應(yīng)用離散數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)循環(huán)群、置換群題庫試卷習(xí)題及答案

應(yīng)用離散數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)§4.5循環(huán)群,置換群習(xí)題4.5證明循環(huán)群一定是交換群,舉例說明交換群不一定是循環(huán)群。證明:對于循環(huán)群<a>來說,任意地am*at=am+t=at*am,所以是交換群。但是交換群不一定是循環(huán)群,例:交換群G={e,a,b,c},G中地元素除單位元e外,a,b,c都是2次元,但此群并不是循環(huán)群。2．證明由1地次復(fù)根地全體所組成地集合在復(fù)數(shù)地乘法下構(gòu)成階循環(huán)群。解由代數(shù)地知識可知,1地次復(fù)根地全體所組成地集合為,有。若,則;若,則存在,使得,而。因此關(guān)于數(shù)地乘法是封閉地。故是代數(shù)系統(tǒng)。數(shù)地乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律。故是半群。因?yàn)?有,所以是地么元。故是有幺半群。,存在,使得,所以地逆元存在。故是群。因?yàn)?故是群地一個(gè)生成元,因此是循環(huán)群。3．階數(shù)為5,6,14,15地循環(huán)群地生成元分別有多少個(gè)？設(shè)是階數(shù)為5地循環(huán)群地生成元,因在比5小地正整數(shù)中有且僅有2,3,4與5互質(zhì),所以也是生成元,因此生成元個(gè)數(shù)為4。設(shè)是階數(shù)為6地循環(huán)群地生成元,因在比6小地正整數(shù)中有且僅有5與6互質(zhì),所以也是生成元,因此生成元個(gè)數(shù)為2。設(shè)是階數(shù)為14地循環(huán)群地生成元,因在比14小地正整數(shù)中有且僅有3,5,9,11,13與14互質(zhì),所以也是生成元,因此生成元個(gè)數(shù)為6。設(shè)是階數(shù)為15地循環(huán)群地生成元,因在比15小地正整數(shù)中有且僅有2,4,8,11,13,14與15互質(zhì),所以也是生成元,因此生成元個(gè)數(shù)為7。4．設(shè),對于上地二元運(yùn)算"模12乘法": （1）證明構(gòu)成群; （2）求出地所有子群;（3）求中每個(gè)元素地次數(shù);（4）是循環(huán)群嗎？解:列出運(yùn)算表如下×157111157115511177711151111751由運(yùn)算表知,滿足封閉性要求,結(jié)合律,單位元是1,每個(gè)元素都有逆元:1地逆元是1,5地逆元5,7地逆元是7,11逆元地11。所以構(gòu)成群。所有子群為:{1},{1,5,7,11},{1,5},{1,7},{1,11}.（3）|1|=1,|5|=|7|=|11|=2。（4）不是循環(huán)群。5．設(shè)是循環(huán)群,與是它地兩個(gè)子群。證明

,這里是與地最小公倍數(shù)。,則根據(jù)定理,應(yīng)是地倍數(shù),也應(yīng)是地倍數(shù),從而應(yīng)是與地最小公倍數(shù)地倍數(shù),所以。,則應(yīng)是與地最小公倍數(shù)地倍數(shù),從而是地倍數(shù),也是地倍數(shù),所以,,即。6．設(shè)是從群到群地同態(tài)映射,證明若是循環(huán)群,則也是循環(huán)群。證明:因?yàn)镚是循環(huán)群所以存在生成元a屬于G,對于任何x屬于G,則存在x=an。又因?yàn)槭菑娜旱饺旱赝瑧B(tài)映射,則對任何y屬于(G)都存在x屬于G,有y=(x)=(an)=((a))n。所以也是循環(huán)群。

7．設(shè)5階置換為 計(jì)算,,,,。=1234534125=1234521543=1234531254=12345=12345354128.設(shè),寫出上地所有4元置換。解:共有24個(gè)置換。分別為:（1）,（12）,（13）,（14）,（23）,（24）,（34）,（12）（34）,（13）（24）,（14）（23）,（123）,（132）,（234）,（243）,（124）,（142）,（134）,（143）,（1234）,（1432）,（1342）,（1243）,（1342）,（1423）9．列出4元對稱群地運(yùn)算表,求出單位元,每個(gè)元地逆元,每個(gè)元地次數(shù)以與它地所有子群。解:運(yùn)算表略。單位元是（1）有2個(gè)平