)關系式，爾后用導數(shù)求得最大值．2解：設容器底面短邊的邊長為xm，則另一邊長為(x＋0.5)m，14.8－4x－4x＋0.5＝3.2－2x.高為4由題意知x＞0，x＋0.5＞0，且3.2－2x＞0，∴0＜x＜1.6.設容器的容積為Vm3，則有V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令V′＝0，有15x2－11x－4＝0，4解得x1＝1，x2＝－(舍去)．15∴當x∈(0,1)時，V′(x)＞0，V(x)為增函數(shù)，x∈(1,1.6)時，V′(x)＜0，V(x)為減函數(shù)，∴V在x∈(0,1.6)時取極大值V(1)＝1.8，這個極大值就是V在x∈(0,1.6)時的最大值，即Vmax＝1.8，這時容器的高為1.2m，∴當高為1.2m時，容器的容積最大，最大值為1.8m3.研究四易錯辨析易錯點忽略實責問題中變量的取值范圍而犯錯【典型例題4】某廠生產(chǎn)一種機器，其固定成本(即固定投入)為0.5萬元．但每生產(chǎn)100臺，需要增加可變成本(即另增加投入)0.25萬元．市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，12銷售收入(單位：萬元)函數(shù)為：R(x)＝5x－2x(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺)．把利潤y表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？錯解：(1)由題意知，成本函數(shù)C(x)＝0.5＋0.25x，1212191y＝R(x)－C(x)＝5x－2x－(0.5＋0.25x)＝－2x＋4x－2(0≤x≤5)．1919y′＝－x＋4，令y′＝0，得x＝4＝4.75，∴4.75必為最大值點．∴年產(chǎn)量為475臺時，工廠利潤最大．錯因分析：實責問題中，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量不用然在500臺之內(nèi)(含500臺)，應有x35的情況，錯解忽略了此種情況，就出現(xiàn)了錯誤．正解：(1)利潤y＝R(x)－C(x)5x－x20.25xx≤，25＝520.25xx＞55×5－212－2x＋4.75x－0