平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)

平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)第1頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四回顧樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之間差異的假設(shè)檢驗(yàn)又叫做總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。如果某個(gè)樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的差異達(dá)到了顯著性水平就可以推翻零假設(shè)，認(rèn)為這個(gè)樣本不是來自該總體，而是來自其他總體；如果這個(gè)樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的差異未達(dá)到顯著性水平，則要接受零假設(shè)，這時(shí)就得承認(rèn)這個(gè)樣本來自該總體。第2頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四展望本章將介紹如何由兩個(gè)樣本平均數(shù)之差檢驗(yàn)兩個(gè)相應(yīng)總體平均數(shù)之差的顯著性。如果某兩個(gè)樣本平均數(shù)之間的差異達(dá)到了一定的限度，即達(dá)到了顯著性水平，就可以認(rèn)為這兩個(gè)樣本來自不同的總體，或者說，這兩個(gè)樣本各自所代表的總體之間有真正的差異；如果兩個(gè)樣本平均數(shù)之間的差異不顯著，則可以認(rèn)為，這兩個(gè)樣本平均數(shù)之間的差異是由抽樣誤差造成的，它們所來自的總體的平均數(shù)相等或就來自同一個(gè)總體。第3頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié) 平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的基本原理一、基本原理兩個(gè)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)與一個(gè)樣本平均數(shù)顯著性檢驗(yàn)道理相同。步驟：假設(shè)檢驗(yàn)一般都要從提出零假設(shè)和備擇假設(shè)開始。然后，分析在零假設(shè)成立的情況下某個(gè)統(tǒng)計(jì)量的概率分布的形態(tài)。第4頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四實(shí)驗(yàn)從兩個(gè)總體中分別抽取一個(gè)樣本，計(jì)算完兩個(gè)樣本平均數(shù)的差之后，把樣本放回各自的總體，再分別抽取一個(gè)樣本，計(jì)算第二次抽樣的樣本平均數(shù)之差，然后放回各自的總體，再做第三次抽樣……這種抽樣可以一直進(jìn)行下去。（第一次抽樣）（第二次抽樣）（第三次抽樣）第5頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究表明，假若那么兩個(gè)樣本平均數(shù)之差的概率分布就是以0為中心的正態(tài)分布：第6頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四概率保留區(qū)間0.950臨界值臨界值要實(shí)際地判斷樣本平均數(shù)的差異是否落入了零假設(shè)的拒絕區(qū)域里，需要以該抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差，即平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤為依據(jù)。第7頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四二、平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤（相關(guān)總體）（相關(guān)樣本）兩個(gè)樣本平均數(shù)差的抽樣誤差稱為平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，用一切可能的樣本平均數(shù)之差在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差來表示。第8頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四（獨(dú)立總體，r=0）（獨(dú)立樣本，r=0）第9頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四表示第一個(gè)變量總體方差表示第二個(gè)變量總體方差表示第一個(gè)與第二個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)n表示樣本容量表示第一個(gè)變量樣本方差表示第二個(gè)變量樣本方差第10頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)兩個(gè)總體平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)涉及到兩個(gè)總體，要考慮到如下五個(gè)因素：樣本是相關(guān)的還是獨(dú)立的；總體是正態(tài)分布還是非正態(tài)分布；總體方差是已知還是未知；總體方差是否齊性；樣本的大小。第11頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié) 相關(guān)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)定義：兩個(gè)樣本內(nèi)個(gè)體之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這兩個(gè)樣本稱為相關(guān)樣本。（1）用同一測(cè)驗(yàn)對(duì)同一組被試在試驗(yàn)前后進(jìn)行兩次測(cè)驗(yàn)，所獲得的兩組測(cè)驗(yàn)結(jié)果是相關(guān)樣本。 （2）根據(jù)某些條件基本相同的原則，把被試一一匹配成對(duì)，然后將每對(duì)被試隨機(jī)地分入實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組，對(duì)兩組被試施行不同的實(shí)驗(yàn)處理之后，用同一測(cè)驗(yàn)所獲得的測(cè)驗(yàn)結(jié)果，也是相關(guān)樣本。第12頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四相關(guān)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)方法和步驟：（一）提出假設(shè)第13頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四（二）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值。在小樣本的情況第14頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四在大樣本的情況第15頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第16頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四（三）確定檢驗(yàn)形式包括雙側(cè)檢驗(yàn)、左側(cè)檢驗(yàn)和右側(cè)檢驗(yàn)（四）統(tǒng)計(jì)決斷當(dāng)進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，df=n-1。第17頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四一、配對(duì)組的情況例如：有人做了一項(xiàng)分散識(shí)字教學(xué)法與集中識(shí)字教學(xué)法的比較實(shí)驗(yàn)。