概率論期末考試試卷及答案

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公修（理科）專業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課

2023——2023學年度第一學期期末考察試卷(A卷)

一、單項選擇題(每題3分,共30分)

1、B2、A3、C4、C5、C6、C7、D8、C9、B10、C二、填空題（每題2分，共10分）

1、0.22、33、14、45、0.9938

三、解答（共60分）

1.解：以A,B分別表示挑揀之人是男性和色盲的事件。所求概率為P(AB)?P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)1?2?512?5%?1?212?0.25%2.解：（1）由1????f(x)dx????Ce?2xdxC??0?2，可得C?2（2）F(x)??xf(t)dt???????x02e?2tdt,x?0?2x????0,x?0?1?e,x?0?0,x?0（3）P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)?1?e?2?0?1?e?2P(?1?X11另解：?1)??f(x)dx?2e?2xdx??e?2x1?1?00?1?e?23.解：f??f(x,y)dy????2x?y08dy,0?x?2???1?x?4,0?x?2X(x)???????0,其他??0,其他E(X)????xf2x(1?x)X(4dx?1??x)dx??04(x22?x33)20?76，由對稱性可得E(Y)?76。另解：E(X)??????22(x?y)?????xf(x,y)dxdy??0?0x8dxdy?76第1頁共6頁

2分）

6分）

（2分）

3分）4分）3分）

（2分）

（2分）（2分）（（（（（

(x?y)4dxdy?（4分）

?????0?0833?E(X)x??x(?x3)2?3?12?2??1??4解：E(X)?1??2?2?2?(1?（3分）?)?1???1323?3?2533??3?x?故?的矩估計值是???。（2分）2252dL(?)6226?0，得10?4?12?5?0（3分）似然函數(shù)為L(?)???2?(1??)???2??2?，令d?555該方程在(0,1)內(nèi)有唯一解，易證確為最大值點，故?的最大似然估計值為。（2分）

666E(XY)=?????xyf(x,y)dxdy??22xy5.解：依題意可得檢驗的假設為

H0:??240,H1:??240由于總體的方差?2未知，故采用t檢驗，檢驗的拒絕域為

W?{|t|?t1??/2(n?1)?t0.975(4)?2.776}檢驗統(tǒng)計量取值為t?5(239.5?240)??2.795由于

0.4t??2.795?W所以拒絕原假設，即認為該廠生產(chǎn)的鋁材的長度不滿足設定要求。6.解：（1）f??f(x,y)dy??X(x)?????2104dy,0?x?2?1?????2,0?x?2??0,其他??0,其他?由對稱性得：f(y)??1?2,0?y?2Y，??0,其他?從而f?1,0?x?2,0?y?2X(x)fY(y)???4

?0,其他由f(x,y)?fX(x)fY(y)知X,Y相互獨立。（2）P(X?Y?1)??11?x10?04dydx??11?x04dx?18另解：先求X?Y的概率密度或利用幾何概率的定義。

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（2分）

（2分）

（2分）

（2分）（2分）（2分）

2分）

（2分）

（4分）（

2023——2023學年度第一學期期末考試試卷(A卷)

題號分數(shù)

一、分數(shù)評卷人單項選擇題(每題3分,共30分)

一二三四五六七八九十總分總分人復1.以下各項不正確的是（）

（A）ABC?A(BC)（B）A?B?AB（C）(AB)?B?(A?B)B（D）

AB(AB)??

2.已知AB??,P(A)?13,P(B)?14，則（）

（A）P(AB)?112（B）P(A)?34（C）P(AB)?12（D）以上都不對

3.以下命題正確的是（）

（A）假使事件A發(fā)生，事件B就一定發(fā)生，那么P(A)?P(B)。（B）概率為1的事件為必然事件。

（C）連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在整個實數(shù)域內(nèi)都是左連續(xù)的。（D）隨機變量的數(shù)學期望反映了該變量取值的集中（或分散）程度。4.設隨機變量X的密度函數(shù)為

??e??x,x?0;fX(x)???0,其它.其中，未知參數(shù)??0，則下述命題不正確的是（）

（A）X是連續(xù)型的隨機變量。（B）隨機變量X的分布函數(shù)在整個實數(shù)域內(nèi)都連續(xù)。

（C）隨機變量X的方差存在。（D）隨機變量X的分布函數(shù)的取值范圍是

(??,??)。

5.已知Y?2(6)，則以下選項不正確的是（）

（A）P(Y?0)?12（B）P(Y?0)?1（C）E(Y)?6（D）D(Y)?126.已知二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域D?{(x,y)|?a?x?a,?a?y?a}(a?0)上聽從均勻分布，則概率

P(X2?Y2?a2)（）

（A）隨a的增大而增大（B）隨a的增大而減?。–）與a無關的定值（D）隨a的變化增減不定

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7.以下分布不具有可加性（又叫再生性）的是（）

（A）二項分布（B）指數(shù)分布（C）正態(tài)分布（D）卡方分布

8.設隨機變量(X,Y)Cov(X,Y)?2.4

N(3,2,4,9,0.4)，則（）

（A）Cov(X,Y)?0.4（B）Cov(X,Y)?4（C）Cov(X,Y)?9（D）

9.估計量的評比標準不包括下述的哪個選項（）

（A）無偏性（B）收斂性（C）相合性（D）有效性

10.在假設檢驗中，以下說法正確的是

（A）第一類錯誤又叫“受偽〞或“取偽〞的錯誤（B）其次類錯誤又叫“拒真〞或“棄真〞的錯誤

（C）第一類錯誤又叫“拒真〞或“棄真〞的錯誤（D）以上都不對二、分數(shù)評卷人填空題（每題2分，共10分）

1.在10個產(chǎn)品中有8個次品，2個正品?，F(xiàn)從中任取1個，則其為次品的概率為.2.從一副52張的撲克牌中任取4張，則全是黑桃的概率為.3.已知X?b(15,0.2)，則E(X)=.

?6e?2x?3y,x?0,y?0;4.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)??，則

其它.?0,P(X?0,Y??3)=.

5.設隨機變量X,Y相互獨立，且X?N(2,9)，Y三、分數(shù)評卷人?2(9)，則X?2聽從自由度為t分布.Y證明題（共20分）

1.已知事件A,B相互獨立，且0?P(B)?1，求證：P(A|B)?P(A|B).（10分）

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2.設X1,X2,,Xn是來自總體N(?,?2)的樣本，X,S2分別是樣本均值和樣本方差，

X??求證：Sn四、分數(shù)t(n?1)（10分）

評卷人計算題（計4小題，共40分）

1.已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲，今從由10個男人和20個女人組成的人群中隨機挑揀

一個人，發(fā)現(xiàn)恰好是色盲，問此人是男人的概率是多少？（10分）

?1?(x?y),?(x?y)e2.設隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y)??2?0,?x?0,y?0;其它.

（1）問X與Y是否相互獨立；（2）求Z?X+Y的密度函數(shù)fZ(z).（10分）

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3.已知X

4.某型號玻璃紙的橫向延伸率要求不低于65%，且其聽從正態(tài)分布