新高考數學一輪復習《導數小題綜合練》課時練習(含詳解)

新高考數學一輪復習《導數小題綜合練》課時練習一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3點P是曲線y＝f(x)＝x2﹣lnx上任意一點，則點P到直線x﹣y﹣2＝0的最短距離為()A.eq\r(3)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\r(2)LISTNUMOutlineDefault\l3若曲線f(x)＝lnx﹣(a＋1)x存在與直線x﹣2y＋1＝0垂直的切線，則實數a的取值范圍為()A.(﹣eq\f(1,2)，＋∞)B.[﹣eq\f(1,2)，＋∞C.(1，＋∞)D.[1，＋∞)LISTNUMOutlineDefault\l3函數f(x)＝﹣x3＋12x＋6在區(qū)間[﹣eq\f(1,3)，3]上的零點個數是()A.0B.1C.2D.3LISTNUMOutlineDefault\l3設函數f(x)＝lnx＋ax2﹣eq\f(3,2)x，若x＝1是函數f(x)的極大值點，則函數f(x)的極小值為()A.ln2﹣2B.ln2﹣1C.ln3﹣2D.ln3﹣1LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數f(x)＝sin2x＋2cosx(0≤x≤π)，則f(x)()A.在[0，eq\f(π,3)]上單調遞增B.在[0，eq\f(π,6)]上單調遞減C.在[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]上單調遞減D.在[eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)]上單調遞增LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數f(x)＝lnx﹣eq\f(m,x)(m＜0)在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，則m的值為()A.﹣e2B.﹣e3C.﹣2eD.﹣3eLISTNUMOutlineDefault\l3若當x＞0時，函數f(x)＝2﹣ex＋mx2有兩個極值點，則實數m的取值范圍是()A.(eq\f(e,2)，＋∞)B.(0，eq\f(e,2))C.(0，2e)D.(2e，＋∞)二 、多選題LISTNUMOutlineDefault\l3(多選)已知函數f(x)＝﹣x3＋ax2＋bx＋c，下列結論中正確的是()A.?x0∈R，f(x0)＝0B.若f(x)有極大值M，極小值m，則必有M＞mC.若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，x0))上單調遞減D.若f′(x0)＝0，則x0是f(x)的極值點LISTNUMOutlineDefault\l3(多選)已知函數f(x)＝sinx﹣xcosx，現給出如下結論，其中正確的結論為()A.f(x)是奇函數B.0是f(x)的極值點C.f(x)在區(qū)間(﹣eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上有且僅有三個零點D.f(x)的值域為RLISTNUMOutlineDefault\l3(多選)若0＜x1＜x2＜1，e為自然數對數的底數，則下列結論錯誤的是()A.x2SKIPIF1<0＜x1SKIPIF1<0B.x2SKIPIF1<0＞x1SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＞lnx2﹣lnx1D.SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＜lnx2﹣lnx1三 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數f(x)＝eq\f(sinx,ex)，則曲線y＝f(x)在(0，0)處的切線方程為________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數f(x)＝﹣x3＋ax2﹣x﹣1在(﹣∞，＋∞)上是單調函數，則實數a的取值范圍是________.LISTNUMOutlineDefault\l3設函數f(x)＝﹣eq\f(1,x)﹣ax﹣blnx，若x＝1是f(x)的極小值點，則a的取值范圍為________.LISTNUMOutlineDefault\l3某企業(yè)擬建造一個容器(不計厚度，長度單位：米)，該容器的下部為圓柱形，高為l，底面半徑為r，上部為半徑為r的半球形，按照設計要求，容器的體積為eq\f(28,3)π立方米.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關，已知圓柱形部分每平方米建造費用為3萬元，半球形部分每平方米建造費用為4萬元，則該容器的建造費用最小時，半徑r的值為________.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D解析：由y＝f(x)＝x2﹣lnx，可得f′(x)＝2x﹣eq\f(1,x)(x＞0)，令f′(x)＝1，即1＝2x﹣eq\f(1,x)(x＞0)，解得x＝1或x＝﹣eq\f(1,2)(舍).