根據(jù)研究的需要，實(shí)驗(yàn)之前先將被試配成對(duì)。為了控制無關(guān)因素的干擾，配對(duì)時(shí)研究者考慮了被試以下幾方面的情況：智力水平、努力程度、識(shí)字量多少及家庭輔導(dǎo)力量等，然后按照各方面條件基本相同的原則，將學(xué)生配成了10對(duì)，再把每對(duì)學(xué)生中的一個(gè)隨機(jī)地指派到實(shí)驗(yàn)組，另一個(gè)指派到對(duì)照組。兩組學(xué)生分別接受用不同的教學(xué)法進(jìn)行的教學(xué)。經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)之后，兩組學(xué)生接受統(tǒng)一的測(cè)試，結(jié)果如表7.1所示。現(xiàn)在問，兩種識(shí)字教學(xué)法是否有顯著性差異？第18頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四表7.110對(duì)學(xué)生在兩種識(shí)字教學(xué)法中的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)和差數(shù)組別實(shí)驗(yàn)組對(duì)照組差數(shù)值

12345678910937291658177898473707674805263628285647217-2111313157-19-22894121169324225401814總和795710851267第19頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四解：1.提出假設(shè)2．計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量第20頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四3．確定檢驗(yàn)形式雙側(cè)檢驗(yàn)4．統(tǒng)計(jì)決斷因?yàn)槭莟檢驗(yàn)，所以要根據(jù)自由度df=n-1=10-1=9查t值表(即附表2)，找雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值。p<0.01，所以，在0.01的顯著性水平上拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)。即可得出小學(xué)分散識(shí)字教學(xué)法與集中識(shí)字教學(xué)法有極其顯著的差異的結(jié)論。第21頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四又如：某小學(xué)為了更有效地訓(xùn)練中年級(jí)學(xué)生掌握有關(guān)計(jì)算機(jī)操作的基本技能，特對(duì)兩種訓(xùn)練方法的有效性進(jìn)行了比較研究。在四年級(jí)學(xué)生中，根據(jù)智力水平、興趣、數(shù)學(xué)和語文成績，以及家庭中有無學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)的機(jī)會(huì)等有關(guān)因素都基本相同的條件下，將學(xué)生匹配成34對(duì)，然后把每對(duì)學(xué)生拆開，隨機(jī)地分配到不同的訓(xùn)練組中，經(jīng)訓(xùn)練后，兩組學(xué)生考核的分?jǐn)?shù)如下，問兩種不同的訓(xùn)練方法是否確實(shí)造成學(xué)習(xí)效果上的顯著性差異？第22頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四學(xué)生X1X2D學(xué)生X1X2D010203040506070809101112131415161786838075686056487677706562587390828880766865545043727868646056708881-234736654-121223211819202122232425262728293031323334786965456673577472676485817875677677706644627154747063658379757167731-1-11423024-1223403總和3476第23頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四解：1.提出假設(shè)2．計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量第24頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四3．確定檢驗(yàn)形式雙側(cè)檢驗(yàn)4．統(tǒng)計(jì)決斷Z=6.031**>2.58，P<0.01所以，要在0.01的顯著性水平上拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)。第25頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四二、同一組對(duì)象的情況例子：某小學(xué)在新生入學(xué)時(shí)對(duì)28名兒童進(jìn)行了韋氏智力測(cè)驗(yàn)，結(jié)果平均智商=99，標(biāo)準(zhǔn)差=14，一年后再對(duì)這些被試施測(cè)，結(jié)果平均智商=101，標(biāo)準(zhǔn)差=15，已知兩次測(cè)驗(yàn)結(jié)果的相關(guān)系數(shù)r=0.72，問能否說隨著年齡的增長與一年的教育，兒童智商有了顯著提高？第26頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四解：1.提出假設(shè)2．計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量第27頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四3．確定檢驗(yàn)形式左側(cè)檢驗(yàn)4．統(tǒng)計(jì)決斷當(dāng)df=27時(shí)， t=0.954<1.703，P>0.05所以，要保留零假設(shè)，即一年后兒童的智商沒有顯著地提高。第28頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第三節(jié) 獨(dú)立樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)定義：兩個(gè)樣本內(nèi)的個(gè)體是隨機(jī)抽取的，它們之間不存在一一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的兩個(gè)樣本稱為獨(dú)立樣本。第29頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四一、獨(dú)立大樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)都大于30的獨(dú)立樣本稱為獨(dú)立大樣本。獨(dú)立大樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)所用的公式是：兩個(gè)樣本容量第30頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四如假設(shè)某小學(xué)從某學(xué)期剛開學(xué)就在中、高年級(jí)各班利用每周班會(huì)時(shí)間進(jìn)行思想品德教育，學(xué)期結(jié)束時(shí)從中、高年級(jí)各抽取兩個(gè)班進(jìn)行道德行為測(cè)試，結(jié)果如下表所示，問高年級(jí)思想品德教育的效果是否優(yōu)于中年級(jí)？年級(jí)人數(shù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差高9080.5011中100