曲線上距離直線最近的點的坐標為(1，1)，則距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－1－2)),\r(1＋1))＝eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C解析：函數f(x)＝lnx﹣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))x，x＞0，則f′(x)＝eq\f(1,x)﹣a﹣1，若函數f(x)存在與直線x﹣2y＋1＝0垂直的切線，可得eq\f(1,x)﹣a﹣1＝﹣2有大于0的解，則eq\f(1,x)＝a﹣1＞0，解得a＞1，則實數a的取值范圍是(1，＋∞).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A解析：f′(x)＝﹣3x2＋12，令f′(x)＝0，得x＝±2.所以當x∈[﹣eq\f(1,3)，2)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；當x∈(2，3]時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，所以f(x)的極大值為f(2)＝22.因為f(﹣eq\f(1,3))＞0，f(3)＞0，所以函數f(x)在區(qū)間[﹣eq\f(1,3)，3]上沒有零點.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A解析：∵f(x)＝lnx＋ax2﹣eq\f(3,2)x(x＞0)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax﹣eq\f(3,2)，∵x＝1是函數f(x)的極大值點，∴f′(1)＝1＋2a﹣eq\f(3,2)＝2a﹣eq\f(1,2)＝0，解得a＝eq\f(1,4)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(x,2)﹣eq\f(3,2)＝eq\f(x2－3x＋2,2x)＝eq\f(x－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2)),2x)，∴當0＜x＜1時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；當1＜x＜2時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；當x＞2時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；∴當x＝2時，f(x)有極小值，且極小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝ln2﹣2.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C解析：令f′(x)＝2cos2x﹣2sinx＝﹣2(2sin2x＋sinx﹣1)＞0?(2sinx﹣1)(sinx＋1)＜0，0≤x≤π，故﹣1＜sinx＜eq\f(1,2)?x∈[0，eq\f(π,6))∪(eq\f(5π,6)，π]，故f(x)在[0，eq\f(π,6))和(eq\f(5π,6)，π]上單調遞增，在[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]上單調遞減.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D解析：f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(m,x2)＝eq\f(x＋m,x2).令f′(x)＝0得x＝﹣m，且當0＜x＜﹣m時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，當x＞﹣m時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增.當﹣m≤1，即﹣1≤m＜0時，f(x)min＝f(1)＝﹣m≤1，不可能等于4，故不符合題意；當1＜﹣m＜e，即﹣e＜m＜﹣1時，f(x)min＝f(﹣m)＝ln(﹣m)＋1，當ln(﹣m)＋1＝4時，得m＝﹣e3?(﹣e，﹣1)，故不符合題意；當﹣m≥e，即m≤﹣e時，f(x)min＝f(e)＝1﹣eq\f(m,e)，令1﹣eq\f(m,e)＝4，得m＝﹣3e，符合題意.綜上所述，m＝﹣3e.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A解析：因為函數f(x)＝2﹣ex＋mx2，則f′(x)＝﹣ex＋2mx，若當x＞0時，函數f(x)＝2﹣ex＋mx2有兩個極值點，則f′(x)＝﹣ex＋2mx＝0在x∈(0，＋∞)上有兩個根，即m＝eq\f(ex,2x)在x∈(0，＋∞)上有兩個解，令g(x)＝eq\f(ex,2x)，則g′(x)＝eq\f(xex－ex,2x2)＝eq\f(x－1ex,2x2)，當x＞1時，g′(x)＞0，則g(x)在x∈(1，＋∞)上單調遞增，當0＜x＜1時，g′(x)＜0，則g(x)在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))上單調遞減，所以函數g(x)＝eq\f(ex,2x)在x＝1處取得最小值，即g(1)＝eq\f(e,2)，又x→0＋時，g(x)→＋∞，當x→＋∞時，g(x)→＋∞，故m＞eq\f(e,2).二 、多選題LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：ABC.解析：因為當x→＋∞時，f(x)→﹣∞，當x→﹣∞時，f(x)→＋∞，由零點存在定理知?x0∈R，f(x0)＝0，故A正確；因為f′(x)＝﹣3x2＋2ax＋b，若f(x)有極大值M，極小值m，則f′(x)＝0有兩根x1，x2，不妨設x1＜x2，易得f(x)在(x1，x2)上單調遞增，在(﹣∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞減，所以f(x2)＝M＞f(x1)＝m，故B，C正確；導數為0的點不一定是極值點，故D錯誤.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：AD.解析：由題意，函數f(x)＝sinx﹣xcosx的定義域為R關于原點對稱，又由f(﹣x)＝sin(﹣x)＋xcos(﹣x)＝﹣(sinx﹣xcosx)＝﹣f(x)，所以函數f(x)為奇函數，所以A項正確；又由f′(x)＝cosx﹣cosx＋xsinx＝xsinx，當x∈(﹣eq\f(π,2)，0)時，f′(x)＞0，函數f(x)單調遞增；當x∈(0，eq\f(π,2))時，f′(x)＞0，函數f(x)單調遞增，所以0不是函數f(x)的極值點，所以B不正確；又由f(0)＝0，所以函數f(x)在區(qū)間(﹣eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上有且僅有一個零點，所以C不正確；例如當x＝2kπ，k∈Z時，可得f(2kπ)＝﹣2kπ，當k→＋∞且k∈Z，f(x)→﹣∞，當x＝2kπ＋π，k∈Z時，可得f(2kπ＋π)＝2kπ＋π，當k→＋∞且k∈Z，f(x)→＋∞，由此可得函數的值域為R，所以D正確.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：ACD解析：令f(x)＝eq\f(ex,x)，由f′(x)＝eq\f(xex－ex,x2)＝eq\f(x－1ex,x2)，當x＜1時，f′(x)＜0，故f(x)＝eq\f(ex,x)在(0，1)上單調遞減，所以SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0?x2SKIPIF1<0＞x1SKIPIF1<0，則A錯，B正確；令g(x)＝lnx﹣ex，則g′(x)＝eq\f(1,x)﹣ex，當x＝eq\f(1,2)時，有g′(eq\f(1,2))＝2﹣eq\r(e)＞0，當x＝1時，有g′(1)＝1﹣e＜0，所以存在x0∈(eq\f(1,2)，1)，有g′(x0)＝0，所以g(x)在(0，1)上不單調.在C中，SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＞lnx2﹣lnx1化為lnx1﹣SKIPIF1<0＞lnx2﹣SKIPIF1<0，因為0＜x1＜x2＜1，故C錯誤；在D中，SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＜lnx2﹣lnx1化為lnx1﹣SKIPIF1<0＜lnx2﹣SKIPIF1<0，則D錯誤.三 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：y＝x.解析：因為f′(x)＝eq\f(cosx－sinx,ex)，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝1，f(0)＝0，所以切線方程為y＝x.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：[﹣eq\r(3)，eq\r(3)].解析：由題意，函數f(x)＝﹣x3＋ax2﹣x﹣1，則f′(x)＝﹣3x2＋2ax﹣1，因為函數f(x)在(﹣∞，＋∞)上是單調函數，所以Δ＝(2a)2﹣4×(﹣3)×(﹣1)＝4a2﹣12≤0，即a2≤3，解得﹣eq\r(3)≤a≤eq\r(3)，即實數a的取值范圍是[﹣eq\r(3)，eq\r(3)].LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：(﹣∞，﹣1).解析：函數f(x)＝﹣eq\f(1,x)﹣ax﹣blnx的定義域為(0，+∞)，f′(x)＝eq\f(1,x2)﹣a﹣eq\f(b,x)＝eq\f(－ax2－bx＋1,x2)，x＝1是f(x)的極小值點.則f′(1)＝﹣a﹣b＋1＝0，所以b＝1﹣a，f′(x)＝﹣eq\f(ax2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a))x－1,x2)＝﹣eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋1))x－1,x2).(1)當a≥0時，由f′(x)＜0得x＞1，由f′(x)＞0得，0＜x＜1，可得f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減.不滿足條件.(2)當a＜0時，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝﹣eq\f(1,a).若a＝﹣1，則f′(x)≥0在定義域上恒成立，函數單調遞增，不滿足條件.若﹣1＜a＜0，則