76.0012第31頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四解：1.提出假設(shè)2．計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量第32頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四3．確定檢驗(yàn)形式右側(cè)檢驗(yàn)4．統(tǒng)計(jì)決斷Z=2.69>2.33，P<0.01所以，要拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)，由此得出結(jié)論：高年級(jí)思想品德教育的效果極顯著地優(yōu)于中年級(jí)。第33頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四二、獨(dú)立小樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)均小于30，或其中一個(gè)小于30的獨(dú)立樣本稱為獨(dú)立小樣本。獨(dú)立小樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)方法：兩個(gè)樣本容量第34頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四1、方差齊性時(shí)方法和步驟：如果兩個(gè)獨(dú)立樣本的總體方差未知，經(jīng)方差齊性檢驗(yàn)表明兩個(gè)總體方差相等，則要用匯合方差來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤，第35頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四公式為：第36頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第37頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四如：有人在某小學(xué)的低年級(jí)做了一項(xiàng)英語教學(xué)實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)的后期，分別從男女學(xué)生中抽取一個(gè)樣本進(jìn)行統(tǒng)一的英語水平測(cè)試，結(jié)果如下表所示。問在這項(xiàng)教學(xué)實(shí)驗(yàn)中男女生英語測(cè)驗(yàn)成績有無顯著性差異？（假定方差齊性）性別人數(shù)平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差男女252892.295.513.2312.46第38頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四解：1.提出假設(shè)2．計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量第39頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四3．確定檢驗(yàn)形式雙側(cè)檢驗(yàn)4．統(tǒng)計(jì)決斷當(dāng)自由度df=25+28-2=51時(shí)，因?yàn)閨t|=0.0509<2.009，P>0.05所以，要接受零假設(shè)，其結(jié)論是：在這項(xiàng)教學(xué)實(shí)驗(yàn)中男女生英語測(cè)驗(yàn)成績無顯著性差異。第40頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四2、方差不齊性時(shí)方差不齊性獨(dú)立樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)（自學(xué)）第41頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第四節(jié) 方差齊性檢驗(yàn)定義：對(duì)兩個(gè)總體的方差是否有顯著性差異所進(jìn)行的檢驗(yàn)稱為方差齊性（相等）檢驗(yàn)。第42頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四一、F分布從方差相同的兩個(gè)正態(tài)總體中，各隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，分別求出各自所屬總體方差的估計(jì)值，并計(jì)算這兩個(gè)總體方差估計(jì)值的比值，這個(gè)比值叫做F比值，用公式表示為：第43頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四F分布的特點(diǎn)是：1.F分布是一簇分布，隨分子和分母的自由度不同而有不同的分布曲線（見書P98）。2.F分布是正偏態(tài)的，即一簇正偏態(tài)的曲線（不過，隨著分子和分母自由度的增大而逐漸趨于正態(tài)）。3.F比值都是正的。4.由于計(jì)算F比值時(shí)總把大的方差估計(jì)值作為分子，小的作為分母，所以F比值≥1。第44頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四F檢驗(yàn)的基本步驟：第一步：提出假設(shè)第二步：選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值第三步：一般情況下，經(jīng)常應(yīng)用的是右側(cè)F檢驗(yàn)。第四步：統(tǒng)計(jì)決斷查附表3舉例（見教材）第45頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四兩個(gè)獨(dú)立樣本的方差齊性檢驗(yàn)例：某市初中畢業(yè)班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)考試，為了比較該市畢業(yè)班男女生成績的離散程度，從男生中抽出一個(gè)樣本，容量為31，從女考生中也抽出一個(gè)樣本，容量為21。男女生成績的方差分別為49和36，請(qǐng)問男女生成績的離散程度是否一致？第46頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四解：1．提出假設(shè)2．選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值第47頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四3．統(tǒng)計(jì)決斷查附表3，得F(30,20)0.05=2.04F=1.34<F(30,20)0.05=2.16，p>0.05，即男女生成績的離散程度沒有達(dá)到顯著性差異。第48頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四兩個(gè)相關(guān)樣本的方差齊性檢驗(yàn)例子：見書P100第49頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例1：為了對(duì)某門課的教學(xué)方法進(jìn)行改革，某大學(xué)對(duì)各方面情況相似的兩個(gè)班進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn)，甲班32人，采用教師面授的教學(xué)方法，乙班25人，采用教師講授要點(diǎn)，學(xué)生討論的方法。一學(xué)期后，用統(tǒng)一試卷對(duì)兩個(gè)班學(xué)生進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，得到以下結(jié)果：甲班平均成績=80.3，標(biāo)準(zhǔn)差=11.9，乙班平均成績=86.7，標(biāo)準(zhǔn)差=10.2，試問兩種教學(xué)方法的效果是否有顯著性差異？綜合應(yīng)用第50頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四解：先進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)：1．提出假設(shè)2．計(jì)算檢驗(yàn)的